2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一(上)期中数学试卷【答案版】

2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．已知集合M ＝{x |x 2﹣x ﹣2＝0}，N ＝{0，﹣1}，则M ∪N ＝（ ）
A ．∅
B ．{1}
C ．{0}
D ．{﹣1，0，2}
2．命题“对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定是（ ）
A ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1＞0
B ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≤0
C ．对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1＞0
D ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≥0
3．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是（ ）
A ．a 2＜b 2
B ．ab ＜b 2
C ．a +b ＜0
D ．|a |+|b |＞|a +b |
4．已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ＞0
0，x =0x 2+mx ，x ＜0
是奇函数，则实数m 的值是（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．﹣2
5．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，则ln （36e 3）可以用a 和b 表示为（ ）
A ．a +2b ﹣3
B ．4a +2b +2
C ．2a +2b +3
D ．2a +3b +3
6．已知不等式ax 2﹣bx +2＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，则不等式2x 2+bx +a ＜0的解集为（ ）
A ．{x |−12＜x ＜1}
B ．{x ＜﹣1或x ＞12}
C ．{x |﹣1＜x ＜12}
D ．{x |x ＜−12或x ＞1}
7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)−f(x 1)
x 2−x 1
＜0，则（ ）
A ．f （2021）＜f （﹣2020）＜f （2019）
B ．f （2019）＜f （﹣2020）＜f （2021）
C ．f （﹣2020）＜f （2019）＜f （2021）
D ．f （﹣2020）＜f （2021）＜f （﹣2019）
8．设a ＞0，b ＞0，9a +b ＝2ab ，若不等式a +b ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，9]
B ．（﹣∞，8]
C ．（﹣∞，92]
D ．[8，+∞）
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A ．已知集合M ＝{2，3，4}，则M 的子集个数是8
B ．函数y =√x 2与y ＝（√x ）2是同一函数
C ．不等式x−2x ＞0的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）
D ．函数y ＝f （x ）是奇函数的充要条件是y ＝f （x ）的定义域关于原点对称．
10．已知函数f （x ）＝x 2的值域是[0，4]，则它的定义域是可能是（ ）
A ．[﹣1，2]
B ．[﹣3，2]
C ．[﹣1，1]
D ．[﹣2，1]
11．若集合P ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，S ＝{x |ax ﹣1＝0}，且S ⊆P ，则实数a 的可能取值为（ ）
A ．0
B ．−13
C ．4
D ．12
12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f （x ）＝x 2+a |x|（a ∈R ）的图象可能是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．设函数f （x ）={12x −1，x ≥01x
，x ＜0，则f （f （0））＝
14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2﹣8x +12＝0}，则集合 ∁U （M ∪N ）＝ ．
15．设m 为实数，若关于x 的不等式2x 2+mx ﹣m ＞0对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是 ．
16．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝6，b +c ＝10，则此三角形面积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）化简：
lg20+lg5−lg80lg5−lg4； （2）化简：
4−32+（94
）12−（√3−1）0+√(−3)33．
18．（12分）已知函数y =√2x +1+√3−4x 定义域为集合A ，不等式|x ﹣a |≥1（a ∈R ）的解集为集合B ．
（1）求集合A 和集合B ；
（2已知“x ∈A 是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝2x−m
x，且f（
1
2
）＝﹣1．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
20．（12分）已知关于的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0．（1）当a＝3时，解关于x的不等式；
（2）当a∈R时，解关于x的不等式．
21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月
产量不足60台时，p（x）＝x2+20x（万元）；当月产量不小于60台时，p（x）＝101x+6400
x
−2060（万
元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
22．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为﹣1，f（0）＝f（2）＝0．（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，求实数m的取值范围；（3）若x∈[t，t+2]，试求y＝f（x）的最小值．
2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．已知集合M ＝{x |x 2﹣x ﹣2＝0}，N ＝{0，﹣1}，则M ∪N ＝（ ）
A ．∅
B ．{1}
C ．{0}
D ．{﹣1，0，2}
解：∵M ＝{﹣1，2}，N ＝{0，﹣1}，
∴M ∪N ＝{﹣1，0，2}．
故选：D ．
2．命题“对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定是（ ）
A ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1＞0
B ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≤0
C ．对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1＞0
D ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≥0 解：命题为全称命题，则命题“对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定为存在x ∈R ，x 2﹣x +1＞0， 故选：A ．
3．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是（ ）
A ．a 2＜b 2
B ．ab ＜b 2
C ．a +b ＜0
D ．|a |+|b |＞|a +b | 解：∵1a ＜1b ＜0，∴a 和b 为负数且a ＞b ，
∴a 2＜b 2，故A 正确；
再由不等式的性质可得ab ＜b 2，B 正确；
由a 和b 为负数可得a +b ＜0，故C 正确；
再由a 和b 为负数可得|a |+|b |＝|a +b |，D 错误．
故选：D ．
4．已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ＞0
0，x =0
x 2+mx ，x ＜0
是奇函数，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4
D ．﹣2 解：根据题意，函数f （x ）={−x 2+2x ，x ＞0
0，x =0
x 2+mx ，x ＜0
，
若x ＞0，则﹣x ＜0，则f （x ）＝﹣x 2+2x ，f （﹣x ）＝（﹣x ）2+m （﹣x ）＝x 2﹣mx ，
又由f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即﹣x 2+2x ＝﹣（x 2﹣mx ），
则m ＝2，
故选：B ．
5．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，则ln （36e 3）可以用a 和b 表示为（ ）
A ．a +2b ﹣3
B ．4a +2b +2
C ．2a +2b +3
D ．2a +3b +3
解：ln （36e 3）
＝ln 36+lne 3
＝ln （22×32）+3lne
＝ln 22+ln 32+3
＝2ln 2+2ln 3+3
＝2a +2b +3，
故选：C ．
6．已知不等式ax 2﹣bx +2＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，则不等式2x 2+bx +a ＜0的解集为（ ）
A ．{x |−12＜x ＜1}
B ．{x ＜﹣1或x ＞12}
C ．{x |﹣1＜x ＜12}
D ．{x |x ＜−12或x ＞1}
解：不等式ax 2﹣bx +2＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，
所以﹣1，2是方程ax 2+bx +2＝0的两个实数根，且a ＜0，
由根与系数的关系知{−1+2=b a −1×2=2a
，解得a ＝﹣1，b ＝﹣1；
所以不等式2x 2+bx +a ＜0化为2x 2﹣x ﹣1＜0，
解得−12＜x ＜1；
所以不等式2x 2+bx +a ＜0的解集为{x |−12＜x ＜1}．
故选：A ．
7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)−f(x 1)
x 2−x 1
＜0
，则（
）
A ．f （2021）＜f （﹣2020）＜f （2019）
B ．f （2019）＜f （﹣2020）＜f （2021）
C ．f （﹣2020）＜f （2019）＜f （2021）
D ．f （﹣2020）＜f （2021）＜f （﹣2019）
解：由对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)−f(x 1)
x 2−x 1
＜0， 可得函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减，
所以f （2021）＜f （2020）＜f （2019），
因为f （x ）为偶函数，所以f （2020）＝f （﹣2020），
所以f （2021）＜f （﹣2020）＜f （2019）．
故选：A ．
8．设a ＞0，b ＞0，9a +b ＝2ab ，若不等式a +b ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，9]
B ．（﹣∞，8]
C ．（﹣∞，92]
D ．[8，+∞） 解：a ＞0，b ＞0，9a +b ＝2ab 即9b
+1a =2， 则a +b =12（a +b ）（9b +1a
）=12（9+1+9a b +b a ）≥12（10+2√9a b ⋅b a ）＝8， 当且仅当b ＝3a ＝6，上式取得等号，
由不等式a +b ≥m 恒成立，可得m ≤（a +b ）min ＝8，
故选：B ．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A ．已知集合M ＝{2，3，4}，则M 的子集个数是8
B ．函数y =√x 2与y ＝（√x ）2是同一函数
C ．不等式x−2x ＞0的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）
D ．函数y ＝f （x ）是奇函数的充要条件是y ＝f （x ）的定义域关于原点对称．
解：对于A ：集合M ＝{2，3，4}，则M 的子集个数是23＝8，故正确；
对于B ：函数y =√x 2的定义域为R ，y ＝（√x ）2的定义域为{x |x ≥0}，故不是同一函数，故错误； 对于C ：不等式
x−2x ＞0，整理得：x （x ﹣2）＞0，所以不等式的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞），故正
确；
对于D ：函数y ＝f （x ）是奇函数的必要不充要条件是y ＝f （x ）的定义域关于原点对称，故错误． 故选：AC ．
10．已知函数f （x ）＝x 2的值域是[0，4]，则它的定义域是可能是（ ）
A ．[﹣1，2]
B ．[﹣3，2]
C ．[﹣1，1]
D ．[﹣2，1] 解：∵f （x ）的值域是[0，4]，
∴0≤x 2≤4，
∴﹣2≤x ≤2，
∴f（x）的定义域可能是[﹣1，2]，[﹣2，1]，
∵f（﹣3）＝9，f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，∴[﹣3，2]和[﹣1，1]不可能是f（x）的定义域．故选：AD．
11．若集合P＝{x|x2+x﹣6＝0}，S＝{x|ax﹣1＝0}，且S⊆P，则实数a的可能取值为（）
A．0B．−1
3C．4D．
1
2
解：P＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，①S＝∅，a＝0；
②S≠∅，S＝{x|x=−1 a}，
−1a=−3，a=13，−1a=2，a=−12；
综上可知：实数a的可能取值组成的集合为{−1
2，0，
1
3
}．
故选：ABD．
12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的
图象特征，如函数f（x）＝x2+
a
|x|（a∈R）的图象可能是（）
A．B．
C．D．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
易知函数f（x）为偶函数，
当x＞0时，若a＝0时，f（x）＝x2，选项B符合，
当a＞0时，f（x）＝x2+a
x
=x2+a2x+a2x≥3√x2⋅a2x⋅a2x
3=3√a2
4
3
，当且仅当x2=
a
2x，即x=√
a
2
3
时取等号，
选项D 符合，
当a ＜0时，f （x ）＝x 2+a x 在（0，+∞）上单调递增，当f （x ）＝x 2+a x
=0时，解得x =−√−a 3，有且只有一个零点，选项C 符合，
故选：BCD ．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．设函数f （x ）={12x −1，x ≥01x
，x ＜0，则f （f （0））＝ ﹣1 解：∵函数f （x ）={12x −1，x ≥01x
，x ＜0， ∴f （0）=12
×0−1=−1， f （f （0））＝f （﹣1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2﹣8x +12＝0}，则集合∁U （M ∪N ）＝ {1，4，7，8} ．
解：∵U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M ＝{2，3，5}，N ＝{2，6}，
∴M ∪N ＝{2，3，5，6}，∁U （M ∪N ）＝{1，4，7，8}．
故答案为：{1，4，7，8}．
15．设m 为实数，若关于x 的不等式2x 2+mx ﹣m ＞0对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是 （﹣8，0） ．
解：关于x 的不等式2x 2+mx ﹣m ＞0对任意实数x 恒成立，
可得Δ＜0，即m 2+8m ＜0，
可得m （m +8）＜0，
解得﹣8＜m ＜0，
即m 的取值范围是（﹣8，0）．
故答案为：（﹣8，0）．
16．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝6，b +c ＝10，则此三角形面积的最大值为 12 ． 解：由a ＝6，b +c ＝10，得p =12（a +b +c ）=12×（6+10）＝8；
所以S 2＝8×（8﹣6）×（8﹣b ）（8﹣c ）
＝16[bc ﹣8（b +c ）+64]
＝16（bc ﹣16）≤16×[(
b+c 2)2−16] ＝16×（25﹣16）
＝144，当且仅当b ＝c ＝5时取等号．
所以S ≤12．
故答案为：12．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）化简：
lg20+lg5−lg80lg5−lg4； （2）化简：4−32+（94）12−（√3−1）0+√(−3)33．
解：（1）原式=lg(20×5)−lg80lg 54=lg100−lg80lg 54=lg 10080lg 54=lg 54lg 54
=1． （2）原式=(22)−32+[(32)2]12−1+(−3)=2﹣3+32−4=1+12−328=−198
． 18．（12分）已知函数y =√2x +1+√3−4x 定义域为集合A ，不等式|x ﹣a |≥1（a ∈R ）的解集为集合B ．
（1）求集合A 和集合B ；
（2已知“x ∈A 是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解（1）由函数y =√2x +1+√3−4x 有意义则需{2x +1≥03−4x ≥0
， 解得：−12≤x ≤34，所以集合A ＝{x |−12≤x ≤34
}，
由不等式|x ﹣a |≥1得：x ≤a ﹣1或x ≥a +1，
所以集合B ＝{x |x ≤a ﹣1或x ≥a +1}．
（2）因为“x ϵA ”是“x ϵB ”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，
所以a +1≤−12或a −1≥34，所以a ≤−32或a ≥74．
19．（12分）已知函数f （x ）＝2x −m x ，且f （12）＝﹣1． （1）求m 的值；
（2）判定f （x ）的奇偶性；
（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
解 （1）根据题意，函数f （x ）＝2x −m x ，
因为f(12)=−1，所以2×12−
m 12=−1，解可得m ＝1， （2）f(x)=2x −1x ，因为f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，
又f(−x)=2(−x)−(−1x )=−2x +
1x =−(2x −1x )=−f(x)， 所以f （x ）是奇函数．
（3）f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数
证明如下：任取x 1＞x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）＝（2x 1−1x 1）﹣（2x 2−1x 2）＝（x 1﹣x 2）（2+1x 1x 2） 因为x 1＞x 2＞0，所以x 1﹣x 2＞0，2+1x 1x 2
＞0，所以f （x 1）＞f （x 2）， 所以f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数．
20．（12分）已知关于的不等式x 2﹣（a +2）x +2a ＜0．
（1）当a ＝3时，解关于x 的不等式；
（2）当a ∈R 时，解关于x 的不等式．
解：（1）a ＝3时，不等式为x 2﹣5x +6＜0，即（x ﹣2）（x ﹣3）＜0；
解得2＜x ＜3，所以不等式的解集为{x |2＜x ＜3}；
（2）当a ∈R 时，不等式x 2﹣（a +2）x +2a ＜0化为（x ﹣2）（x ﹣a ）＜0；
当a ＜2时，不等式的解集为{x |a ＜x ＜2}；
当a ＝2时，不等式化为（x ﹣2）2＜0，解集为∅；
当a ＞2时，不等式的解集为{x |2＜x ＜a }．
21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x 台，另需投入成本p （x ）（万元），当月产量不足60台时，p （x ）＝x 2+20x （万元）；当月产量不小于60台时，p （x ）＝101x +6400x
−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．
（1）求月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
解（1）当0＜x ＜60时，y ＝100x ﹣（x 2+20x ）﹣400＝﹣x 2+80x ﹣400，
当x ≥60时，y ＝100x ﹣（101x +6400x −2060）﹣400＝1660﹣（x +6400x ）， ∴y ={−x 2+80x −400，0＜x ＜60，x ∈N 1660−(x +6400x )，x ≥60，x ∈N
． （2）①当0＜x ＜60时，y ＝﹣x 2+80x ﹣400＝﹣（x ﹣40）2+1200，
所以当x＝40时，y取最大值1200万元，
②当x≥60时，y＝1660﹣（x+6400
x）≤1660−2
√x⋅6400
x
=1500，
当且仅当x=6400
x即x＝80时取等号，
又1200＜1500，
所以当x＝80时，y取得最大值1500，
故当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．答：当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．22．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为﹣1，f（0）＝f（2）＝0．（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，求实数m的取值范围；
（3）若x∈[t，t+2]，试求y＝f（x）的最小值．
解：（1）由已知f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2）＝0，
可得对称轴为x＝1．又最小值为﹣1，
设f（x）＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0），又f（0）＝0，∴a＝1．
∴f（x）＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x．
（2）要使f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，则2m＜1＜m+1，所以0＜m＜1 2．
（3）由（1）知，y＝f（x）的对称轴为x＝1，
若t≥1，则y＝f（x）在[t，t+2]上是增函数，y min＝f（t）＝t2﹣2t．若t+2≤1，即t≤﹣1，则y＝f（x）在[t，t+2]上是减函数，
y min＝f（t+2）＝t2+2t．
若t＜1＜t+2，即﹣1＜t＜1，则y min＝f（1）＝﹣1．
综上所述，当t≥1时，y min＝t2﹣2t；
当﹣1＜t＜1，则y min＝﹣1；
t≤﹣1，y min＝t2+2t．。