第二章二维位势流流动

势函数在某个给定方向的偏导数等于速度在这个方向的分量
v s = v x cos( s, x ) + v y cos( s, y ) + v z cos( s, z )
dx cos( s , x ) = ds dy cos( s , y ) = ds dz cos( s , z ) = ds
∂φ dx ∂φ dy ∂φ dz ∂φ + + = vs = ∂x ds ∂y ds ∂z ds ∂s
绕圆柱的无环量流动
圆柱表面流动
vr = 0 vθ = −2v∞ sin θ
2 2 v = v x + v y = v r2 + vθ2 = 2v∞ sin θ
前驻点: θ = π , vθ = 0 后驻点:
θ = 0, vθ = 0
圆柱表面速度和压强分布
v2 C p ≈ 1 − 2 = 1 − 4 sin 2 θ v∞
π
1 a2 − 2 ∫ 2π ρr1vn v y dθ = ρv∞ Γ(1 − 2 ) − 2 r1 2
π
库塔-儒可夫斯基定理
库塔—儒可夫斯基定理 ：升力等于 ρv∞ Γ 也就是说，作用在垂直于纸面单位长度圆柱体上的升力， 其大小等于来流的速度乘以流体 密度再乘以环量，指向 是把来流方向逆着环量的方面旋转90°，其阻力为零。
粘性、阻力
圆柱表面压强系数
绕圆柱的有环量流动
直匀流、偶极子和点涡叠加
⎫ a2 Γ φ ( x, y ) = v∞ (r + ) cos θ − θ ⎪ ⎪ r 2π ⎬ 2 a Γ ψ ( x, y ) = v∞ (r − ) sin θ + ln r ⎪ ⎪ r 2π ⎭
绕圆柱的有环量流动
Γ sin θ ⎫ a2 v x = v∞ (1 − 2 cos 2θ ) + ⎪ 2π r ⎪ r ⎬ Γ cosθ ⎪ a2 v y = −v∞ 2 sin 2θ − ⎪ 2π r r ⎭
∂φ ∂ (φ1 + φ2 + vx = = ∂x ∂x
∂φ ∂ (φ1 + φ2 + vy = = ∂y ∂y
+ φn )
+ φn )
= v x1 + v x 2 + ...... + v xn
= v y1 + v y 2 + ...... + v yn
流函数的叠加
ψ = ψ 1 +ψ 2 + ... +ψ n
2
x s = ± a 2 − y s2 ⎫ ⎪ ⎬ Γ ys = − ⎪ 4πv∞ ⎭
⎛ 1 Γ C p = ( p − p ∞ ) / ρV∞2 = 1 − ⎜ 2 sin θ + ⎜ 2 2πRV∞ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
库塔-儒可夫斯基定理
绕圆柱体有环量时的流动的升力
Y = − ∫ p cos( n, y ) dS − ∫ ρv n v y dS
∂v x ∂ (− v y ) = ∂y ∂x
dψ = v x dy − v y dx
∂ψ vx = ∂y ∂ψ vy = − ∂x
流函数存在的充要条件：满足连续方程（不一定无旋）
基本方程
定常不可压理想流体的无旋流动 势函数方程:
∇ ×V = 0
∂v x ∂v z ⎫ = ⎪ ∂z ∂x ⎪ ∂v x ∂v y ⎪ ⎪ = ⎬ ∂x ⎪ ∂y ∂v y ∂v z ⎪ = ⎪ ∂z ∂y ⎪ ⎭
yA = 0
y⎞ ⎟ x⎠
Q ⎛ y= ⎜ π − arctg 2πv∞ ⎝
⎫
Q
2π x + y Q y ψ ( x, y ) = v∞ y + y arctg Q 2π 2 x vy = 2 2π x + y
⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎭
( 0, ± Q
Q / 2v∞
4v∞ )
Q D = 2y = v∞
Y = −2 ∫ 2π r1 p sin θdθ − 2 ∫ 2π ρr1vn v y dθ
− 2 − 2
π
π
⎡ 1 a2 a2 ⎤ Y = ρv∞ Γ ⎢(1 + 2 ) + (1 − 2 )⎥ = ρv∞ Γ 2 r1 r1 ⎦ ⎣
a2 1 − 2 ∫ 2π r1 p sin θdθ = ρv∞ Γ(1 + 2 ) − 2 r1 2
ψ =−
M y 2π x 2 + y 2
流线方程：
等位线方程：
x2 + ( y + C)2 = C 2
(x − C1 )2 + y 2 = C12
∂φ M ( y2 − x2 ) ⎫ = vx = ⎪ ∂x 2π ( x 2 + y 2 ) 2 ⎪ M (2 xy ) ⎪ ∂φ vy = =− ⎬ ∂y 2π ( x 2 + y 2 ) 2 ⎪ M 1 ⎪ 2 2 v = vx + v y = 2π x 2 + y 2 ⎪ ⎭
半无限体外表面压强分布
⎛ v ⎞ p − p∞ = 1− ⎜ ⎟ Cp = ⎜v ⎟ 1 2 ⎝ ∞⎠ ρv∞ 2
2
sin 2θ ⎛ sin θ ⎞ Cp = − −⎜ ⎟ π −θ ⎝ π −θ ⎠
2
θ = arctg y / x
等强度的点源和点汇——偶极子
点源和点汇叠加
Q (x + ε )2 + y 2 φ ( x, y ) = ln 4π ( x − ε ) 2 + y 2
vr = 0 vθ = −2v∞ sin θ − Γ 2πa Γ v = 2v∞ sin θ + 2πa
不同点涡强度时的驻点
vr = 0 Γ 2πa Γ v = 2v∞ sin θ + 2πa vθ = −2v∞ sin θ −
圆柱表面压强分布
1 1 ⎛ Γ ⎞ 2 p = p∞ + ρV∞ − ρ ⎜ −2V∞ sin θ − ⎟ 2 2 ⎝ 2π R ⎠
dφ = vx dx + v y dy + vz dz
拉普拉斯方程
流函数方程：
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∇ψ =0
2
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂z ∂x ∂y
边界条件
边界条件：在流场的边界上对流动所规定的条件 （外边界和内边界）。 边值问题：（势函数） 1. 第一边值问题，又称为Dirichlet问题。 2．第二边值问题，又称为Neumann问题。 3．第三边值问题，又称为混合边值问题，或称庞 卡莱问题。
∂ 2φi ∂ 2φi ∂ 2φi + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
φ = φ1 + φ 2 + ... + φ n
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂ 2 (φ1 + φ 2 + ... + φ n ) ∂ 2 (φ1 + φ 2 + ... + φ n ) ∂ 2 (φ1 + φ 2 + ... + φ n ) = + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 ⎡ ∂ 2φ n ∂ 2φ n ∂ 2φ n ⎤ ⎡ ∂ 2φ1 ∂ 2φ1 ∂ 2φ1 ⎤ ⎡ ∂ 2φ 2 ∂ 2φ 2 ∂ 2φ 2 ⎤ = ⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ + ⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ + ...... + ⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ ∂y ∂z ⎦ ∂y ∂z ⎦ ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x ⎣ ∂x ⎣ ∂x
旋涡偶极子：点涡 与点涡的叠加
φ=
库塔-儒可夫斯基升力原理
绕圆柱的无环量流动
直匀流和偶极子叠加
⎛ a 2M⎞ x ⎫⎫ = ,∞⎜ + φ φ ( xv y )⎜=rv∞ x + ⎟ cos θ 2⎪⎪ ⎟ r2π x 2 + y ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎬ 2 M y ⎬⎪ ( , ⎛ − a ⎞ 2 ⎪ ⎟x ψ ψ= xvy )⎜=rv∞ y − 2π sin+θy 2 ⎪ ∞⎜ ⎪⎭ r ⎟ ⎝ ⎠ ⎭
第二章 二维位势流流动
王保国 刘艳明
不可压缩流体的速度势方程
基本概念
二维位势流：即二维无旋流 势函数φ：
dφ = vx dx + v y dy + vz dz
∂vr vr ∂vθ ∇ ⋅V = + + ∂r r ∂θ
等位线：φ=常数 流函数Ψ： Ψ = 常数表示流线
∂v x ∂v y + =0 ∂x ∂y
⎫ a2 v x = v∞ (1 − 2 cos 2θ )⎪ ⎪ r ⎬ a2 v y = −v∞ 2 sin 2θ ⎪ ⎪ r ⎭
v x = v∞ (1 − cos 2θ ) v y = −v∞ sin 2θ
M 2πv∞ = a 2
零流线：（Ψ=0） y=0，r=R 远场流动：（r→∞）
v x = v∞ ; v y = 0
∂φ = v∞ 外边界条件： ∂x
∂φ ∂φ = =0 ∂y ∂z
∂φ =0 内边界条件： ∂n
流动的叠加
含义：如果已知两个或更多个流动，其速度势函数分别为：φ1、 φ2…… φn ，并且，对于每一个流动都分别满足拉普拉斯方 程，那么由这些流动叠加而得的流动φ=φ1+φ2+…… +φn也必 然满足拉普拉斯方程。
∂vx ∂v y ∂vz + + =0 ∂y ∂x ∂z
∂φ ⎫ vx = ∂x ⎪ ∂φ ⎪ ⎪ vy = ⎬ ∂y ⎪ ∂φ ⎪ vz = ∂z ⎪ ⎭
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2 ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
2
∇ 2φ = 0
ψ = ay − bx
点源和点汇
点源：
Q vr = 2πr
vθ = 0
vx = Q x 2π x2 + y2
位于原点 不在原点
Q y vy = 2π x2 + y2
Q Q 2 2 2 2 ln ( x − ξ ) + ( y − η ) 原点： φ = ln( x + y ) （ξ,η）：φ = 4π 4π Q y Q y −η ψ= arctg arctg ψ = 2π x 2π x −ξ
几种简单的二维位势流
直匀流
直匀流： v x = a
vy = b
dφ = v x dx + v y dy = adx + bdy
φ = ∫ dφ = ax + by
φ = v∞ x ⎫ ψ = v∞ y ⎬ ⎭
∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy = −v y dx + vx dy = −bdx + ady ∂x ∂y
ψ =−
Γ 2 2 ln ( x − ξ ) + ( y − η ) 4π
[
]
直匀流中的点源
驻点：流动速度为零的点
vx = v y = 0
驻点的流线方程
直匀流中点源的流谱
2 ⎫ φ ( x,= )v v∞ x +Q ln( x x + y 2 )⎪ y = + vx ∞ ⎪ 4π 2 2 ⎪
Q xA = − 2πv∞
原点：
M x cosα + y sin α ⎫ ⋅ ⎪ ⎪ 2π x2 + y2 M y cosα − x sin α ⎬ ⎪ ψ =− ⋅ 2 2 ⎪ 2π
M ( x − ξ )cosα + ( y − η )sin α ⎫ ⋅ ⎪ 2π ⎪ (x − ξ )2 + ( y − η )2 M ( y − η )cosα − ( x − ξ )sin α ⎬ ⎪ ψ =− ⋅ 2 2 2π ⎪ (x − ξ ) + ( y − η ) ⎭
ψ ( x, y ) =
Q y y − arctg [arctg ] x+ε x −ε 2π
偶极子：等强度的点源和点汇无限趋近
Q φ ( x, y ) = lim ε →0 4π Q →∞
2 ⎡ ⎞ ⎤ M 4 xε 1⎛ 4 xε x ⎟ ⎥= ⎢ − ⎜ 2 2 2 ⎜ ( x − ε ) 2 + y 2 ⎟ ⎥ 2π x 2 + y 2 ⎢(x − ε ) + y ⎝ ⎠ ⎦ ⎣
拉普拉斯方程
[
]
点涡
流体微团的周向速度与其离点涡的距离成反比例 点涡是一种和点源的等流函数线及等势线恰好互换的流动 原点：
Γ y arctg 2π x
Γ ln( x 2 + y 2 ) 4π
Γ vθ = 2π r vr = 0
φ=
ψ =−
Γ：点涡强度
（ξ,η）
：
y −η Γ arctg φ= 2π x −ξ