2018-2019甘肃省武威高二上学期期末模拟数学（理）试题

2018-2019学年甘肃省武威第十八中学高二上学期期末模拟
数学试题（理科）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知条件:|1|2p x -<，条件2
:560q x x --<，则p 是q 的 （ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
2. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：
，使，其中正确的是 （ ） A . tan 1p x R x ⌝∃∈≠：
，使
B . tan 1p x R x ⌝∃∉≠：
，使 C .tan 1p x R x ⌝∀∈≠：
，使 D . tan 1p x R x ⌝∀∉≠：
，使 3. 动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
5．已知空间向量若)2,1,2(),2,,1(-==b n a ,若b a -2与b 垂直，则||a 等于 ( )
A.
53
B.
212 C. 37 D.
35
6. 若抛物线2
8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。

A ．(7,14)± B ．(14,14)± C ．(7,214)± D ．(7,214)-±
7．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )
A ．23
B ．33
C ．2
3
D ．1
3
8．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )
9. 给出下列结论,其中正确的是 （ ）
A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a b
y 的双曲线的标准方程一定是12222=-b
y a x
B ．抛物线221x y -
=的准线方程是2
1=x
C ．等轴双曲线的离心率是2
D ．椭圆()0,012222>>=+n m n
y m x 的焦点坐标()()
0,,0,22
2
2
21n m
F n m F ---
10．若椭圆2
2
:1(0,0,)C mx ny m n m n +=>>≠与直线:10l x y +-=交于,A B 两点,
过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
2
错误！未找到引用源。

,则m n
的值为( ) A .2 B .2 C .
2
2 D .12
11. 直线3y x =+与曲线2||
194
y x x -=交点的个数为（ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
12. 已知1F ，2F 分别为22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一
点，若
2
12
PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A ． (1,2]
B ．(1,3]
C ．[2,3]
D ．[3,)+∞
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 抛物线x y 62
=的准线方程为＿＿＿＿＿。

14. 已知正方形ABCD ，则以,A B 为焦点，且过,C D 两点的椭圆的离心率为___ _______。

15．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

16.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足__ ______时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）
已知双曲线与椭圆
22
13649
x y +=有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为
3
7
，求双曲线的方程。

18．（本小题满分12分）
已知点),(y x P 在圆1)1(2
2
=-+y x 上运动. （1）求
2
1
--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值. 19. （本题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，
13,5,4,4AC AB BC AA ====，点D 是AB 的中点．
(1)求证：1AC BC ⊥； (2)求证：1//AC 平面1CDB .
20．（本题满分12分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>过点(1,2)A -。

(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．
(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于5
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 21.（本题满分12分）
平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点)0,1(M 、)2,0(-N ，点P 满足
ON OM OP μλ+=，其中λ、R ∈μ，且12=-μλ
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点P 的轨迹与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 交于两点,A B ，且以AB 为直径的
圆过原点O ，求证：
2211b
a +为定值； （3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于2
3
，求椭圆实轴长的取值范围. 22．(本题满分12分)
设12,F F 分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>)的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆
C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为(1)求椭圆C 的焦距；
(2)如果F AF 222=，求椭圆C 的方程．
高二数学答案（理科）
一、 选择题BCDAD CABCC DB
二、 填空题13、3
2
x =-；14
1；15、221205x y -
=±错误！未找到引用源。

；16、DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) 三、 解答题
17. 解析：椭圆x 236＋y 2
49
＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝
137
. 由题意可知双曲线的焦点为(0，±13)， 离心率e 2＝
13
3
，所以双曲线的实轴长为6. 所以双曲线的方程为y 29－x 2
4
＝1.
18. 解：（1）设k x y =--21
，则k 表示点),(y x P 与点（2，1）连线的斜率.当
该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值.由
11
22
=+k k ，解得
33
±
=k ，∴
21--x y 的最大值为33
，最小值为33-
.
（2）设m y x =+2，则m 表示直线m y x =+2在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值.由15
1=-m ，解得51±=m ，∴y
x +2的最大值为51+，最小值为51-.
19. 解法一：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，
∴AC ⊥BC .
又∵CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥AC . ∵CC 1∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1， 又B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥BC 1. (2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE . ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1
.
∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.
解法二： ∵直三棱柱111ABC A B C -底面三边长3,5,4,AC AB BC === ∴1,,AC BC C C 两两垂直．
如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，
D (32
，2,0)．
(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，∴AC →·BC 1→
＝0，∴AC ⊥BC 1.
(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E (0,2,2)．∵DE →＝(－3
2，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)，
∴DE →＝12
AC 1→，∴DE →∥AC 1→
.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.
20. 解(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，
得(－2)2
＝2p ·1，所以p ＝2.
故所求的抛物线C 的方程为y 2
＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－2x ＋t ，y 2
＝4x 得y 2
＋2y －2t ＝0.
因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.
另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝
55，可得|t |5＝15
，解得t ＝±1. 因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－1
2
，＋∞)，
所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.
21. 解：（1）设),(y x P ，则)2,0()0,1(),(-+=μλy x ，∴x =λ，
2
y
-=μ，∴1=+y x 点P 的轨迹方程是1=+y x .
（2）设交点A ，B 的坐标为),(11y x ，),(22y x ，由于以AB 为直径的圆过原点O ，则
OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即01)(22121=++-x x x x .由⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+1
1222
2b y a x y x 得：
02)(2
2
2
2
2
2
2
=-+-+b a a x a x b a ，∴222212b a a x x +=+，2
22
2221b
a b a a x x +-= 22222)(2b a b a a +-012222=++-b a a ，整理得21122=+b a ；所以，221
1b a +为定值.
（3）由于2222221e a c a a b -=-=，及21122=+b
a 得：2
2
22121e a -+= 由于]23
,
0(∈e ，2a 是关于2e 的函数并且是增函数，∴]2
5,1(2∈a 所以，椭圆的长轴取值范围是]10,2(
22. 解(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝ 3
∴l 的方程为y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0 ∵F 1到直线l 的距离为2 3 ∴
|－3c －3c |(3)2＋(－1)2
＝
23c
2
＝3c ＝23∴c ＝2 ∴椭圆C 的焦距为4
(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0直线l 的方程为y ＝3(x －2)
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1
得(3a 2＋b 2)y
2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0 由韦达定理可得2
122222
122233(4)3y y a b b a y y a b ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
∵AF →＝2F 2B →
∴－y 1＝2y 2，代入得
2
222
22
222233(4)
3y a b b a y a b ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩
由上式可得得1
2＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4)＝222216(3)(4)b a b a +- ①
又a 2＝b 2＋4 ② 由①②,解得
a 2＝9,
b 2＝5∴椭圆
C 的方程为x 29＋y 2
5
＝1。