2021年中考数学压轴题精选含答案

2021年中考数学压轴题精选含答案
1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．
（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；
（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；
（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．
2．如图，已知抛物线()2
y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；
（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线217222
y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；
（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；
（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．
4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．
（1）求直线AD 和BC 之间的距离；
（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？
（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．
5．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．
（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；
（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若12,(33)2
ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．
6．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
7．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3
A =，点D 为A
B 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．
（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．
（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．
8．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系
(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．
①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；
(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；
(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线2
2(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．
（1）求点C 的坐标；
（2）求直线AB 的表达式；
（3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．
①若2AE AO =，求抛物线表达式；
②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）
10．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43
AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．
（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)
（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．
（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）
11．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．
（1）当t 为何值时，PQ BD ？
（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x
=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．
（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；
②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．
（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．
13．如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
（1）求证：DE＝BO；
（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．
①求点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；
③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．
14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，
（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）
（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。

请直接写出∠PQF、∠A、∠ACE 之间的关系．
15．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3交x轴于点A、C（点A在点C左侧），交y轴于点B．
（1）求A ，B ，C 三点坐标；
（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；
（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．
16．已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊙O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE 为∠DAM 的平分线，交CD 于点E ．
（1）如图1，连接BE ，若∠ACD=22°，求∠MBE 的度数；
（2） 如图2，连接DO 并延长，交⊙O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N ．
①求证：DM 2+CN 2=CM 2；
②如图3，当AD=1，AB=10时，请直接写出．．．．
线段ME 的长． 17．如图，平面直角坐标系中，抛物线2
28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，25AB =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=︒，在射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式．
18．定义：将函数l 的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新的函数l '的图象，我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数．
例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5．
（1）当m ＝0时
①一次函数y ＝x ﹣1关于点P 的相关函数为 ； ②点（12，﹣98
）在二次函数y ＝﹣ax 2﹣ax +1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图象上，求a 的值．
（2）函数y ＝（x ﹣1）2+2关于点P 的相关函数y ＝﹣（x +3）2﹣2，则m ＝ ； （3）当m ﹣1≤x ≤m +2时，函数y ＝x 2﹣mx ﹣
12
m 2关于点P （m ，0）的相关函数的最大值为6，求m 的值．
19．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝23，在AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线2
12y ax bx =++过D ，C ，E 三点．
（1）当//DE AB 时，
①求抛物线的解析式；
②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．
（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．
点E 的坐标． 21．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ． （1）求证：∠ABD ＝∠D ；
（2）求∠AEB 的度数；
（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求AF DE
的值．
22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =
>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0x
y =
>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．
（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ； （2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0x
y =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
23．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使
CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．
（1）请求出EAF ∠的度数？
（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；
（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .
（3）直接写出EAF ∠=_________度；
（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.
24．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =2，AC =4．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC 、AD 于点E 、F ．
（1）当α=_____°时，四边形ABEF 是平行四边形；
（2）在旋转的过程中，从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形， ①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；
②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长． 25．如图，抛物线2
14
y x bx c =
++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，5
2
-
）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．
(1) 求抛物线2
14
y x bx c =
++与直线32y kx =+的解析式；
(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;
②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、中考数学压轴题 1．B
解析：（1）8
3
；（2）3或433）565x ≤＜【解析】 【分析】
（1）设BP=a ，则PC=8-a ，由△MBP ～△DCP 知
MB BP
DC CP
=，代入计算可得； （2）分别求出⊙P 与边CD 相切时和⊙P 与边AD 相切时BP 的长即可得； （3）①当PM=5时，⊙P 经过点M ，点C ；②当⊙P 经过点M 、点D 时，由PC 2+DC 2=BM 2+PB 2，可求得BP=7，继而知227465PM =+=．据此可得答案．
【详解】
（1）设BP=a ，则PC=8-a ，
∵AB=8，M是AB中点，∴AM=BM=4，
∵△MBP～△DCP，
∴MB BP
DC CP
=，即
4
88
a
a
=
-
，
解得
8
3
a=，
故答案为：8
3
．
（2）如图1，当⊙P与边CD相切时，
设PC=PM=x，
在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+（8-x）2，
∴x=5，
∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．
如图2，当⊙P与边AD相切时，
设切点为K，连接PK，
则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM中，22
8443
PB-=
＝
综上所述，BP的长为3或43
（3）如图1，当PM=5时，⊙P经过点M，点C；
如图3，当⊙P 经过点M 、点D 时，
∵PC 2+DC 2=BM 2+PB 2， ∴42+BP 2=（8-BP ）2+82， ∴BP=7， ∴227465PM
=+=
综上，565x ≤＜ 【点睛】
本题是圆的综合问题，主要考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．B
解析：（1）213
y x x 222
=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】
()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
()2由题意设点M 的坐标为2
13x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝
⎭
，则点1
K x,x 22
⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
，BMC
1
S
MK OB 2
=
⋅⋅，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2
∠=，在Rt
QNH 中，QH m 6=+，
2
2
2
QN OQ (2)m m 4==-+=+2QN m 4
sin QHN QH
m 65∠+=
==+，进行分析计算即可求解． 【详解】
解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：4223
16420a b a b +-=⎧⎨--=⎩
，解得：
1
232
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213
y x x 222
=
+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，
将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04''
'2k b b =-+⎧⎨=-⎩
，解得：
1'2'2
k b ⎧
=-
⎪⎨
⎪=-⎩， 则直线BC 的表达式为：1
y x 22
=--， 设点M 的坐标为213x,
x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 22BMC
1113S
MK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫
=
⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭
， a 10=-<，BMC S
∴有最大值，
当b
x 22a
=-
=-时， BMC
S
最大值为4，
点M 的坐标为()2,3--；
()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，
过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，
点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1
tan OCA OC 2
∠=
=， QH //y 轴， QHN OCA ∠∠∴=， 1
tan QHN 2∠∴=
，则sin QHN 5
∠= 将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：0
2m n n +=⎧⎨=-⎩
，
则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，
在Rt QNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=
+
2QN m 4
sin QHN QH m 65
∠+===
+， 解得：m 4=或1-，
即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--． 【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．
3．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或4
17k 或
4
17k
时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】 【分析】 （1）从2
1
7202
2
x mx
m
的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；
（2）根据抛物线的对称轴32b x
a
来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转
化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得到：2
15
|1(3)|42
2
MN k k k
CD ． 需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2
1
51(3)42
2
MN k k k
，通过
解该方程可以求得k 的值；
②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)42
2
NM k k
k ，通过解该方程可以求
得k 的值． 【详解】 解：（1）
2
2
17()4(2)(2)32
2
m m m
， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥，
2
(2)3
0m ，
∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程217202
2
x mx
m
总有两个不相等的实数
根，
∴无论m 为何实数，抛物线217
22
2
y x mx
m
与x 轴总有两个不同的交点． （2）
抛物线的对称轴为直线3x =，
3
122
m ，即3m =，
此时，抛物线的解析式为22
1513(3)22
2
2
y x x
x ，
∴顶点C 坐标为(3,2)-；
（3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线
的下方），如图所示，
由已知2
15(3,2),(,1),(3)2
2
D M k k N k k k
，， (3,2)C ，
4CD ∴=，
2
1
51(3)42
2
MN
k k k
CD
，
①当四边形CDMN 是平行四边形，
2
1
51(3)42
2
MN
k k k
，
整理得，28150k k -+=，
解得13k =（不合题意，舍去），25k =； ②当四边形CDNM 是平行四边形，
2153(1)
42
2
NM
k k
k ，
整理得2810k k ， 解得，12
4
174
17k k ，，
综上，5k =或4
17k
或4
17k
时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行
四边形． 【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
4．A
解析：（1）12；（2）5s 或373s ；（3）163s 或685
s 或7
2s 【解析】 【分析】
（1）AD 与BC 之间的距离即AB 的长，如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ，在RtDEC 中可求得DE 的长，即AB 的长，即AD 与BC 间的距离； （2）四边形QDCP 为平行四边形，只需QD=CP 即可；
（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD ，情况二：PD=QD ，情况三：QP=QD ，而每大类中，点P 存在2种情况，一种为点P 还未到达点C ，另一种为点P 从点C 处返回． 【详解】
（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E
∵∠B=90°，AD ∥BC ∴AB ⊥BC ，AB ⊥AD
∴AB 的长即为AD 与BC 之间的距离
∵AD=16，BC=21， ∴EC=5 ∵DC=13
∴在Rt DEC 中，DE=12
同理，DE 的长也是AD 与BC 之间的距离 ∴AD 与BC 之间的距离为12 （2）∵AD ∥BC
∴只需QD=PC ，则四边形QDCP 是平行四边形 QD=16－t ，PC=21－2t 或PC=2t －21 ∴16－t=21－2t 或16－t=2t －21 解得：t=5s 或t=
373
s （3）情况一：QP=PD
图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F
∵PQ=PD ，PF ⊥QD ， ∴QF=FD
∵AF ∥BP ，AB ∥FP ，∠B=90° ∴四边形ABPF 是矩形， ∴AF=BP
由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2
t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t ∵AF=BP ∴8+
2t =2t 或8+2
t
=42－2t 解得：t=
16
3或t=685
情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F
同理QD=16－t ，PF=AB=12 BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t
则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26
∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()2
2212226PD t =+- ∵PD=QD ， ∴2
2
PD QD =
∴()()2
2
216t 12162t =+-－或()()2
2
216t 12226t =+-－ 解得：2个方程都无解
情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F
同理：QD=16－t ，FP=12 BP=2t 或BP=42－2t
QF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t
在Rt QFP 中，222
12PQ t =+或()2
2212423PQ t =+-
∵PQ=QD ， ∴2
2
PQ QD =
∴()2
2216t 12t =+－或()()2
2
216t 12423t =+-－ 第一个方程解得：t=7
2
，第二个方程解得：无解 综上得：t=163或685
或72 【点睛】
本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q 运动的轨迹，得出BP 的长度．
5．E
解析：（1）3EF EC =，见解析；（2）27
BK =
；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②1
(62)4
【解析】 【分析】
（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边
三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；
（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到
AB BK
FB BA
=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到
60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；
②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案． 【详解】 解：（1）3EF EC =
；
理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，
,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=， 120BAD ︒∴∠=，
∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，
90AEB AFD ︒∴∠=∠=
Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，
,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒， 60EAF ∴∠=︒，
AEF ∴∆为等边三角形， EF AE ∴=.
连接AC ，1
602
BAC BAD ︒∴∠=
∠= 30EAC ︒∴∠=
在Rt AEC ∆中，tan EC
EAC AE
∠=
3AE EC ∴=， 3EF EC ∴=
（2）如图：
∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==，
ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=. AF CD ⊥，垂足为F ，
1
,902
CF DF a BAF AFD ︒∴==
∠=∠= 在Rt
ADF 中，sin AF
ADF AD
∠=
， 2
3AF a ∴=
在Rt ABF 中，22BF AB AF =+，
72
BF a ∴=
AK BF ⊥，垂足为K ， 90AKB FAB ︒∴∠=∠=
ABK FBA ∠=∠
~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆， AB BK FB BA ∴=， 27
7
BK a ∴=
， （3）如图：
①AGH 是等边三角形. 理由：连接AC .
,60AB BC ABC ︒=∠=，
ABC ∴为等边三角形，
,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=， 120ABG ︒∴∠=.
//AB CD ，
60BCH ABC ︒∴∠=∠=， 120ACH ︒∴∠=
ABG ACH ∴∠=∠， 又BG CH =， ABG ACH ∴≅，
,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠. 60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=， 60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，
AGH ∴为等边三角形； ②ADC 为等边三角形，
2,1AD DC AC CF DF ∴=====，
AF ∴=. 1
(32
ADH
S
=
， 11
(322
DH ∴⨯=，
1DH ∴=
1CH DH CD ∴=-=，HF DH DF =-=
AF HF ∴=，
AHF ∴为等腰直角三角形， 45AHF ︒∴∠=.
过点C 作CM AH ⊥，垂足为M . 在Rt CMH 中，
sin CM
CHM CH
∠=
， 1
2
CM ∴=
， 在Rt AMC 中，
sin CM
MAC AC
∠=
， 1
sin 4
MAC ∴∠=
. 又
GAB HAC ∠=∠，
1
sin sin 4
GAB HAC ∴∠=∠=
； 【点睛】
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．
6．B
解析：（1）12；（2）53；（3）202． 【解析】 【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点
N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
42AB =，
2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11
641222
ABC
S
AC BD ∴=
⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，
D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，
点C 为半圆AB 的中点，
90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=， 11
903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=，
10AB =，
11
10522
OD AB ∴=
=⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，
155,222
DH OD QH DH ∴=
=∴==，
OH ∴===
， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，
5,2OM QH MQ OH ∴==
==
515
522
CM OM OC ∴=+=+
=，
CQ ∴===，
PC PD ∴+的最小值为．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交
OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=，
45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．
扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
7．A
解析：（1）14
5
；（2）
2
2
7
4,0
3
149714
21,
2235
t t
S
t t t
⎧⎛⎫
<≤
⎪
⎪
⎪⎝⎭
=⎨
⎛⎫
⎪-+-<<
⎪
⎪⎝⎭
⎩
；（3）t的值为477
或727．【解析】【分析】
（1）如下图，根据
4
tan
3
A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；
（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；
（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．
【详解】
（1）如图1，点N在AC上
图1
由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t ∴PN=PQ=2t ∵4tan 3
A = ∴
43NP AP =，即24
73
t t =- 解得：t=
14
5
（2）①如图2，
图2
四边形PQMN 是正方形，
90BQM ∴∠=︒，
45B ∠=︒，
BQ MQ ∴=，即72t t -= 解得73
t =
， 故当0t <≤73
时，22
(2)4S t t ==；
②如图3，
图3
90BQF ∠=︒，45B ∠=︒，
7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，
则37MF MQ QF t =-=-，
90M ∠=︒，
37ME MF t ∴==-，
则2
221149(2)(37)21222S t t t t =-
-=-+-7
143
5t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；
综上，2
274,0314971421,223
5t t S t t t ⎧⎛
⎫<≤ ⎪
⎪⎪
⎝
⎭=⎨
⎛⎫⎪-+-<< ⎪
⎪⎝⎭⎩．
（3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G
图4
∵4
tan 3
A =
∴设CG=4x ，则AG=3x ∵∠B=45°
∴△CBG 是等腰直角三角形 ∴GB=GC=4x ∵AB=14
∴3x+4x=14，解得：x=2 ∴1
148562ABC
S =
= ∴
1282
ABC
S =
情况一：PM 所在的直线平分△ABC 的面积，如下图，PM 与BC 交于点E
图5
则28
PBE
S=
∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°
∴△PBE是等腰直角三角形
∵
1
28
2
PBE
S PE PB
==
∴PE=PB=214
∴PB=47
∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t
∴7+t=47
t=477
-
情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H
图6
同理，28
AFQ
S=
∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°
∴△FHQ是等腰直角三角形
∵
4 tan
3
A=
∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y
∴
1
7428
2
AFQ
S y y
==，解得：2
∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t
∴2
解得：27
∴综上得：t的值为77或727．
【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．
8．C
解析：（1）①3
2
，3，32CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3．
【解析】 【分析】
（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可． （2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG
在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解
即可．
（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可． 【详解】
（1）①如图1中，
∵D （-1，0），E(03， ∴OD=1，3OE = ∴3OE
tan EDO OD
∠=
= ∴∠EDO=60°，
当OP ⊥DE 时，3
•60OP OD sin =︒=
，此时OP 的值最小， 当点P 与E 重合时，OP 3 当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒= 当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2， 3
332CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ， 故点O 与线段DE 满足限距关系． 故答案为O ． （2）直线3y x b =
+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），
当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+b≥2（1-b），
解得
1
3 b≥，
∴b的取值范围为1
3
1
b
≤＜．
当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1
2
1
b-，最大距离为b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴
1
121
2
b b
⎛⎫
+≥-
⎪
⎝⎭
，
而
1
121
2
b b
⎛⎫
+≥-
⎪
⎝⎭
总成立，
∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为
1
3 b≥．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，
两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+2≥2（2r-2），
解得r≤3，
故r的取值范围为0＜r≤3．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
9．C
解析：（1）点C 的坐标为(2,0)；（2）15
22y x =-+；（3）①2481515
y x x =-；②
10
13
． 【解析】 【分析】
（1）求得对称轴，由对称性可知C 点坐标； （2）利用待定系数法求解可得；
（3）①由AE=3AO 的关系，建立K 型模型相似，求得点E 坐标代入解析式可得； ②若△CDB 与△BOA 相似，则∠OAB=∠CDB=90°，由相似关系可得点D 坐标，代入解析式y=ax 2-2ax 可得a 值． 【详解】
解：（1）把0y =代入2
2y ax ax =-，得220ax ax -=，
解得：0x =，或2x =． ∵点C 在x 轴正半轴上， ∴点C 的坐标为(2,0)．
（2）设直线表达式为y kx b =+，把点(1,2)A ，(5,0)B 分别代入y kx b =+，
得250k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得12
52k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴直线AB 的表达式为：15
22
y x =-
+． （3）①作AH x ⊥轴于点H ，EF AH ⊥于点F （如图），
∵222125OA =+=，2222420AB ，22525OB ==，
∴222OA AB OB +=．
∴90EAO OAB ∠=∠=︒． 由EFA AHO △∽△，得2EF FA EA AH HO AO
===， ∴4EF =，2FA =， ∴点E 坐标为()3,4-．
把(3,4)E -代入2
2y ax ax =-，得964a a +=，
解得：415
a =． ∴248
1515
y x x =
-． ②若△CDB 与△BOA 相似，如图，作DG ⊥BC ，
∴
CD BD BC AO AB BO
==，∠OAB=∠CDB=90°， 3
5
525==， ∴355
CD =
65
5BD =，
∵523BC =-=，
∴3565
65535
DG ==， ∴156225x -+=，解得：135
x =，
∴点D 的坐标为：（135，6
5
），
把点D 代入2
2y ax ax =-，即16913622555
a a -⨯= 解得：10
13a =；
故答案为：10
13
．
【点睛】
本题是二次函数的综合问题，考查了二次函数的基本性质，数形结合与K 型模型的使用，以及相似存在性问题，内容综合较好，难度相当入门级压轴问题．
10．A
解析：（1）5AD x =，6DF x =+；（2）△ADF 为等腰三角形，x 的取值可以是
4817
，4831，12
； （3）4或43
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可得：CD=4x ，根据勾股定理得：AD=5x ，由AB=6且C 在B 点右侧，可以依次表示BC 、CF 、DF 的长；（2）分两种情况：①当C 在B 点的右侧时，AF=DF ，②当C 在线段AB 上时，又分两种情况：i ）当CF ＜CD 时，如图3，ii ）当CF ＞CD 时，如图4，由AF=DF ，作等腰三角形的高线FN ，由等腰三角形三线合一得：AN=ND=2.5x ，利用同角的三角函数列比例式可求得x 的值；（3）由翻折性质得到DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠，从而证出'ADG AGD △≌△，从而推出∠FAC=∠DAG ，即AF 平分∠DAC ，过F 作FN ⊥AD 于N ，分两种情况：当C 在AB 的延长线上时，当C 在AB 边上时，根据35
sin CDA ∠＝可列出关于x 的比例式，即可求解. 【详解】 ⑴∵CD＝
4
3
AC ，AC=3x ， ∴CD=4x， ∵CD⊥AM， ∴∠ACD=90°， 由勾股定理得：AD=5x ， ∵AB=6，C 在B 点右侧， ∴BC=AC-AB=3x-6， ∵BC=FC=3x-6，
∴DF=CD -FC=4x-（3x-6）=x+6； （2）分两种情况： ①当C 在B 点的右侧时， ∴AC ＞AB ， ∴F 必在线段CD 上， ∵∠ACD=90°，
∴∠AFD 是钝角，若△ADF 为等腰三角形，只可能AF=DF ，过F 作FN⊥AD 于N ，如图，
∴AN=ND=2.5x ， ∴DN DC
cos ADC DF AD
∠==， 即
2.5465x x
x x
+＝，
解得，4817
x =
； ②当C 在线段AB 上时，同理可知若△ADF 为等腰三角形，只可能AF=DF ， i ）当CF ＜CD 时，过F 作FN⊥A D 于N ，如图，
x 的取值可以是
4817，4831，12
； ∵AB=6，AC=3x ， ∴BC=CF=6-3x ， ∴DF=4x-（6-3x ）=7x-6， ∵DN DC
cos ADC DF AD
∠==， ∴
2.54765x x
x x
-＝， 解得4831
x =
； ii ）当CF ＞CD 时，如图4，
BC=CF=6-3x ，
∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x ， 则6-7x=5x ，x=
12
， 综上所述，x 的取值可以是
4817，4831，12
； （3）∵△DFG 沿FG 翻折得到'
FDG △
∴DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠。