新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 3. 线段的垂直平分线 三角形中的垂直平分线》教案_3

小专题 最短路径问题 教学设计
【教学目标】
1.用轴对称、平移解决最短路径问题.
2.探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
【学习重点】把实际问题转化为数学问题，利用轴对称、平移解决路径最短的问题. 【学习难点】探索发现“最短路径”方案，确定最短路径的作图及其原理.
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

一、 学习准备——知识源 1.如图，点
A 关于直线
m 的对称点为
A',P 是直
线m 上任意一点，图中相
等
的
线
段
有 ；
2.如图，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
答： ；
3.如图，要在燃气管道m 上修建一个气站，分别向A 、B 两镇供气，气站修在管道的什么地方，可使所
用的输气管线最短？理由是什
么？
答： ；
设计意图： 为本的学习作铺垫。

学生课前先完成，为本的学习作铺垫。

二、问题解决：
问题1：将军从图中的马棚地出发，牵着马到一条笔直的河边某处饮水，然后回军营．请问应该在河边什么地方饮水，可使他所走的路线全程最短？
模型建立：
模型特点： 两定一动一直线， 两定在线的同侧
解题思想：
设计意图：
从历史上久负盛名的“将军饮马”引入，引导学生分析题意画出图形，把实际问题转化为数学问题，
学生活动：
在老师引导下，实际问题中抽象出数学问题，并探索问题，分析解决问题
即学即练：
1. 如图所示，正方形ABCD 的面
积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P,使PD+PE 的和最小，则这个最小值是 。

设计意图：
即学即练，把所学模型运用于数学求解中，会从复杂图形中抠出模型的要素
学生活动：
独思独做以后，结对帮扶，代表展讲 老师：点评。

问题2：如图，将军要把马从马棚A 牵马到草地边吃草,然后到河边饮水，最后再回到马棚A. 请你确定这一过程的最短路径。

模型建立：
模型特点： 一定两动两条线， 定点在两线之间，
解题思想：
设计意图： 顺着情景变式， 得到第二种模型；
学生活动：
独思独做以后，小组讨论交流，代表展讲；
老师：追问，引导，点评。

A'
m
O A
P
A
B
F
C D E
A
即学即练：
2.如图，已知∠AOB=30°，点P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm ，点M 和点N 分别是 射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为 。

设计意图：
即学即练，把所学模型运用于数学求解中， 学生活动：独思独做以后，小组讨论交流，代表展讲；
问题3：如图：将军要从马棚A 牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到军营B ， 请你帮他确定这一天的最短路线。

模型建立：
模型特点： 两定两动两条线 解题思想：
设计意图： 顺着情景变式， 得到第三种模型
学生活动：
独思独做以后，小组讨论交流，代表展讲；
老师：追问，引导，点评。

即学即练：
3.如图，角∠AOB=45°，P 、Q 是∠AOB 内的两点，∠POQ=30°且OP=OQ=5,PQ=2，M 和N 分别是边OA 和OB 上的两个动点，则四边形PQMN 的周长最小值为多少？ 设计意图：
即学即练，把所学模型运用于数学求解中，
学生活动：独思独做以后， 小组讨论交流，代表展讲；
三、拓展延伸
问题4.如图，营地附近只有沿着河边有草，将军要从马棚A 牵出马到河边草地吃草，马要吃饱需要沿着河边走一段固定的长度，最后回到军营B ，请你帮他确定这一天的最短路线。

模型建立：
模型特点：
解题思想：
设计意图： 顺着情景变式， 得到第四种模型
学生活动：独思独做以后， 小组讨论交流，代表展讲
老师：追问，引导，动态演示
2.(造桥选址)将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米， 请问：在何地修浮桥，可使得将军每天的行程最短？
模型建立：
模型特点： （造桥选址） 解题思想：
有定长要平移 设计意图：
顺着情景变式，得到第五种模型 通过一些列地变式设计，由浅入深，环环相扣，不但学习将军喜欢动脑，敢于提问，勇于探索的精神，同时培养学生的问题意识
老师：引导学生抽象出数学模型，并动态演示
学生活动：独思独做以后， 小组讨论交流， 完成作图
课题小结：
本节课研究了什么问题？ 解决问题运用到什么知识？ 解决问题运用到什么方法？ 你这节课学会了吗？你这节课收获怎样？…… 课后作业（见单子）
B
A。