高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线夯基提能作业本 理

第七节抛物线
A组基础题组
1.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A.(0,a)
B.(a,0)
C. D.
2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则
k=( )
A. B.1 C. D.2
3.(2016山西高三考前质检)已知抛物线C1:x2=2py(p>0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若△FAB的面积等于1,则C1的方程是( )
A.x2=2y
B.x2=y
C.x2=y
D.x2=y
4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1
B.x=2
C.x=-1
D.x=-2
5.已知P为抛物线y=x2上的动点,点P在x轴上的射影为点M,点A的坐标为,则|PM|+|PA|的最小值是( )
A.8
B.
C.10
D.
6.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .
7.已知点P在抛物线y2=4x上,且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为,则点P到x轴的距离为.
8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽
米.
9.如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.
(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.
10.(2016陕西商洛月考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)是否存在直线l,使l过点(0,1),并与抛物线交于B,C两点,且满足·=0?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
B组提升题组
11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=( )
A. B.3 C. D.2
12.过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB,CD与抛物线交于A,B,C,D四点,且AB⊥CD,则·+·的最大值等于( )
A.-4
B.-16
C.4
D.-8
13.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=(x-1)或y=-(x-1)
C.y=(x-1)或y=-(x-1)
D.y=(x-1)或y=-(x-1)
14.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l
的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值
为.
15.(2016广东深圳一模)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p等于.
16.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且
|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
答案全解全析
A组基础题组
1.C 将y=4ax2(a≠0)化为标准方程是x2=y(a≠0),所以焦点坐标为,所以选C.
2.D 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=(k>0)得k=1×2=2,故选D.
3.A 由题意得F,不妨设A,B,∴S△FAB=·2p·p=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y,故选A.
4.C 由题可知焦点为,∴直线AB的方程为y=-,与抛物线方程联立得消去y,得
4x2-12px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.∵线段AB的中点的横坐标为3,∴=3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.
5.B 依题意可知焦点为F,准线方程为y=-,延长PM交准线于点H(图略).
则|PF|=|PH|,|PM|=|PF|-,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-.
因为|PF|+|PA|≥|FA|,
又|FA|==10.
所以|PM|+|PA|≥10-=,故选B.
6.答案2
解析抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-(p>0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从
而-=-,解得p=2.
7.答案 2
解析设点P的坐标为(x
P,y P).
抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,根据已知条件及抛物线的定义,可知=⇒x P=1,∴=4,∴|y P|=2. 则点P到x轴的距离为2.
8.答案2
解析建立坐标系如图所示.
则可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
∵点(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.
当y=-3时,x=±.
∴水位下降1米后,水面宽2米.
9.解析(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).
因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则
由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
所以2y0k=4.
又y0=2,所以k=1,
故直线l的方程是y=x-1.
(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消去x,整理得y2-4my-4=0,所以
y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.
|AB|=|y1-y2|
=·
=·
=4(m2+1).
所以4(m2+1)=20,解得m=±2,所以直线l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0.
10.解析(1)∵点A(4,m)在抛物线上,
且|AF|=5,
∴4+=5,∴p=2,
∴抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)存在.
理由:由题意可设直线l的方程为x=k(y-1)(k≠0),
代入抛物线方程,整理得y2-4ky+4k=0,
则Δ=16k2-16k>0⇒k<0或k>1,
设B(x1,y1),C(x2,y2),
则y1+y2=4k,y1y2=4k,
由·=0,即x1x2+y1y2=0,得(k2+1)y1y2-k2(y1+y2)+k2=0,
则有(k2+1)·4k-k2·4k+k2=0,
解得k=-4或k=0(舍去),
∴直线l存在,其方程为x+4y-4=0.
B组提升题组
11.B ∵=4,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则=,即
=.∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.
12.B 依题意可得,·=-(||·||).
因为||=y A+1,||=y B+1,
所以·=-(y A y B+y A+y B+1).
设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),
联立x2=4y,可得x2-4kx-4=0,
所以x A+x B=4k,x A x B=-4.
所以y A y B=1,y A+y B=4k2+2.
所以·=-(4k2+4).
同理,·=-.
所以·+·=-≤-16.
当且仅当k=±1时等号成立.
13.C 由题意知直线l不垂直于x轴.
当直线l的倾斜角α<时,如图,
过A作AA1垂直准线于A1,过B作BB1垂直准线于B1.设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,则|AF|=|AA1|=3t.作BB2垂直AA1于B2,易知△AB2B∽△BB1C,∴=,则有
=,∴|BC|=2t,∴∠B1CB=,∴直线l的倾斜角α=.
当倾斜角α>时,由对称性可知α=π.
∴直线l的倾斜角α=或π.
又F(1,0),∴直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.
14.答案
解析由已知得抛物线的方程为y2=2px(p>0),则|FC|=3p,∴|AF|=|AB|=p,A(p,p)(不妨设A在第一
象限).易证△EFC∽△EAB,所以===2,所以=,所以S△ACE=S△AFC=×p×p=p2=3,所以p=.
15.答案
解析设A(x
1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则=2px1,=2px2,
两式相减,整理得(y1+y2)·=2p,即2y0×1=2p,所以y0=p,
又AB的方程为y=x-,
所以x0=p,即M,
代入AB的中垂线y=-x+2,可得p=.
16.解析(1)直线AB的方程是y=2,
与y2=2px联立,整理得4x2-5px+p2=0,
所以x1+x2=.
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,从而抛物线的方程是y2=8x.
(2)将p=4代入4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0,
从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,
从而A(1,-2),B(4,4).
设=(x3,y3),则(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,所以
[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.。