高考数学压轴专题南通备战高考《数列》基础测试题及答案

【高中数学】《数列》知识点汇总
一、选择题
1．已知数列}{
n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S =（ ）． A ．35 B ．33
C ．31
D ．29
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2
231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，
又3
474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162
q a ==，所以
55
151
16(1())
(1)2311112
a q S q --==
=--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．
2．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足
2131
n n A n B n -=+，则3711
59
a a a
b b +++的值为（ ）
A ．
3944
B ．
58
C ．
1516
D ．
1322
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质将371159
a a a
b b +++化简为7
732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】
11337117131135971313()
3333213115213()2222313116
2a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】
本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ⋅==，则数列{}
(1)n
n a -的前40
项和为（ ） A ．0 B ．20 C ．40 D ．80
【答案】B 【解析】 【分析】
先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式
作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{}
(1)n
n a -，两两组
合可求新数列前40项的和. 【详解】 依题意，()133362
a a S +=
= ，
∴134a a +=，①
∵3422128a a ⋅=，即342128a a +=， ∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-，
∴{}
(1)n
n a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++⋅⋅⋅+-+==，
故选：B . 【点睛】
本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题
4．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,, (2222222222)
n
n n ，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2
C ．
111989
2
D ．
1120192
【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】
由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2m -， 所以第12个括号里的第995项是11
1989
2. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A ．992 B ．1022
C ．1007
D ．1037
【答案】C 【解析】 【分析】
首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】
将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-
当135n =，135151351320122019a =⨯-=<， 当136n =，136151361320272019a =⨯-=>， 故1,2,n =……，135数列共有135项．
因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：C ． 【点睛】
本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
6．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ）
A ．20
B ．30
C ．44
D ．88
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16， 得8
10
2
16a q a =
=，得q 2＝2. ∴4
624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，
又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴()111116
1111442
b b S b
+⨯=
==.
故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题.
7．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．72
【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622
a a a a
S ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，
∴1634657
66636222
a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.
8．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90
C ．72
D ．24
【答案】B
由于152436a a a a +=+=，所以1555()536
9022
a a S +⨯=
==，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123
111
2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10 B ．7
C ．8
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可将已知等式变为1233
2
224
a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】
由题意得：131233
2
1231322111124
a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.
10．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1 C ．3 D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】
解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=， 13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==， 335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．
故选：B
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
11．已知数列{}n a 的前n 项和(
)2
*
23n S n n n N
=+∈，则{}n
a 的通项公式为（ ）
A ．21n a n =+
B ．21n a n =-
C ．41n a n =+
D ．41n a n =-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据2
23n S n n =+求出首项1a 的值，然后利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达
式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】
因为2
23n S n n =+，
所以，当2n ≥时，22
123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，
当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立， 所以41n a n =+， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即
11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后再判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果.
12．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r + B ．17[(1)(1)]a
r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a
r r r
+-+
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +， 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，
⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：
1717
16
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a
S a r a r a r r r r r
++-=++++⋯⋯++==+-++-；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
13．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-， 现有下面四个结论
①数列{}n S n +为等比数列； ②数列{}n a 的通项公式为1
21n n a -=-；
③数列{}1n a +为等比数列；
④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---. 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+，可得①正确，利用等比数列求出2n
n S n =-，
根据前n 项和求n a ，可判断②③，计算2n S ，并分组求和可判断④. 【详解】
因为121n n S S n +=+-，
所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++， 又112S +=.
所以数列{}n S n +为首项是2，公比是2的等比数列，
所以2n
n S n +=， 则2n
n S n =-.
当2n ≥时，1
121n n n n a S S --=-=-， 但11
121a -≠-，
所以①正确，②③错误，
因为1
222n n S n +=-，
所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---， 所以④正确. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由n S 求数列的通项公式，属于中档题.
14．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120
C ．121
D ．192
【答案】B 【解析】 【分析】
根据35
2
a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】
Q 3
5227a q a ==, ∴ 3q =
∴ 4414(1)3(13)
120113
a q S q --===--.故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.
15．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( ) A ．9 B ．10
C ．11
D ．12
【答案】A 【解析】 【分析】
由题设知21n a n =-，12n n
b -=，由
1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得
1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．
【详解】
{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，
{}n b Q 是以
1为首项，2为公比的等比数列，1
2n n b -∴=，
()()()()
1121121242211221241221
n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- (
)1
21242
n n -=+++⋯+- 12212n
n -=⨯-- 122n n +=--，
2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n <．
则当2019n T <时，n 的最大值是9． 故选A ． 【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.
16．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a =
C ．1024是三角形数
D ．123111121
n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22
n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 121111111
1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意，()()
183********
a a a a S ++=
==，故364a a +=，故33a =，故632
33a a d -=
=-，故选：D ． 【点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
18．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为
8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．4711
B ．4712
C ．4713
D ．4715
【答案】B 【解析】 【分析】
计算出3a 的值，推导出(
)3n n a a n N *
+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可
求得数列{}n a 的前2020项和. 【详解】
由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，
312
8
4a a a ∴=
=， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，
202036731=⨯+Q ，因此，
()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.
故选：B. 【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理
能力与计算能力，属于中等题.
19．等比数列{}n a 共有21n +项，其中11a =，偶数项和为170，奇数项和为341，则n =（ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．9 【答案】B
【解析】
由题意知1321...341n a a a ++++= ，可得3211...341340n a a a +++=-=，又因为242...170,n a a a +++= 所以321242...3402 (170)
n n a a q a a a +++===+++ ，21
211234117051112
n n S ++-==+=- ，解得4n = ，故选B.
20．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若23a <，则n 的最大值为（ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
【答案】A
【解析】
【分析】
对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32
n n n S =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值. 【详解】
当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32
n n =， 因为22485048+348503501224,132522
S S ⨯+⨯====， 所以n 不可能为偶数；
当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
21342
n n a +-=+
因为2491149349412722
S a a +⨯-=+=+， 2511151351413752
S a a +⨯-=+=+， 又因为23a <，125a a +=，所以 12a >
所以当1300n S =时，n 的最大值为49
故选：A
【点睛】
此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.。