人教版B版高中数学必修第一册 第三章综合测试03试题试卷含答案 答案在前

第三章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】B
【解析】(5)1255410f a b =++= ，12556a b ∴+=
(5)12554(1255)4642f a b a b ∴-=--+=-++=-+=-.故选B .
2.【答案】A
(1)f x + 的定义域为[2,0]-， 1[1,1]x ∴+∈-
11,11,x k x k --⎧∴⎨
-+⎩≤≤≤≤解得11
11k x k k x k -+⎧⎨---+⎩
≤≤≤≤ 即11(01)k x k k --≤≤＜＜ 3.【答案】C
【解析】2
2
2111C 2f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22()2,(3)3211.44f x x f ∴=+∴=+=
4.【答案】D
【解析】当0a ＞时，2()()240f a f a a a -+=-≤，解得02a ＜≤；当0a =时，()()0f a f a -+=，符合条件； 当0a ＜时，2()()240f a f a a a -+=+≤，解得20a -≤＜.综上，[2,2]a ∈-，故选D . 5.【答案】B
【解析】∵偶函数的定义域关于原点对称，
220a a ∴-+-=，解得2a =.
由()()f x f x -=可得20a b -=，∴1b =. ∴2()21f x x =+，
22
(1)35a b f f ⎛⎫
+∴==
⎪⎝⎭
，故选B . 6.【答案】C 【解析】由题意得，
2++
32100,020,160,2,
,
0,x x x x y x x x ⎧-+-∈⎪=⎨-∈⎪⎩N N ＜≤＞ 当020x ＜≤时，2232100(16)156y x x x =-+-=--+，16x =时，max 156y =；而当20x ＞时，160140x -＜，所以16x =时，所得年利润最大，故选C . 7.【答案】C
【解析】0102
x ≤＜，
()0011,122f x x ⎡⎫
∴=+∈⎪⎢⎣⎭
，
()()0000112121222f f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎡⎤⎡⎤∴=⨯-=⨯-+=⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()0011,0222f f x A x ⎛⎫⎡⎤∈∴⨯- ⎪⎣⎦⎝⎭ ≤＜， 011
42
x ∴＜≤， 又00111
0,242
x x ∴ ＜＜≤＜.故选C .
8.【答案】D
【解析】当方程2(1)20x m x m --+=在[0,1]上有两个相等的实数根时，有2(1)80,
1
01,2
m m m ⎧=--=⎪
⎨-⎪⎩△≤
≤此时无解. 当方程2(1)20x m x m --+=有两个不相等是实数根时，分下列三种情况讨论. ①有且只有一根在[0,1]上时，有()()000f f ＜ ，即2(2)0m m +＜，解得20m -＜＜； ②当(0)0f =时，0m =，方程化为20x x +=，解得10x =，21x =-，满足题意；
③当(1)0f =时，2m =-，方程可化为2340x x +-=，解得11x =，24x =-，满足题意综上所述，实数m 的取值范围为[2,0]-.故选D . 9.【答案】B
【解析】由题意可得(5)(5)(5)f x f x f x +=-=-，
(10)()f x f x ∴+=.
当[0,5]x ∈时，()y f x =仅有1x =一个零点，且()f x 是偶函数，
()f x ∴在[5,0]-上仅有1x =-一个零点， ()f x ∴在[0,10]上有两个零点，即1x =与9x =.
2018201108=⨯+ ，(2011)(1)0f f ==，
∴所求零点的个数为201222806⨯⨯+=，故选B .
二、
10.【答案】BD
【解析】对于A
，()f x
与()g x x =故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数； 对于B ，()f x x =
与()g x =()f x 与()g x 表示事同一个函数； 对于C ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数； 对于D ，()x
f x x
=
与0()g x x =的对应关系x 和定义域均相同，故()f x 与()g x 表示的是同一个函数； 对于E
，()f x ={}|0x x ＞
，()g x =
的定义域是{}|01x x x -＞或＜，故()f x 与
()g x 表示的不是同一个函数.故选BD .
11.【答案】CE
【解析】对于A ，()f x x =是定义域R 上的偶函数，.不满足题意；对于B ，1
()f x x
=
在定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数.不满足题意；对于C ，3
()f x x =-在定义域R 上是奇函数，且是减函数，满足题意；对于D ，2
2,0,
(),0,
x x f x x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩≥＜在定义域R 上是奇函数，
且是增函数.不满足题意；对于E
，()f x =R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意.故选CE . 12.【答案】ACE
【解析】由题设可得函数的定义域为[31]
-，
，2()4242f x =+=+，
而02，即2()8f x 4≤≤
，()0,2()f x f x ∴ ＞≤≤，()f x ∴
的最大值为最小值为2，
故选ACE . 三、
13.【答案】1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】()3f x x a =-+ 在(,1)x ∈-∞上是单调递减的，且()f x 在R 上是单调函数，()f x ∴在R 上一定单调递减，
0,13,
a a a ⎧∴⎨
-+⎩＞≤解得12a ≥，
1,2a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭
.
14.【答案】
2
5
【解析】(2)()f x f x += ，
5122f f ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
9122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 又5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
1122f f ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
121252a ∴-+=-，
3
5
a ∴=
， 32
(5)(3)(1)(1)155
f a f f f ∴===-=-+
=-. 15.【答案】(2,0)(0,2)-
【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(2)(2)0f f ∴=--=.
()f x 为奇函数且在(0,)+∞上单调递增，()f x ∴在(,0)-∞上单调递增.由数形结合解对()0xf x ＜可得
20x -＜＜或02x ＜＜，即不等式()0xf x ＜的解集为(2,0)(0,2)- .
16.【答案】答案①④
【解析】①方程2
(3)0x a x a +-+=有一正一根，则有2
12
(3)40,
0,a a x x a ⎧=--⎪⎨=⎪⎩△＞＜解得0a ＜，故①正确；
②定义域为{1,1}-，此时()0f x =，
()f x ∴既是奇函数也是偶函数，故②不正确：
③函数()f x 的值域与函数(1)f x +的值域相同，故③不正确； ④画出曲线23y x =-，如图所示，
∴曲线23y x =-和直线()y a a =∈R 的公共点的个数可能为0，2，3，4，故m 的值不可能是1，故④正确.
故填①④. 四、
17.【答案】（1）因为函数21()1mx f x x +=+是R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，即22
()11
1()1m x mx x x
-++=+-+对任意实数x 恒成立，解得0m =. （2）由（1）得2
1
()1f x x =
+，此函数在(,0)-∞上为增函数. 证明：任取12,(,0)x x ∈-∞，且12x x ＜，则()()()()2
221122222121211
1111x x f x f x x x x x --=-=++++()()()()
212122
12
11x x x x x x +-=++， 因为12,(,0)x x ∈-∞，且12x x ＜，
所以()()
22
12110x x ++＞，210x x +＜，210x x -＞，
所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜.
所以函数2
1
()1f x x =
+在(,0)-∞上为增函数. 18.【答案】（1）根据偶函数的性质及已知条件，将题中()f x 的图像补充完整（图略），由函数图像知，()
f x 的增区间为[1,0]-和[1,)+∞.
（2）当0x ＞时，0x -＜，22()()2()2f x x x x x -=-+-=-，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以
2
()()2f x f x x x =-=-，所以函数()f x 的解析式为2
2
2,0,
()2,0.
x x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+⎪⎩＞≤ （3）由（2）知，2()(22)2([1,2])g x x a x x =-++∈.因为函数2(22)2y x a x =-++，x ∈R 的图像的对称轴为直线(22)
12
a x a -+=-
=+，所以 ①当11a +≤，即0a ≤时，函数()g x 的最小值为(1)12g a =-； ②当12a +≥，即1a ≥时，函数()g x 的最小值为(2)24g a =-；
③当112a +＜＜，即01a ＜＜时，函数()g x 的最小值为2(1)21g a a a +=--+. 19.【答案】（1）()f x 在其定义域上为奇函数. 证明如下：
()(0),(1)12a
f x x x f a x
=+≠=+= ，
11,()a f x x x
∴=∴=+， 1
()()f x x f x x
-=--
=- ，且函数()f x 的定义域关于原点对称， ()f x ∴在定义域上称为奇函数.
（2）证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ＜，
()()21212111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()122121211211x x x x x x x x x x ⎛⎫
-=-+=-- ⎪⎝⎭，
21121212
110,1,
1,10x x x x x x x x -- ＞＞＜ ()()210f x f x ∴-＞，即()()21f x f x ＞， ()f x ∴在(1,)+∞为增函数.
（3）由（2）可知()f x 在(1,)+∞上单调递增，
()f x ∴在[2,5]上的最小值和最大值分别min 15
()(2)222
f x f ==+=， max 126
()(5)555
f x f ==+
=. 20.【答案】（1）由题意得()1210P x x =+， 则2
0.5221210,016,
()()()2241210,16x x x x f x Q x P x x x ⎧-+--⎪=-=⎨--⎪⎩≤≤＞,
即2
0.51212,016,
()21210,16.x x x f x x x ⎧-+-⎪=⎨-⎪⎩
≤≤＞
（2）当16x ＞时，函数()f x 在定义域内递减，所以()(16)21216052f x f =-=＜；
当016x ≤≤时，22()0.512120.5(12)60f x x x x =-+-=--+，所以当12x =时，()f x 有最大值，最大值为60.
综上，当工厂生产1 200台产品时，可使利润最多，利润最多为60万元。

21.【答案】（1）证明：2()0222x x x f x f f ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≥，又()0,()0f x f x ≠∴ ＞.
（2）证明：任取1212,,x x x x ∈R ＜，则12x x -＜0，又()f x 为非零函数，
()()()
()
122122f x x f x f x x f x -∴-=
，
()()
()()
1221221f x x x f x f x f x -+=
=
＞，
()()12()0,f x f x f x ∴ ＞＞， ()f x ∴为减函数.
（3）21
(4)(2),()016
f f f x ==
＞, 1(2)4
f ∴=
, ∴原不等式转化为()
2235(2)f x x x f +-+-≤，由（2）可知()f x 为减函数，22x ∴+≥，0x ∴≥，故所求
不等式的解集为{}|0x x ≥.
22.【答案】（1）令0m n ==，则(0)2(0)1f f =-，
(0)1f ∴=.
（2）证明：任取12,x x ∈R ，且12x x ＜， 则210x x -＞，()211f x x -＞.
()()()1f m n f m f n +=+- ，
()()()()()()221121111111f x f x x x f x x f x f x f x ∴=⎡-+⎤=-+-+-=⎣⎦＞，
()()21f x f x ∴>， ()f x ∴在R 上为增函数.
（3）()
2(2)3f ax f x x -+- ＜
()
2(2)12f ax f x x -+--＜ ()
222f ax x x ∴-+-＜ (1)2f =
()
22(1)f ax x x f ∴-+-＜.
又()f x 在R 上为增函数，
221ax x x ∴-+-＜
2(1)30x a x ∴-++＞对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.
令2()(1)3(1)g x x a x x =-++≥，
只需满足min ()0g x ＞即可. 当
1
12
a +，即1a ≤时， ()g x 在[1,)+∞上递增，因此min ()(1)g x g =，由(1)0g ＞得3a ＜，此时1a ≤；
当
112a +，即1a ＞时，min 1()2a g x g +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
由102a g +⎛⎫ ⎪⎝⎭
＞得11a --＜＜，此时11a ＜＜.
综上，实数a 的取值范围为(1)-∞.
第三章综合测试
一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数3()4f x ax bx =++（,a b 不为零），且(5)10f =，则(5)f -等于（ ） A .10- B .2- C .6- D .14
2.已知函数(1)y f x =+的定义域为[2,0]-，若(0,1)k ∈，则函数()()()F x f x k f x k =-++的定义域为（ ） A .[1,1]k k -- B .[1,1]k k --+ C .[1,1]k k -+ D .[1,1]k k ---
3.已知函数2211f x x x x ⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭，则(3)f 等于（ ）
A .8
B .9
C .11
D .10
4.已知函数222,0,
()2,0,
x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-⎪⎩＜≥若()()0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）
A .[1,1]-
B .[2,0]-
C .[0,2]
D .[2,2]-
5.若函数2
()(2)1f x ax a b x a =+-+-是定义在(,0)(0,22)a a -- 上的偶函数，则225a b f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
（ ）
A .1
B .3
C .
5
2 D .72
6.某工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外，每生产1件该产品还需要增加投资1万元，已
知年产量为()
+x x ∈N 件，当20x ≤时，年销售总收入为()
233x x -万元；当20x ＞时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，要使年利润最大，则该工厂的年产量为（=-年利润年销售总收入年总投资）（ ） A .14件 B .15件 C .16件 D .17件
7.设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，函数1,,()22(1),,
x x A f x x x B ⎧
+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若0x A ∈，且()0f f x A ⎡⎤∈⎣⎦，则0x 的取值范围是（ ）
A .10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
B .11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C .11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D .30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8.已知二次函数2()(1)2f x x m x m =--+在[0,1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A .(2,0)- B .(2,0]- C .[2,0)- D .[2,0]-
9.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足(5)(5)f x f x +=-，在[0,5]上只有(1)0f =，则()f x 在
[2018,2018]-上的零点的个数为（ ）
A .808
B .806
C .805
D .804
二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
10.下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ）
A
.()f x =
与()g x x =B .()f x x =
与()g x =
C .()1f x x =+与0()g x x x =+
D .()x f x x
=与0()g x x = E
.()f x =
()g x =
11.下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（ ）
A .()f x x =
B .1()f x x
= C .3()f x x =-
D .()f x x x =
E
.()f x =
12
.已知函数()f x =+，则（ ）
A .()f x 的定义域为[3,1]-
B .()f x 为定义域上的增函数
C .()f x 为非奇非偶函数
D .()f x 的最大值为8
E .()f x 的最小值为2
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）
13.若,1,()3,1,
a x f x x x a x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩≥＜是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为________.
14.设()f x 是定义在R 上的函数，且(2)()f x f x +=，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-⎧⎪=⎨-⎪⎩
≤＜≤＜其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则(5)f a 的值是________. 15.已知函数()y f x =在(,0)(0,)-∞+∞ 上为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，(2)0f -=，则不等式
()0xf x ＜的解集为________.
16.下列说法：
①若方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a ＜；
②函数()f x =
③若函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-； ④曲线23y x =-和直线()y a a =∈R 的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1.
其中正确的为________（填序号）
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知函数2
1()1mx f x x +=
+是R 上的偶函数. （1）求实数m 的值；
（2）判断并用定义法证明函数()y f x =在(,0)-∞上的单调性.
18.（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+.现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示，请根据图像解答下列问题.
（1）写出函数()()f x x ∈R 的增区间；
（2）写出函数()()f x x ∈R 的解析式；
（3）若函数()()22([1,2])g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值.
19.（12分）已知函数2()x a f x x
+=，且(1)2f =. （1）判断并证明函数()f x 在其定义域上的奇偶性；
（2）证明函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；
（3）求函数()f x 在区间[2,5]上的最大值和最小值.
20.（12分）近年来，雾霾日益严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题.某空气净化器制造厂决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（=+总成本固定成本生产成本）.销售收入()Q x （万
元）满足20.522(016),()224(16),x x x Q x x ⎧-+⎪=⎨⎪⎩
≤≤＞假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）求利润()y f x =的函数解析式（=-利润销售收入总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？
21.（12分）若非零函数()f x 对任意实数,a b 均有()()()f a b f a f b += ，且当0x ＜时，()1f x >.
（1）求证：()0f x ＞；
（2）求证：()f x 为减函数；
（3）当1(4)16f =
时，解不等式()()
221354f x x f x +--≤ .
22.（12分）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x ＞时，有()1f x ＞.
（1）求()0f ；
（2）求证：()0f 在R 上为增函数；
（3）若()12f =，且关于x 的不等式()
2(2)3f ax f x x -+-＜对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.。