江苏高三高中数学月考试卷带答案解析

江苏高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.已知集合，，若，则．
2.若复数z =（为虚数单位），则|z|= ．
3.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为．
4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2；，3；，4；，5；
，4；，2．则样本在上的频率是．
5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于．
6.设函数，若，则的值为．
7.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA=4，则PC与底面ABCD所成角的
正切值为．
8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为．
9.已知，，则的值为．
10.设等差数列的前项和为，若，，，则正整数= ．
11.已知正数满足，则的最小值为．
12.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为．
13.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为．
14.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于
两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为．
二、解答题
1.设函数．
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和．
2.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且，，是的中
点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：∥平面．
3.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
4.如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，
，在第三象限，线段的中点在直线上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．
5.设各项均为正数的数列的前n项和为S
,已知，且对一切都成立．
n
（1）若λ=1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．
6.已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值；
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．
7.如图，⊙为四边形的外接圆，且，是延长线上一点，直线与圆相
切．
求证：．
8.已知矩阵，，计算．
9.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：
（1）圆的直角坐标方程；
（2）圆的极坐标方程．
10.已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．
11.甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．
（1）求甲同学至少有4次投中的概率；
（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．
12.设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．（1）证明：当，时，；
（2）记，求的值．
江苏高三高中数学月考试卷答案及解析
一、填空题
1.已知集合，，若，则．
【答案】
【解析】因为，所以,因此.
【考点】集合运算
2.若复数z =（为虚数单位），则|z|= ．
【答案】
【解析】因为所以也可利用复数模的性质求解，即
【考点】复数的模
3.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为．
【答案】4
【解析】由题意得：解得解答此类问题，要明确对应关系，一是二是双曲线中【考点】双曲线离心率
4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2；，3；，4；，5；
，4；，2．则样本在上的频率是．
【答案】
【解析】因为样本在上的频数共有，所以样本在上的频率是.也可从反面求解，即样本不在上的频数共有，所以样本在上的频率是.
【考点】样本频率
5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于．
【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，第六次循环，终止循环，输出.
【考点】流程图
6.设函数，若，则的值为．
【答案】2
【解析】因为，所以.因此本题也可应用函数性质求解，因为
，所以
【考点】函数性质
7.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA=4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为．
【答案】
【解析】因为PA⊥底面ABCD，所以PC与底面ABCD所成角的为，因此
【考点】直线与平面所成角
8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为．
【答案】
【解析】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人共有种基本事件，而甲乙两人中有且只有一个被选取包含种基本事件，所以所求概率为.
【考点】古典概型概率
9.已知，，则的值为．
【答案】
【解析】因为，所以.【考点】两角和与差正切
10.设等差数列的前项和为，若，，，则正整数= ．
【答案】13
【解析】设等差数列公差为，则，消去得：
【考点】等差数列通项公式及前项和公式
11.已知正数满足，则的最小值为．
【答案】9
【解析】因为，当且仅当
即时取等号，所以的最小值为9.
【考点】基本不等式求最值
12.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为．
【答案】
【解析】因为所以.又∥，可设从而
.因为，所以.
【考点】向量共线表示
13.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为．【答案】
【解析】由求导得，故在上单调增，在上单
调减,且当时，恒有.又在上单调增，在上单调减,所以可作出
函数的图像，如图.由图可知，要使函数恰有两个不同的零点，需或或,即实数的取值范围为.
【考点】利用导数研究函数图像
14.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于
两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】由题意得圆心半径因为点在圆内，所以
，解得设到直线距离为,则又
，当且仅当，即时取等号，因此
，即或综上实数的取值范围为.
【考点】直线与圆位置关系
二、解答题
1.设函数．
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和．
【答案】（1）,,（2）,.
【解析】（1）要研究三角函数的性质，首先先将三角函数化为型.利用降幂公式
及倍角公式可将函数次数化为一次，再利用配角公式
化为，然后利用基本三角函数图像求其最小正周期和
值域，（2）解三角形问题，一般利用正余弦定理解决.本题为已知两角及一对边，选用正弦定理.由于是锐角△，开方时取正.
试题解析：（1）=
=． 3分
所以的最小正周期为， 4分
值域为． 6分
（2）由，得．
为锐角，∴，，∴． 9分
∵，，∴． 10分
在△ABC中，由正弦定理得． 12分
∴ 14分
【考点】倍角公式，正余弦定理
2.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且，，是的中
点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：∥平面．
【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.
【解析】（1）证明面面垂直，关键找出线面垂直.因为侧面为菱形，且,所以△为正三角形，因而有.又，是的中点，所以有，这样就可得到平面，进而可证平
面平面.（2）证明线面平行，关键找出线线平行. 条件“是的中点”,提示找中位线.取中点，
就可得∥，利用线面平行判断定理即可.解决此类问题，需注意写全定理成立的所有条件，不可省略.
试题解析：（1）证明：∵为菱形，且，
∴△为正三角形． 2分
是的中点，∴．
∵，是的中点，∴． 4分
，∴平面． 6分
∵平面，∴平面平面． 8分
（2）证明：连结，设，连结．
∵三棱柱的侧面是平行四边形，∴为中点． 10分
在△中，又∵是的中点，∴∥．12分
∵平面，平面，∴∥平面． 14分
【考点】面面垂直判定定理，线面平行判定定理
3.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
【答案】（1），（2），（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．
【解析】（1）解答实际问题关键读懂题意.本题所求体积为直四棱柱体积，体积为高与底面积的乘积.高为圆木的长，底面积为梯形的面积.利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求关系式. （2）先求出函数
的导数，再根据导数为零时，定义区间导数值的正负讨论其单调性，
研究其图像变化规律，确定其极值、最值.本题函数先增后减，在时，取极大值，也是最大值.（3）本题实质
是求表面积的最大值，并判断取最大值时是否成立.首先先建立表面积的函数关系式.表面积由两部分组成，一
是底面积，二是侧面积. 底面积为梯形的面积，有两个. 侧面积为梯形周长与圆木的长的乘积.再利用
导数求出其最大值及取最大值时角的取值.
试题解析：（1）梯形的面积
=，． 2分
体积． 3分
（2）．
令，得，或（舍）．∵，∴． 5分
当时，，为增函数；
当时，，为减函数． 7分
∴当时，体积V最大． 8分
（3）木梁的侧面积=，．
=，． 10分
设，．∵，
∴当，即时，最大． 12分
又由（2）知时，取得最大值，
所以时，木梁的表面积S最大． 13分
综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分
【考点】利用导数求函数最值
4.如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，
，在第三象限，线段的中点在直线上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．
【答案】（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程，解出的值,（2）
求点的坐标，需列出两个方程.一是点C在椭圆上，即，二是的中点在直线上，即.注意到在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点的坐标，算出
为定值.难点是如何消去参数.因为点在直线：上，所以可设，．选择作为参数，即用表示点的坐标.由三点共线，解得，同理解得
.从而有，这里主要用到代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示为定值.
【解析】（1）,（2）,（3）.
试题解析：（1）由已知，得解得2分
所以椭圆的标准方程为． 3分
（2）设点，则中点为．
由已知，求得直线的方程为，从而．①
又∵点在椭圆上，∴．②
由①②，解得（舍），，从而． 5分
所以点的坐标为． 6分
（3）设，，．
∵三点共线，∴，整理，得． 8分
∵三点共线，∴，整理，得． 10分
∵点在椭圆上，∴，．
从而． 14分
所以 15分
∴为定值，定值为． 16分
【考点】椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系
,已知，且对一切都成立．
5.设各项均为正数的数列的前n项和为S
n
（1）若λ=1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．
【答案】（1）an = 2n-1（2）λ = 0.
【解析】（1）本题属于“已知求”,利用化简关系式. 因为，所以先分离与，即，这是类等比，利用叠乘法得到，再利用，消去得.求数列{an}通项公式时，需讨论当n = 1时是否满足的情形.（2）解答本题需注意逻辑关系，由数列是等差数列得λ = 0，这是一个必要条件，还需验证其充分性，即λ = 0时，数列是等差数列.这可类似（1）的解答过程.
试题解析：解：（1）若λ = 1，则，．
又∵，∴， 2分
∴，
化简，得．①4分
∴当时，．②
② -①，得，∴（）．6分
∵当n = 1时，，∴n = 1时上式也成立，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n-1（）．8分
（2）令n = 1，得．令n = 2，得． 10分
要使数列是等差数列，必须有，解得λ = 0． 11分
当λ = 0时，，且．
当n≥2时，，
整理，得，， 13分
从而，
化简，得，所以． 15分
综上所述，（），
所以λ = 0时，数列是等差数列． 16分
【考点】已知求
6.已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值；
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的
取值范围．
【答案】（1）极大值为1，无极小值．（2）3 -．（3）．
【解析】（1）求函数极值，先明确定义域为再求其导数为．由，得x = 1.分析导数在定
义区间符号正负，确定函数先增后减，所以y =有极大值为1，无极小值．（2）不等式恒成立问题，先化简
不等式．化简不等式的难点有两个，一是绝对值，二是两个参量可从函数单调性
去绝对值，分析两个函数，一是，二是.利用导数可知两者都是增函数，故原不等式等价于
，变量分离调整为,这又等价转化为函数在区间上为减函数，即在上恒成立．继续变量分离得
恒成立，即.最后只需求函数在上最大值,就为的最小值.
（3）本题含义为：对于函数在上值域中每一个值，函数在上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数在上值域，然后根据函数在上必须不为单调函数且每段单调
区间对应的值域都需包含.由在不单调得，由每段单调区间对应的值域都需包含得，.
试题解析：（1），令，得x = 1． 1分
列表如下：
g(x)
∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值． 3分
（2）当时，，．
∵在恒成立，∴在上为增函数． 4分
设，∵> 0在恒成立，
∴在上为增函数． 5分
设，则等价于，
即．
设，则u(x)在为减函数．
∴在（3，4）上恒成立． 6分
∴恒成立．设，∵=，xÎ[3，4]，∴，∴< 0，为减函数．
∴在[3，4]上的最大值为v(3) =" 3" -． 8分
∴a≥3 -，∴的最小值为3 -． 9分
（3）由（1）知在上的值域为． 10分
∵，，
当时，在为减函数，不合题意． 11分
当时，，由题意知在不单调，
所以，即．①12分
此时在上递减，在上递增，
∴，即，解得．②
由①②，得． 13分
∵，∴成立． 14分
下证存在，使得≥1．
取，先证，即证．③
设，则在时恒成立．
∴在时为增函数．∴，∴③成立．
再证≥1．
∵，∴时，命题成立．
综上所述，的取值范围为． 16分
【考点】函数极值，不等式恒成立
7.如图，⊙为四边形的外接圆，且，是延长线上一点，直线与圆相
切．
求证：．
【答案】详见解析
【解析】要证明，主要利用相似三角形.难点在找出对应的两个三角形.由，可证与相
似.利用圆内接四边形性质得，再由等弦对等角得，，从而. 试题解析：证明：连结．是圆的切线，∴． 2分
，∴．∴ 4分
圆是四边形的外接圆，∴． 6分
∴∽． 8分
∴，，∴． 10分
【考点】圆内接四边形性质
8.已知矩阵，，计算．
【答案】
【解析】利用矩阵特征值及其对应特征向量性质：进行化简.先根据矩阵M的特征多项式求出其特
征值，进而求出对应的特征向量，.再将分解成特征向量，即，最
后利用性质求结果，即
试题解析：解：矩阵M的特征多项式为．
令，对应的一个特征向量分别为，． 5分
令，得．
． 10分
【考点】：矩阵特征值、特征向量及其应用
9.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．求：
（1）圆的直角坐标方程；
（2）圆的极坐标方程．
【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）根据消去参数得圆的直角坐标方程：.（2）利用代入
，可得圆的极坐标方程为．
试题解析：解：（1）圆的直角坐标方程为． 5分
（2）把代入上述方程，得圆的极坐标方程为． 10分
【考点】参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间互化
10.已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】因为，所以的最小值为.因为函数的图象恒在轴上方，所以因此有，解得．
试题解析：解：的最小值为， 5分
由题设，得，解得． 10分
【考点】绝对值不等式的应用
11.甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同
学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．
（1）求甲同学至少有4次投中的概率；
（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）求概率问题关键在于明确题意，即事件是什么. 甲同学至少有4次投中，指甲同学在5次投篮中“恰
投中4次”及“恰投中5次”这两个互斥事件.其概率为=．（2）求概率分布，首先正
确确定随机变量取值情况，本题，其次要正确确定随机变量对应各个概率，本题中的概率，直接
求时要注意，第5次乙同学不论是否投中都停止，即第5次不考虑乙同学是否投中.也可间接求,利用各概率和为1，即，这也是一种验证方法.
试题解析：解：（1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，“至少有4次投中”的概率为，则
2分
== 4分
（2）由题意．
，，，，
．
的分布表为
12345
8分
的数学期望． 10分
【考点】概率分布，数学期望值
12.设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．（1）证明：当，时，；
（2）记，求的值．
【答案】（1）详见解析，（2）.
【解析】（1）利用组合数性质进行化简.根据奇偶性，对进行分类讨论，这不增加难度，仅是便于表示. ,规律清晰，易于归纳（2）利用组合数性质进行化简.
=．
再根据得周期，从而，．
试题解析：解：（1）当为奇数时，为偶数，为偶数，
∵，，
，
∴
=．
∴当为奇数时，成立 5分
同理可证，当为偶数时，也成立． 6分
（2）由，得
=
=
=． 9分
又由，得，
所以，． 10分【考点】组合数性质。