【新人教版高中数学公开课精品教案】离散型随机变量的分布列 教学设计(山东)

《离散型随机变量的分布列》教学设计
山东省实验中学
一、教学内容分析
概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研究，两者是相互渗透、相互联系的。

离散型随机变量的分布列是普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-3)人民教育出版社B版第二章《概率》的第二节，它是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表现形式，整体地反映了离散型随机变量所有可能的取值及其相应值的概率, 全面描述了随机变量的统计规律,并为定义随机变量两种最重要的特征数即数学期望和方差奠定了基础。

因此，“离散型随机变量的分布列”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是必修3概率知识的延伸，也是统计学的理论基础，能起到承上启下的作用。

同时，它是培养学生学会用数学思维来解决问题的好的素材，能够提升学生数学抽象、数学建模和数据分析的核心素养。

二、教学目标分析
本节课依据教材分析和课标要求, 可确定如下的三维教学目标:
【知识与技能】理解离散型随机变量的分布列及二点分布模型, 掌握分布列的
性质, 会求简单的离散型随机变量的分布列。

【过程与方法】在对具体问题的分析中, 经历数学建模过程, 理解离散型随机变
量的分布列及其性质的导出，启发引导学生思考、讨论、表述，展现思维过程；
让学生体会由具体到抽象的思想方法，感知从特殊到一般的认知过程。

【情感态度与价值观】在具体情境中, 认识分布列对于刻画随机现象的重要性,
体会数学来源于生活, 又应用于生活的事实; 设计抽奖活动，外化数学学习的
兴趣，体会学习的成功与喜悦，培养严谨的科学态度。

根据以上目标的确定，教学上力求体现：两个意识（创新意识、应用意识）
和四种能力（探究能力、建模能力、交流能力、实践能力）。

三、学生学情分析
根据本人以往的教学经验和学生思维的最近发展区理论，从以下两方面对学生学习本节课内容的情况加以分析，便于找到学生的认知规律，帮助学生跨越学习障碍。

1、认知基础：学生在必修3概率初步中已学习过随机事件和简单的概率模
型，会用古典概型、几何概型求解随机事件的概率；在选修2-3第一章计数原理中学习了利用排列组合知识求某些随机事件的概率，具备一定的知识基础。

但是，学生对上节课学习的随机变量和离散型随机变量的概念，理解不够深刻。

2、能力储备：学生能够用概率统计学知识解决简单的实际问题，具备一定的分析问题和探究问题的能力，思维尽管活跃，但思考问题容易片面、不够严谨，有待提高数学抽象和数学建模的核心素养。

离散型随机变量的分布列的性质是概念的外延，而离散型随机变量的分布列的内涵是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表示形式，应在概念的生成中形成解决问题的思维方法。

因此，确立这节课的重难点为：
【教学重点】掌握离散型随机变量的分布列的概念和性质。

【教学难点】理解离散型随机变量的分布列的性质。

突破重点难点的策略:
(1)整节课都伴随着实例教学,注重学生的动手动脑能力与主动参与；
(2)通过设置问题情境，启发引导学生思考、讨论、表述，展现思维过程；
(3)通过辨析问题的设置,构筑思维冲突，提升理解层次。

四、教学策略分析
新课程标准要求通过实际问题学习概率统计知识，强调让学生通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集、处理、分析与决策的全过程。

结合以上分析，确定这节课的教法和学法分别如下：
1、教法分析：理解离散型随机变量的分布列是培养学生学会用数学思维来解决问题的关键。

本人将贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、知识为基础、应用为目标”的教学原则，在学生已有知识基础上，采用启发探究式教学方法，设置问题情境，
让学生充分参与知识的发现与问题的解决过程，引导学生思考、讨论、表述，充分体现数学核心概念、思想方法,突出课堂教学的实验性和探究性，培养学生的数学应用意识，真正体现素质教育的精神。

2、学法分析：学生学习概念的过程应该是：具体——抽象——具体，即由感性认识上升到理性认识，形成抽象思维，然后用归纳的结论去指导具体问题的解决。

本节课借助实际问题和提问给学生营造一个思维情境，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会，让学生有意识地逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会总结”的能力，使学生在和谐愉悦的教学氛围中获取新知识、提高能力，充分发挥学生的抽象思维、逻辑思维和创造思维，很好地达成了教学目标。

五、教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，借助PPT、Excel图表、视频等展现丰富的实例和问题，增强直观性，增大课堂容量，同时留给学生更多的时间思考和交流。

六、教学过程设计
（一）引入阶段——创造实际情境，启动学生思维
1、创设具体情境，策划抽奖方案
背景：学校运动会刚结束，我们班同学们场上场下的表现非常出色（播放一段同学们在运动会上的照片视频）。

教师特地购买了三种价值不同的奖品，欲采用抽奖的方式把奖品发给同学们，让同学们帮助设计抽奖方案，其目的也是检查一下对概率知识掌握的如何。

抽奖规则：（1）一个盒子中放有6球, 标号1—6; 每次让一名同学任摸一球, 用标号对奖；（2）确保每位抽奖者都有奖，并且抽中一、二、三等奖次的概率不同。

【问题1】如何设奖比较合理? 请你利用前阶段所学的概率知识, 为这一活动作一策划。

活动1:学生前后四个人一小组交流讨论，小组派代表汇报本组的设奖方案。

活动2:师生共同确定设奖方案后，现场让部分学生抽奖，教师颁发奖品；其他同学课后抽奖。

[设计意图]结合校运动会恰当进行德育渗透，选择贴近学生实际生活的抽奖问题来展开探究，很容易引起学生的兴趣和求知欲。

同时，在设计抽奖方案的过程中，既复习前面学习过程的概率知识，体会概率知识的应用，又为后面引出离散型随机变量的分布列的定义作好铺垫，提升学生数学建模的核心素养。

2、回顾概率旧知 渗透思想方法
复习:什么是随机变量？什么是离散型随机变量？
活动1:学生回顾上节课所学内容，并回答问题。

活动2: 教师引导学生结合具体问题，弄清离散型随机变量的概念。

总结: 抽奖方案中，记摸得球的球号数为随机变量X ，一、二、三等奖奖品的价格为随机变量Y ，两随机变量的取值及其相应值的概率列表如下：
活动3:
进而引出离散型随机变量的分布列，引入课题。

延伸：从函数的观点来看，随机变量的每一个取值与它所对应的概率值建立一种函数关系, 而函数的表示方法有表格法、解析法和图象法。

对离散型随机变量的取值及其相应值的概率，一般通过列表形式来具体体现它的概率分布情况。

[设计意图]通过具体问题的解决，让学生体验将随机试验结果数量化的过程，渗透用函数思想研究随机变量分布列的方法，体会表格对研究随机现象的工具性作用。

既巩固上节课对随机变量这一概念的理解，又为引出离散型随机变量的分布列及其性质给出了具体的实例，分散教学的难点。

（二）认知阶段——新旧知识作用，搭建新知结构
1、结合抽奖表格 归纳核心概念
发现：上面规则中总结的表格在策划活动过程中起着重要的作用。

引出：学生对表中的数据和特征进行分析、思考,第一行为各种可能的结果，第二行为相应的概率，体现了离散型随机变量的概率分布情况。

【问题2】尝试给出一般离散型随机变量的分布列的定义？
活动：学生思考问题后，口答问题，教师恰当引导。

抽象：一般地，若离散型随机变量X 可能取的值为1x 、2x 、…、n x ，X 取每一个值
i x ),,3,2,1(n i ⋅⋅⋅=的概率为i i p x X P ==)(，则称表
n n
为离散型随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列。

教师强调：要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道（1）X 所有取值，（2）X 取每一个值的概率，（3）列出表格。

[设计意图]通过对具体问题的分析中, 让学生体会由具体到抽象的思想方法,感知从特殊到一般的认知过程，提升学生数学抽象的核心素养。

同时，让学生了解离散型随机变量的分布列整体地反映了离散型随机变量所有可能的取值及其相应值的概率, 全面描述了随机变量的统计规律,并为定义随机变量的特征数奠定了基础，进一步突出本节课的重点。

2、剖析性质本质 加深概念理解
【问题3】离散型随机变量的分布列具有哪些性质？并阐述理由.
活动1：教师引导学生通过观察实例中分布列的特征猜想性质，学生回答。

教师进一步追问：猜想正确吗？这是由两个具体实例的表格得出的结论。

是否所有的离散型随机变量的分布列都具有这些性质？引导学生阐述理由。

活动2：以小组为单位讨论交流，小组派代表分析本组的成果，教师总结。

为降低学生的思维难度，设置如下思考问题链：
（1）分布列中随机变量对应的概率的取值范围是多少？
（2）分布列中随机变量对应的随机事件之间是什么关系？
（3）所有随机事件构成的和事件又表示什么事件？
总结：离散型随机变量的分布列具有下面两个性质：
()
1i p ≥0，1,2,i =…； ()212p p ++…1=即.
1=∑i i p
剖析：根据概率的性质得出分布列的第一条性质。

分析分布列的第二条性质：因为基本事件空间是一个必然事件，随机变量取值对应的随机事件彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式可得随机变量取值对应的概率之和为1，即符号语言表示为：
()()()()
n i x X x X x X x X =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅===Ω 21
()()()()()n i x X P x X P x X P x X P P =⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+=+==Ω21
n i p p p p +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=211 [设计意图] 鼓励学生要大胆猜想这两条性质，因为不少科学的发明、发现都是依靠直觉提出猜想和预见，然后再通过大量的试验或科学论证，才得到证实或否定，进而推动科学技术的发展。

通过学生对两条性质的探究证明，加深对离散型随机变量分布列及其性质的理解，让学生历经离散型随机变量分布列性质的本质的认识过程，突破本节课的重点，提升学生数据分析的核心素养。

活动3：学生思考辨析题，回答问题并说明理由，师生共同评价。

辨析:下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是( )
答案：D
[设计意图] 利用分布列的两性质判定离散型随机变量的分布列是否正确，进一步明确分布列性质的作用，加深对离散型分布列概念的理解，再次强化本节课的重点。

（三）操作阶段——巩固认知结构，培养应用意识
1、讲析生活实例，导出两点分布
情境：共同回忆女排夺冠的时刻，全中国人民为
此振奋不已，最终夺冠靠的不单单是勇于拼搏、敢于创
新
的“女排精神”，还有自身实力。

例1 若排球运动员扣球一次命中得1分，不命中
得0分(不考虑其他情况)，据新华社网，里约奥运会中国
女排主攻手——朱婷以423.0的扣球命中率（看作扣球一
次命中的概率）高居榜首，求她扣球一次的得分的分布
列。

活动1：学生在学案上写出解答过程；学生回答，
教师板书解题过程。

解析：用随机变量X 表示“每次扣球得的分值”，根据题意，X 可能的取值为0,1，且取这两个值得概率分别为577.0,423.0，
因此所求的分布列是
[设计意图]不改变教材例题1题型的情况下，采用热点问题，激发学生学习兴趣，让学生学会正确地分析某些随机现象，也是我们学习本章的意义所在。

教师的板书为规范解题做好示范，同时引出二点分布的定义。

定义：如果随机变量X 的分布列为
其中,
1,10p q p -=<<则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布，而称)1(==X P p 为成功概率。

活动2：教师给出二点分布的定义，并介绍相关的数学史。

数学史： 二点分布又称伯努利分布，为纪念瑞士科学家詹姆斯·伯努利(James Bernoulli ，公元1654～1705)而命名。

伯努利家族3
代人中产生了8位科学家，他们在数学、科学、技术、工
程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望。

考虑只有两种可能结果的随机试验，这种试验称
为伯努利试验。

如果进行n 次伯努利试验，当成功的概率
是恒定的，且各次试验相互独立，取得成功次数的概率分
布为后面重点学习的二项分布。

[设计意图]通过介绍相关的数学史，让学生能够认识到二点分布在概率发展进程中的重要历史地位，从而对概率的了解更丰富，对这部分知识的学习更感兴趣。

【问题4】实际生活中有没有二点分布的例子？谁能举例？
活动3：学生举例，其他学生补充。

X 1 0 P 423.0 577.0 X 1 0 P p q
举例：新生婴儿的性别、明天是否下雨、种子是否发芽、彩票是否中奖、抽到的产品是否是正品、投篮是否命中等等。

[设计意图]举例意在加深学生对二点分布模型的理解；强调二点分布是最简单的离散型随机变量的分布列，应用非常广泛，也是今后学习二项分布的基础。

2、加强思维训练， 完成能力提高
例2 一盒中装有6个同样大小的白球，编号为1—6，现从中随机取出3个球，以X 表示“取出球的最大号码”.
(1)求X 的分布列；
(2)求“最大号码不超过5”的概率.
活动1：学生独立完成，个别同学到黑板板书解题过程，师生共同同评价。

解析：（1）随机变量X 的取值为3，4，5，6. 则
;201)3(3622===C C X P ;20
3)4(3623===C C X P ;103)5(3624===C C X P .2
1)6(3625===C C X P 因此，所求随机变量X 的分布列为
(2)().21103203201)5()4(3)5(=++=
=+=+==≤X P X P X P X P 另解：().2
121161)5(=-
==-=≤X P X P 规律： 1、根据互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

2、当正面分析问题比较复杂时，往往采取补集思想求某些事件的概率，可大大减少讨论情况。

[设计意图]例2是对教材例2的改编加深，也是对引例的继续探究，第一问让学
生练习确定随机变量取值的情况，利用排列组合知识求出X取每个值的概率；第二问通过两种解法，让学生总结提炼方法，进一步体会分布列的应用，提升学生的解决问题的能力。

【问题5】请归纳出求解离散型随机变量的分布列的步骤。

活动：学生归纳总结，师生共同同评价。

提炼：求解离散型随机变量的分布列的方法和步骤：
（1）明确随机变量的含义，确定随机变量的取值；
（2）判定随机事件的关系，计算每个取值的概率；
（3）规范列表给出分布列，检验是否满足两性质。

评析：求离散型随机变量X的分布列的关键是要确认随机变量的取值，强调列表后利用分布列的性质进行检验是否正确。

[设计意图]通过对解题步骤的归纳总结，条理学生的解题思路，规范学生的书写步骤。

这样既发展了学生的概括总结能力和表达能力，又使学生对知识有了一个系统的理解与认识。

例3 某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列．
活动：学生在学案上规范解题步骤，选取一位同学借助投影仪讲解解题过程，师生共同评价。

解析：由题意知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们
的面积成正比。

由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为
3：2：1，面积比为9：4：1，所以8环区域，9环区域，10
环区域的面积比为5：3：1，故掷得8环，9环，10环的概
率可分别设为,
k则
5k
k
,
3,
k，解得1.0
k
=
k
+k
1.0=
+
3
1
+
5
因此，所求随机变量X的分布列为
X0 8 9 1
P1.05.03.0.0
[设计意图]本例考查几何概型，让学生体会不同概率模型的应用，强化对离散型随机变量分布列及其性质的理解。

3、归纳概括提升 课后巩固延伸
【问题6】通过本节课的学习，你从知识内容和思想方法有什么收获？
活动：学生总结，教师补充。

知识内容：离散型随机变量的分布列概念及其性质，两点分布模型。

思想方法：具体到抽象、特殊到一般、数据分析等。

[设计意图]学生自己梳理本节所学知识，可提高学生的归纳概括能力，让学生将所学知识条理化、系统化，使自己的认识结构更趋合理。

同时，注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力，从而走向一个新的制高点。

【作业】
基础训练： 课本43P 练习A 、B ；46P 习题2-1A2，B5；
发展训练：一个盒子中放有大小相同的4个黄球和2个白球，其中4个黄球标号为1-4，2个白球标号为5和6.
规则1: 每次从盒中摸出一球, 记下号码后放回，若摸球两次，用得到两数和的情况进行设奖.
规则2:每次从盒中摸出一球，记下颜色后放回，若摸球两次，用得到白球数的情况进行设奖.
规则3:若摸出1个黄球得1分，摸出1个白球得3分，从盒中任意摸出三个球，用得分和的情况进行设奖.
（I ） 探求上述三个规则中相关随机变量的分布列，并给出设奖方案；
（II ）自主设计新的摸球游戏规则，并求相关随机变量的分布列，小组交流。

[设计意图]通过分层作业将问题由课内延伸到课外，可以使大部分同学巩固本节所学知识。

探究题可激励学生大胆提出问题，用自己己有的概率统计知识去解决问题，同时使教师下节课的教学有的放矢。

结束语：今天这节课，我们学习了离散型随机变量分布列的知识，它既是必修3概率知识的延伸，也是统计学的理论基础。

学会用所学的概率知识正确分析某些随机现象，也是学习本章的意义所在。

七、教学设计说明
新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料
著名教育学家布鲁纳说过：“知识的获得是一个主动过程. 学习者不是信息的被动接受者，而是知识获取的主动参与者。

”基于此，本节课的设计努力注重以下几方面:
1、突现数学核心概念, 紧抓数学学习本质；
2、引例串联一整节课, 充实巩固新知结构；
3、切准学生认知关键，提升数学核心素养；
4、充分挖掘教学内容, 恰当渗透德育教育。