最新九年级上册上册数学压轴题培优测试卷

最新九年级上册上册数学压轴题培优测试卷
一、压轴题
1．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标；
（2）求证：BA ⊥AC ；
（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
2．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32
DF CD =
，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x = （1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．
（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．
（3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．
3．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．
=；
（1）求证：AB CD
（2）若O的半径为8，弧BD的度数为120︒，求四边形ABCD的面积；
⊥于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．（3）如图2，作OM BC
4．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以
cm s的速度移cm s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2/
1/
动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
26cm？若存在，请求出此时t的（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2
值；若不存在，请说明理由．
5．已知，如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P为AC的中点，Q从点A 运动到B，点Q运动到点B停止，连接PQ，取PQ的中点O，连接OC，OB．
(1)若△ABC∽△APQ，求BQ的长；
(2)在整个运动过程中，点O的运动路径长_____；
(3)以O为圆心，OQ长为半径作⊙O，当⊙O与AB相切时，求△COB的面积．
6．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．
（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．
（2）当点C 在弦AB 的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE 、EC 、CB 满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径为2，过⊙O 上一点P 作PH ⊥AC 于点H ，交AB 于点M ，当∠PAB ＝45°时，求AH 的长．
7．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着A C B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）.
（1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示）
（2）求S 与t 的函数表达式；
（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.
8．如图，抛物线2
()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COF CDF S S =：:时，求点D 的坐标．
(3)如图2，点E 的坐标为(03
)2
-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，一次函数122
y x =-+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．
（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
10．如图，抛物线2)12
(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线122
y x =-经过点,B C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是t ．
①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；
②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．
11．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．
作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．
12．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF （其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应）．
（1）如图1，当点G 落在AD 边上时，直接写出AG 的长为 ；
（2）如图2，当点G 落在线段AE 上时，AD 与CG 交于点H ，求GH 的长；
（3）如图3，记O 为矩形ABCD 对角线的交点，S 为△OGE 的面积，求S 的取值范围．
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一、压轴题
1．（1）点B （3，4），点C （﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由中心对称的性质可得OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；
（2）由两点距离公式可求AB ，AC ，BC 的长，利用勾股定理的逆定理可求解；
（3）由旋转的性质可得DO ＝BO ＝CO ，可得△BCD 是直角三角形，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，可证CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，由两点距离公式可求解．
【详解】
解：（1）∵A （﹣5，0），OA ＝OC ，
∴OA ＝OC ＝5，
∵点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0），
∴OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），
∴5()()220+10a a -+-
∴a ＝3，
∴点B （3，4），
∴点C （﹣3，﹣4）；
（2）∵点B （3，4），点C （﹣3，﹣4），点A （﹣5，0），
∴BC ＝10，AB ＝5，AC ＝5
∵BC 2＝100，AB 2+AC 2＝80+20＝100，
∴BC 2＝AB 2+AC 2，
∴∠BAC ＝90°，
∴AB ⊥AC ；
（3）过定点，
理由如下：
∵将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，
∴CO ＝DO ，
又∵CO ＝BO ，
∴DO ＝BO ＝CO ，
∴△BCD 是直角三角形，
∴∠BDC ＝90°，
如图②，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，
∵DE 平分∠BDC ，
∴∠BDE ＝∠CDE ＝45°，
∴∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，
∴CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，
∵BC ＝10，
∴BH ＝CH ＝2，OH ＝OB ＝OC ＝5，
设点H （x ，y ），
∵点H 在第四象限，
∴x ＜0，y ＞0，
∴x 2+y 2＝25，（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝50，
∴x ＝4，y ＝3，
∴点H （4，﹣3），
∴∠BDC 的角平分线DE 过定点H （4，3）．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
2．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65
AP =
或3AP = 【解析】
【分析】
（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12
AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32
QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<
时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当
4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．
【详解】
解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =
∴4AB x =
∴在Rt ABQ △中，5BQ x =
= ∵OD m ⊥，m l ⊥
∴//OD l
∵OB OQ = ∴122AH BH AB x ==
= ∴2CD x = ∴332
FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q
∴3AP AQ x ==
∵4PC =
∴64CQ x =+
过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：
∵90BAQ ∠=︒
∴//OM AB
∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒
∴点O 是BQ 的中点 ∴1322
QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-
=+ ∵1522
OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=
+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形 ∴13x =，25x =-（不合题意，舍去） ∴39AP x ==
∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9． （3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF = ①点P 在A 点的右侧时，如图：
∴243x x +=
∴4x =
∴312AP x ==
②点P 在A 点的左侧时
I.当点C 在Q 右侧时
i.当 407
x <<时，如图：
∵47DE x =-，3DF x =
∴473x x -=
∴25
x = ∴635AP x x ==
ii.当4273
x ≤<时，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =（不合题意，舍去）
II. 当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =
∴33AP x ==
∴综上所述，当12AP =或65
AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =
或3AP = 【点睛】
本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．
3．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD 的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD ，根据题意计算即可；
（3）连结OB 、OC 、OA 、OD ，作OE ⊥AD 于E ，如图3，根据垂径定理得到AE=DE ，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC ，∠AOE=∠ABD ，再利用等角的余角相等得到
∠OBM=∠AOE ，则可证明△BOM ≌△OAE 得到OM=AE ，证明结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AC=BD ，
∴AC BD =，
则AB DC ，
∴AB=CD ；
（2）如图1，连接OB 、OD ，作OH ⊥BD 于H ，
∵弧BD 的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，
则
BH=32
OB=43， ∴BD=83，
则四边形ABCD 的面积=12
×AC×BD=96；
（3）AD=2OM ，
连结OB 、OC 、OA 、OD ，作OE ⊥AD 于E ，如图2，
∵OE ⊥AD ，
∴AE=DE ，
∵∠BOC=2∠BAC ，
而∠BOC=2∠BOM ，
∴∠BOM=∠BAC ，
同理可得∠AOE=∠ABD ，
∵BD ⊥AC ，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE
，
在△BOM 和△OAE 中，
OMB OEA OBM OAE OB OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BOM ≌△OAE （AAS ），
∴OM=AE ，
∴AD=2OM ．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性
质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．
4．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .
（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝
25据此求出t 值.
（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.
【详解】
解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.
（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，
解得：1t ＝0，2t ＝2；
当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；
（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下：
长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，
使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ，
()15242
t t -⨯⨯=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．
即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．
【点睛】
本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.
5．(1)BQ=8.2cm ；(2)5cm ；(3)S △BOC ＝
39625. 【解析】
【分析】
(1)根据ABC APQ ∆~∆得AC AB AQ AP
=，从而得到AQ 的长即可求出BQ 的长； （2）由点Q 与点A 重合和点Q 与点B 重合时，可以确定点O 的位置，再根据点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时，由点O 是PQ 的中点，点F 是PB 的中点可知OF 是
PBQ ∆的中位线，从而得到点O 的运动轨迹是APB ∆的 中位线，即线段EF ，即可求得答案；
（3）连接AO ，过点O 作ON AC ⊥ ，先证明APQ ABC ∆~∆得到
AQ AP PQ AC AB BC == ，所以求得,AQ PQ 的值，且OP OQ =，再证明PON PAQ ∆~∆得到ON PO AQ PA
=，求得ON 的值，再根据BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--即可求得答案；
【详解】
解：(1)如图1所示，
∵90,6,8C AC cm BC cm ∠===
∴10AB cm =
又∵点P 为AC 的中点，
∴3AP cm =
∵ABC APQ ∆~∆
∴AC AB AQ AP = ，即6103
AQ = 解之得： 1.8AQ =
则8.2BQ AB AQ cm =-=
(2)如图2，
当点Q 与点A 重合时，点O 位于点E 的位置，
当点Q 与点B 重合时，点O 位于点F 的位置，
则EF 是△APB 的中位线，
∴EF ∥AB ，且EF ＝12AB ＝5，152
EF AB == 而当点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时，
∵点O 是PQ 中点，点F 是PB 的中点，
∴OF 是△PBQ 的中位线，
∴OF∥BQ，
∴点O的运动轨迹是线段EF，
则点O的运动路径长是5cm；
故答案为5cm．
(3)如图3，连接AO，过点O作ON AC
⊥于点N ，
∵⊙O与AB相切，
∴PQ AB
⊥，即90
AQP
∠=，
∵,90
PAQ BAC ACB AQP
∠=∠∠=∠=
∴APQ ABC
∆~∆
∴
AQ AP PQ
AC AB BC
==，即
3
6108
AQ PQ
==
解之得：
912
,
55
AQ PQ
==
则
6
5
OP OQ
==
∵ON AC
⊥
∴90
PNO PQA
∠=∠=
又∵OPN APQ
∠=∠
∴PON PAQ
∆~∆，
∴
ON PO
AQ PA
=，即
6
5
93
5
ON
=，
解之得:
18
25
ON=
则BOC ABC AOB AOC
S S S S
∆∆∆∆
=--
111
•••
222
BC AC AB OQ AC ON
=--
116118
68106
225225
=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯
396
25
=
【点睛】
本题主要考查了相似三角形和圆的综合问题，掌握圆的切线判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、割补法求面积等知识点是解题关键.
6．（1）见解析；（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，见解析；（3）AH的长为3﹣1或3+1．
【解析】
【分析】
（1）在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，证明△FAG≌△FBC，根据全等三角形的性质得到FG＝FC，根据等腰三角形的性质得到EG＝EC，即可证明.
（2）在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，证明△FCG≌△FCB，根据全等三角形的性质得到FG＝FB，得到FA＝FG，根据等腰三角形的性质得到AE＝GE，即可证明.
（3）分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.
【详解】
解：（1）如图2，
在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，
∵点F是AFB的中点，FA＝FB，
在△FAG和△FBC中，
,
FA FB
FAG FBC
AG BC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FAG≌△FBC（SAS），
∴FG＝FC，
∵FE⊥AC，
∴EG＝EC，
∴AE＝AG+EG＝BC+CE；
（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，
理由：如图3，
在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，
∵点F是AFB的中点，
∴FA＝FB，FA FB
=,
∴∠FCG＝∠FCB，
在△FCG和△FCB中，
,
CG CB
FCG FCB
FC FC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FCG≌△FCB（SAS），
∴FG＝FB，
∴FA＝FG，
∵FE⊥AC，
∴AE＝GE，
∴CE＝CG+GE＝BC+AE；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，∴
1
223
2
BC AB AC
===
，，
当点P在弦AB上方时，如图4，
在CA上截取CG＝CB，连接PA，PB，PG，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝45°，
∴∠PBA＝45°＝∠PAB，
∴PA ＝PB ，∠PCG ＝∠PCB ，
在△PCG 和△PCB 中， ,CG CB PCG PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PCG ≌△PCB （SAS ），
∴PG ＝PB ，
∴PA ＝PG ，
∵PH ⊥AC ，
∴AH ＝GH ，
∴AC ＝AH+GH+CG ＝2AH+BC ，
∴22AH =+，
∴1AH =，
当点P 在弦AB 下方时，如图5， 在AC 上截取AG ＝BC ，连接PA ，PB ，PC ，PG
∵∠ACB ＝90°，
∴AB 为⊙O 的直径，
∴∠APB ＝90°，
∵∠PAB ＝45°，
∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，
∴PA ＝PB ，
在△PAG 和△PBC 中，
,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PAG ≌△PBC （SAS ），
∴PG ＝PC ，
∵PH ⊥AC ，
∴CH ＝GH ，
∴AC ＝AG+GH+CH ＝BC+2CH ，
∴22CH ，
=+
∴1CH =，
∴
)
11AH AC CH =-==， 即：当∠PAB ＝45°时，AH
1
1.
【点睛】
考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.
7．（1）7-t （2）()()()22904;25{1674725
t t S t t ππ<≤=-<<（3）516,23t t == 【解析】
【分析】
（1）先判断出点P 在BC 上，即可得出结论；
（2）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（3）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：借助（2）求出的圆P 的半径等于PC ，建立方程求解即可得出结论．
【详解】
（1）∵AC =4，BC =3，∴AC +BC =7．
∵4＜t ＜7，∴点P 在边BC 上，∴BP =7﹣t ．
故答案为：7﹣t ；
（2）在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，根据勾股定理得：AB =5，由运动知，AP =t ，分两种情况讨论：
①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，如图1，记⊙P 与边AB 的切点为H ，连接PH ，∴∠AHP =90°=∠ACB ．
∵∠A =∠A ，∴△APH ∽△ACB ，∴PH AP BC AB =，∴35PH t =，∴PH 35=t ，∴S 925=πt 2； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，如图，记⊙P 与边AB 的切点为G ，连接PG ，∴∠BGP =90°=∠C ．
∵∠B =∠B ，∴△BGP ∽△BCA ，∴
PG BP AC AB =，∴745PG t -=，∴PG 45=（7﹣t ），∴S 1625
=π（7﹣t ）2．
综上所述：S 2290
425
1674725
t t t t ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩（＜）（）（＜＜）； （3）分两种情况讨论：
①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，由（2）知，⊙P 的半径PH 35=t ． ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切，即：⊙P 和边BC 相切，∴PC =PH ．
∵PC =4﹣t ，∴4﹣t 35=t ，∴t 52
=秒； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，由（2）知，⊙P 的半径PG 45=
（7﹣t ）． ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切，即：⊙P 和边AC 相切，∴PC =PG ．
∵PC =t ﹣4，∴t ﹣445=（7﹣t ），∴t 163
=秒． 综上所述：在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，t 的值为52秒或163
秒．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．
8．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(1
4)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或5799177+-+，． 【解析】
【分析】
（1）由3OB OC ==及图像可得B 、C 两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；
（2）由题意易得35COF COD S S =，进而得到点D 、F 横坐标之间的关系为53D F x x =，设
F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ，则有直线BC 的解析式为3y x =-+，然后可直接求解；
（3）分∠PBE 或∠PEB 等于2∠OBE 两种情况分别进行求解即可．
【详解】
解：(1)3OB OC ==，则：()()3003B C ，，
，， 把B C 、坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为：2y x 2x 3=-++①；
(2)∵32COF CDF S S =△△：
：， ∴35
COF COD S S =，即：53
D F x x =， 设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ， 点F 在直线BC 上，
而BC 所在的直线表达式为：3y x =-+，则33(3)F t t -，
， 则直线OF 所在的直线表达式为：3313t t y x x t t
--==， 则点55(5)D t t -，， 把D 点坐标代入抛物线解析式，解得：15t =
或2 5， 则点D 的坐标为(1
4)，或(2)3，； (3)①当2PBE OBE ∠=∠时，
当BP 在x 轴上方时，
如图2，设1BP 交
y 轴于点E '， ∴1
2PBE OBE ∠=∠ ， ∴E BO EBO ∠'=∠ ，
又60E OB EBO BO BO ∠'=∠=︒=， ，
∴()E BO EBO AAS '≌ ， ∴32
EO EO ==， ∴点3(20)E '，，
直线1BP 过点B
E '、，则其直线方程为：1322
y x =-+②， 联立①②并解得：12x =- ， 故点P 1的坐标为17
()24
-，；
当BP 在x 轴下方时， 如图2，过点E 作//EF BE '交2BP 于点F ，则FEB EBE ∠=∠'，
∴222E BE OBE EBP OBE ∠'=∠∠=∠， ，
∴FEB EBF ∠=∠ ，
∴FE BF = ，
直线EF 可以看成直线BE '平移而得，其k 值为12-
， 则其直线表达式为：1322
y x =-- ， 设点13()22
F m m --，，过点F 作FH y ⊥轴交于点H ，作BK HF ⊥于点K ， 则点13()202H m --，，13()232
K m --，， ∵EF BF =，则22FE BF =， 即：()22
22331313()()22222
m m m m +-++=-++， 解得：52
m =， 则点511()24F -，， 则直线BF 表达式为：113322y x =
-…③， 联立①③并解得：132x =-
或3(舍去3)， 则点213209()24
P --，； ②当2PEB OBE ∠=∠时，
当EP 在BE 上方时，如图3，点E '为图2所求，
设BE '交3EP 于点F ，
∵2EBE OBE ∠'=∠，
∴3EBE P EB ∠'=∠ ，
∴FE BF = ，
由①知，直线BE '的表达式为：1322
y x =-+， 设点13()22F n n -+，，13()232
K n -+，， 由FE BF =，同理可得：12
n =， 故点15()24F ，， 则直线EF 的表达式为：11322
y x =-④， 联立①④并解得：1n =或92
- (舍去负值)， ∴34(1
)P ， ； 当EP 在BE 下方时， 同理可得：597x ±=
舍去负值)， 故点4597(9177P +-+，． 故点P 的坐标为：(1
4)，或17()24-，或13209()24--，或5799177+-+，． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解．
9．(1) A （0，2），B(4，0)，2722
y x x =-++；(2)当t=2时，MN 有最大值4；(3) D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．
【解析】 【分析】
(1)首先求得A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)本问要点是求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN 的最大值；
(3)本问要点是明确D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，其中D 1、D 2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标即可．
【详解】
解：(1)∵122
y x =-
+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点， ∴A 、B 点的坐标为：A （0，2），B(4，0)， 将x=0，y=2代入2y x bx c =-++得c=2，
将x=4，y=0,代入2y x bx c =-++得b=
72， ∴抛物线解析式为：2722
y x x =-++； (2)如答图1所示，设MN 交x 轴于点E ，则E(t ，0)，则M(t ，122
t -)，
又N 点在抛物线上，且x N =t ，
∴2722
N y t t =-++， ∴()22271224=2422N M MN y y t t t t t t ⎛⎫=-=-++--=-+--+ ⎪⎝
⎭， ∴当t=2时，MN 有最大值4．
(3)由(2)可知A （0，2）、M(2，1)、N(2，5)，
以A 、M 、N 、D 为顶点做平行四边形，D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，
当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ），
由AD=MN ，得|a-2|=4，解得a 1=6，a 2=-2，
从而D 点坐标为（0，6）或D （0，-2），
当D 不在y 轴上时，由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点，
分别求出D 1N 的解析式为：162y x =-
+， D 2M 的解析式为：322
y x =-， 联立两个方程得：D 3（4，4），
故所求的D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数综合，经常作为压轴题出现，正确的掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（1）211242y x x =--；（2）①P (2，−2)或(-6，10)，②1122
y x =-或324y x t =-+-或4412424
t t y x t t --=+-++ 【解析】
【分析】
（1）利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ，C 的坐标，根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；
（2）①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑： （i ）当∠MPC=90°时，PC //x 轴，利用二次函数可求出点P 的坐标；
（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，易证△BOC ∽△COD ，利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标，根据点C ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线PC 的解析式，联立直线PC 和抛物线的解析式，通过解方程组可求出点P 的坐标；
②在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线，分开求解三条中位线方程即可求解．
【详解】
解：（1）因为直线交抛物线于B 、C 两点，
∴当x =0时，y
=12
x −2=−2， ∴点C 的坐标为(0，−2)；
当y =0时，12
x −2=0， 解得：x =4，
∴点B 的坐标为(4，0)．
将B 、C 的坐标分别代入抛物线，得：
2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：142
a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为211242
y x x =--． （2）①∵PM ⊥x 轴，M 在直线BC 上，
∴∠PMC 为固定角且不等于90，
∴可分两种情况考虑，如图1所示：
（i ）当∠MPC=90时，PC //x 轴，
∴点P 的纵坐标为﹣2，
将y p =-2，代入抛物线方程可得：
2112242
x x --=-解得： x 1=2，x 2=0（为C 点坐标，故舍去），
∴点P 的坐标为(2，−2)；
（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，
∵∠OBC+∠OCB=90°，∠OCB+∠OCD=90°，
∴∠OBC=∠OCD ，
又∵∠BOC=∠COD=90°，
∴BOC ∽COD （AAA ），
∴OD OC OC OB =，即OD=2
OC OB
， 由（1）知，OC=2，OB=4，
∴OD=1，
又∵D 点在X 的负半轴
∴点D 的坐标为(-1，0)，
设直线PC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 是常数)， 将C(0，−2)，D(-1，0)代入直线PC 的解析式，得：
20b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=-⎩
， ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2，
联立直线PC 和抛物线方程，得：
22122142
x x x -=---， 解得：x 1=0，y 1=−2，x 2=-6，y 2=10，
点P 的坐标为(-6，10)，
综上所述：当PCM 是直角三角形时，点P 的坐标为(2，−2)或(-6，10)；
②如图2所示，在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线；
（a ）当以CM 为底时，过A 点做CM 的平行线AN ，直线AN 平行于CM 且过点A ，则斜率为12，AN 的方程为：1(+2)2y x =，则中位线方程式为：1122
y x =-； （b ）当以AM 为底时，因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点，则M 的横坐标为t ，且在直线BC 上，则M 的坐标为：1
,22M t t -（），其中4t >，则AM 的方程为：
44+242t t y x t t --=++，过C 点做AM 的平行线CQ ，则CQ 的方程为：4224
t y x t -=-+ ，则中位线方程式为：4412424
t t y x t t --=
+-++； （c ）当以AC 为底时，AC 的方程式为：2y x =--，由b 可知M 的坐标为：1,22M t t -（），过M 做AC 的平行线MR ，则MR 的方程为：322
y x t =-+-，则中位线方程式为：324
y x t =-+-；
综上所述：当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，直线解析式为：1122y x =
-或324y x t =-+-或4412424
t t y x t t --=+-++． 【点睛】 本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等，解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等．
11．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222-或222x <<.
【解析】
【分析】 ()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；
()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；
()3分三种情形讨论求解即可．
【详解】
解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．
()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，
当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：
故答案为2，2．
()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．
②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，
1OP N 是等腰直角三角形，
1ON 2NP 22∴==，
OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．
③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，
如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，
如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．
此时OM22
=，
综上所述，当2x22
<<时，有3个P点．
∴满足条件的x的值为0或222
-或2x22
<<．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（1）4﹣23；（2）3
2
；（3）4﹣5≤S≤4+5
【解析】
【分析】
（1）在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG即可解决问题；
（2）首先证明AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣HD＝4﹣m，在Rt△DHC中，根据CH2＝CD2+DH2，构建方程求出m即可解决问题；
（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝CG＝4，∠D＝90°，
∵AB＝CD＝2，
∴DG22
CD
CG-22
42
-3，
∴AG＝AB﹣BG＝4﹣3
故答案为:4﹣3．
（2）如图2中，
由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，
∵点G在线段AE上，
∴∠AGC＝90°，
∵CA＝CA，CB＝CG，
∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．
∴∠ACB＝∠ACG，
∵AB∥CD
∴∠ACG＝∠DAC，
∴∠ACH＝∠HAC，
∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，
∴m2＝22+（4﹣m）2，
∴m＝5
2
，
∴AH＝5
2
，GH22
AH AG
-
2
2
5
2
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
3
2
．
（3）在Rt△ABC中，2225
AC AB BC
=+=,
1
5
2
OC AC，
由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB 不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，即
△OGE的面积最小，最小值＝1
2
×OG×EG＝
1
2
×2×（4545
当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE′G′的面积最大．最大值＝1
2
×E′G′×OG′＝
1
2
×2×（55
综上所述，455
【点睛】
本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.（1）比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键；（2）能表示Rt△DHC三边，借助方程思想是解决此问的关键；（2）理解线段GE的运动轨迹，得出面积最小（大）时G点的位置是解决此问的关键.。