基于MATLAB的渐开线花键检测项参数值的计算

基于MATLAB的渐开线花键检测项参数值的计算
李平辉1，张召霞2
（1.郑煤机集团，河南郑州450013；2.中科院合肥智能机械研究所，安徽合肥230027）摘要：本文针对矿山机械长壁工作面输送设备所选用的渐开线花键，给出了计算渐开线花键检测项参数值的程序流程图及Matlab程序。

经实例验证，程序计算准确快速，实用性强。

使用Matlab编程解决复杂繁琐的工程计算的方法具有推广意义。

关键词：渐开线花键；量棒直径；棒间距；跨棒距；MA TLAB
The Calculation of Involute Spline Check Items Value Based on Matlab
(LI Ping-hui1,ZHANG Zhao-xia2)
(1.Zhengzhou Coal Mine Machinery Group Co.,Ltd,Zhengzhou 450013,China;2. Institute of
Intelligent Machines,Chinese Academy of Sciences ,Hefei 230027,China) Abstract: According to involute spline used on conveyer of longwall face, this paper gave the program flow chart and Matlab program of the calculation of involute spline check items value. The verification experiment proves that the program can achieve accurate , fast calculation, and strong practicality. Solving the complex and tedious engineering calculation by using Matlab, there is extended significance.
Key words: involute spline; length bar diameter; interred spacing; distance over bar; Matlab
0 引言
渐开线花键联结的强度高、承载能力强，且具有精度高、齿面接触良好、能自动定心、加工方便等优点[1]，现已经广泛应用在重型煤矿机械中。

矿山机械长壁工作面输送设备，通常选用30°压力角、平齿根、齿侧配合类别为H/h、公差等级为6或7级的圆柱直齿渐开线花键。

例如：刮板输送机链轮轴组中的轴、链轮等。

渐开线花键检测项参数值是检验的依据，因此在设计渐开线花键时，检测项参数值的计算尤为重要。

设计时，应在具有渐开线花键的零件图上给出检测项参数值，并列出数据表。

内花键应给出的检测项：模数m、齿数z、压力角a、公差等级和配合类别、渐开线终止圆最小直径D Fimin、作用齿槽宽最大值E vmax、实际齿槽宽最小值E min、作用齿槽宽最小值E vmin、实际齿槽宽最大值E max、齿根圆弧最小曲率半径R imin、齿距累积公差F p、齿形公差f f、齿向公差Fβ、量棒直径D Ri、棒间距M Ri；外花键应给出的检测项：模数m、齿数z、压力角a、公差等级和配合类别、渐开线起始圆最大直径D Femax、作用齿厚最大值S vmax、实际齿厚最小值S min、作用齿厚最小值S vmin、实际齿厚最大值S max、齿根圆弧最小曲率半径R emin、齿距累积公差F p、齿形公差f f、齿向公差Fβ、量棒直径D Re、跨棒距M Re。

1 检测项参数值的计算
检测项包含四部分内容。

基本参数：m、z、a；花键尺寸：D Fimin、E vmax、E min、E vmin、E max、R imin(D Femax、S vmax、S min、S vmin、S max、R emin)；公差等级及公差值：公差等级和配合类别、F p、f f、Fβ；量棒及M值：D Ri、M Ri(D Re、M Re)。

模数m、齿数z、花键有效长度L、压力角a、公差等级和配合类别是计算各项检测项参数值的基本参数。

花键尺寸和公差等级及公差值可参照参考文献[2]中的相关内容计算。

棒间距(跨棒距)是通过量棒间接测出的，所以量棒选择的合理与否对检测结果有着重要的影响。

量棒直径是能通过一定的计算公式求解得出的，求解出的结果称为量棒的计算直径，然后按GB 321中的R40系列选取量棒直径。

若量棒的计算直径不是R40系列数值，应选取最接近该数值较大的值[3]，即向上圆整到R40系列数值。

常用刮板输送机、刮板转载机可能选用的量棒直径在10、10.6、11.2、11.8、12.5、
(9) (10)
(12) (13)
13.2、14、15、16、17、18、19、20、21.2、22.4(均取自R40系列)之中取值。

根据量棒的计算直径按R40系列圆整出的数值通常集中在16、17、18、19、20、21.2。

但是实际生产中，检验部门往往不准备这么多种直径的量棒。

所以在计算时，量棒直径通常是自选的。

这种做法既是可取的也是经济实用的。

但是应使量棒外圆与齿廓的接触点落在分度圆及其附近的任意位置上，一般在距小径的(1/3～2/3)齿高之间为宜[4]。

1.1 内、外花键量棒直径D Ri 、D Re 的计算 1.1.1 内花键量棒直径D Ri 的确定
max '[tan tan(inv inv 30)]
E D D ci ci Ri b D
ci ααα=--
+- 式中：D'Ri ——量棒的计算直径；
αci ——内花键与量棒接触点上的压力角；
1cos
D b ci D ci
α-=
D ci ——内花键与量棒接触点处直径；
max min
2
D D ee ii D ci +=
D eemax ——外花键大径最大值； D iimin ——内花键小径最小值；
E max ——实际齿槽宽最大值。

内花键量棒直径D Ri 按GB 321中的R40选取量棒直径，若D'Ri 不是R40系列数值，应选取最接近D'Ri 较大的值。

1.1.2 外花键量棒直径D Re 的确定
'[tan(inv min inv 30)tan ]
D D ce ce Re b Z
S ce D
πααα=++
-
-- 式中：D'Re ——量棒的计算直径；
αce ——外花键与量棒接触点上的压力角；
1cos
D b ce D ce
α-=
D ce ——外花键与量棒接触点处的直径；
max min
2
D D ee ii D ce +=
S min ——实际齿厚最小值。

内花键量棒直径D Re 按GB 321中的R40选取量棒直径，若D'Re 不为R40系列数值，应选取最接近D'Re 较大的值。

1.2棒间距M Ri 和跨棒距M Re 的计算 1.2.1棒间距M Ri 的计算
偶数齿：
max cos max min cos min
D b M D Ri Ri
i D b M D Ri Ri i αα=
-=-
奇数齿：
90cos
max cos max 90cos max cos min
D b M D Ri Ri
Z i D b M D Ri Ri
Z
i αα=
-=
-
式中：M Rimax ——内花键棒间距的最大值；
M Rimin ——内花键棒间距的最小值； D Ri ——内花键量棒直径；
αimax ——当E 为E max 时，内花键量棒中心圆上的压力角；
αimin ——当E 为E min 时，内花键量棒中心圆上的压力角。

内花键量棒直径D Ri 已经确定，根据公式(11)，分将E max 和E min 代入E ，即可求出αimax 和αimin ，进而求得棒间距M Ri 。

1inv
(inv 30)D E
Ri i D D b
α-=+- 1.2.2 跨棒距M Re 的计算
偶数齿：
Re
Remin cos min
Remax Re cos max
D b M D e D b M D e αα=
+=+
奇数齿：
(1)
(3)
(2)
(4)
(5)
(6)
(7) (8)
(11)
(14)
(15)
(16)
(17) 90cos
Re
Remin cos min
90cos
Remax Re
cos max
D b M D Z
e D b M D Z
e αα=
+=
+
式中：M Remin ——外花键跨棒距的最小值
M Remax ——外花键跨棒距的最大值 αemin ——当S 为S min 时，外花键量棒中心圆上的压力角；
αemax ——当S 为S min 时，外花键量棒中心圆上的压力角。

外花键量棒直径D Re 已确定，根据公式(16)，分将S max 和S min 代入S ，即可求出αemax 和αemin ，进而求得跨棒距M Re 。

1Re
inv
(inv 30)D S e D D Z
b πα-=++- 2 程序流程图
根据计算步骤，结合程序需要，编制出程序流程图，如图1。

图1 程序流程图
3 关键步骤的程序实现
对于类似复杂繁琐的计算，使用高级语言编程解决是最有效的办法之一。

但是往往有些步骤在编程实现时较难处理。

在渐开线花键检测项参数值编程计算过程中，有以下几点需要注意。

3.1 计算的量棒直径按标准系列圆整
以外花键量棒D Re 根据计算的量棒直径D'Re 按GB 321中R40系列圆整为例：
lbbzz=[10 10.6 11.2 11.8 12.5 13.2 14... 15 16 17 18 19 20 21.2 22.4]; for i=1:15
if lbbzz(1,i)<DRep continue end break
end
DRe=lbbzz(1,i);
lbbzz 为长壁输送设备中常用花键量棒直径(标准系列值)的矩阵，程序进入循环之后，依次检索lbbzz 矩阵中的数值，直到检索到一个大于D'Re 的数值，跳出循环，并输出该值作为外花键量棒直径。

这样才能满足“若计算的量棒直径不为R40系列数值，应选取最接近计算的量棒直径较大的值”的要求。

3.2 反求内外花键量棒中心圆上的压力角
inv tan ααα=- 已知α，求解invα问题并不复杂。

但已知invα，反求α，并不容易得出结果。

如果借助编程求解，也不难实现。

类似这种问题，一般都会采用收敛算法，逐步逼近，当结果达到预定精度时，即返回当前值作为结果。

如：牛顿迭代算法。

但是Matlab 不需要这么复杂的程序，可以利用fzero 函数很方便的解决单变量函数的零点问题。

在使用fzero 时，必须为fzero 函数提供初始点或者一个初始区间。

如果给变量提供的是一个初始点x 0，那么fzero 会在初始点附近搜索一个解区间，函数在这个区间内的符号会发生变化。

若fzero 搜索到了该区间，fzero 就会得到该函数的一个零点，在零点的两边，函数值的符号发生了改变；若fzero 找不到这样的区间，fzero 返回NaN 。

另外一个办法就是为fzero 提供一个初始区间，在该区间内函数值的符号发生改变，这种方法能够保证得到一个解。

初始区间的确定可以通过找两个异号函数值的点，fzero 会将该初始区间逐渐缩小，直至找到零点[5]。

将式(17 )稍作变化，得出：
(18)
(19) tan inv 0ααα--= 已知invα=C(常数)，令
()tan f C ααα=-- 求(18)的解，实际上就是求f(α)的零点值。

以求解外花键量棒中心圆上的压力角为例，具体实现程序如下：
invaemin=DRe/Db+inv30+Smin/D-pi/z; aemin=fzero(@(aemin) tan(aemin)-aemin… -invaemin,0);
invaemax=DRe/Db+inv30+Smax/D-pi/z; aemax=fzero(@(aemax) tan(aemax) … -aemax-invaemax,0); 4 实例计算
SGZ1000/2×855机头链轮轴组中的链轮的渐开线花键(内花键)，基本参数：模数m=10，齿数z=32，压力角α=30°，花键有效长度L=160mm ，公差等级和配合类别选择6H(GB/T3478.1-1995)。

要求计算其他各项检验尺寸数值。

图2 Matlab 操作界面 启动Matlab ，在Command Window 输入jkxhj 调用程序，根据提示依次输入已知参数，如图2。

各参数输入完成之后，打开Matlab 的work 文件夹中的int.xls ，各项检测尺寸数值均已得出，具体参数值如表1。

5 结语
经过多次实例验证，该程序在计算长壁输送设备渐开线花键时，计算结果准确，大幅提高工作效率。

工程设计过程中，复杂且重复使用的工程计算，推荐使用Matlab 编程计算，程序简洁、可读性强、操作方便、计算准确快速，具有推广意义。

参考文献：
[1] 甘永立，几何量公差与检测[M].上海：
上海科学技术出版社，2006
[2] 成大先，机械设计手册(第二册)[K].北
京：化学工业出版社，2002 [3] 圆柱直齿渐开线花键 30°压力角 M
值和W 值.GB/T3478.6-2002[S]
[4] 王兰群，张国建，渐开线花键M 值的
测量及量棒直径的选择[J].计量与测试技术，2005年第32卷第12期15~16 [5] 董霖，MA TLAB 使用详解[M].北京：
科学出版社，2008。