高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第03节 二项式定理0012 36

高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节 二项式定理
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1．【“五个一名校联盟” 高三教学质量监测（一）5】在15
4)2
12(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有 （ ）
A.4项
B.5项
C.6项
D.7项 【答案】A
2．【宝鸡市高三数学质量检测（一）】若)21(3x
x n
-的展开式中第四项为常数项，则=n （ ）
A . 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】Ｂ
【解析】依题意，()
()3
3
3
3
133243122n n n n T C x C x x ---⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，∵其展开式中第四项为常数项，∴
3
102
n --=，∴5n =，故选B ． 3．【改编题】6(1)(1)x x +-
展开式中3x 项系数为（ ）
A.14 B ．15 C ．16 D ．17 【答案】C 【解析】6
(1)x 展开式的通项为616(k
k k T C x -+=-362
6
(1)k k
k
C x
-
-=-，令2k =，得
2223615T C x x ==，令0k =，得03
316T C x x ==，故3x 项为32311516x x x x ⋅+⋅=，所以3x 项系数为
16．
4．【金丽衢十二校高三第二次联考】二项式2
11
1
()x x
-的展开式中，系数最大的项为（ ）
A.第五项
B.第六项
C.第七项
D.第六和第七项 【答案】C
【解析】依题意得展开式的通项的系数为111(1)r r r T C +=-.二项系数最大的是511C 与6
11C .所以系数最大的是6
711T C =.
5．【江西赣州市六校高三上学期期末联考】已知8
a x x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭展开式中常数项为5670，其中a 是常数，则展
开式中各项系数的和是( )
A ．28
B ．48
C ．28或48
D ．1或28 【答案】C
6．【高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2
x 的系数为15，则n =（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
7．【高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52
x y 的系数为( )
（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C
【解析】在25
()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2
x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212
53
2C C C =30，故选 C.
8.【高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（）
A.122 B ．112 C ．102
D ．92
【答案】D
【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以7
3n
n C C =，解得10=n ， 所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为
910
2221=⨯. 9．【咸阳市高考模拟考试试题（三）】若n x
x )2
(3
+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】Ｃ
10．【潍坊市高三3月模拟考试】设0
(sin cos )k x x dx π
=-⎰
，若8280128(1)...kx a a x a x a x -=++++，
则1238...a a a a ++++=( ) (A) 1 (B)0 (C)l (D)256 【答案】B
11．【浙江高考第5题】在4
6
)1()1(y x ++的展开式中，记n
m
y x 项的系数为),(n m f ，则
=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）
A.45
B.60
C.120
D. 210 【答案】C 【解析】由题意可得
()()()()3211236646443,02,11,20,32060364120f f f f C C C C C C ++=+++=+++=，故选C
12.【原创题】2
10(1)x
x -+展开式中3x 项的系数为（ ）.
A.210 B ．120 C ．90 D ．210 【答案】D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．【大纲高考第13题】8
y x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
的展开式中22
x y 的系数为. 【答案】70.
14．【改编题】对任意实数x ，有4234
01234(1)(3)(3)(3)(3)x a a x a x a x a a -=+-+-+-+-，则3a 的
值为. 【答案】8
【解析】 44)23()1(+-=-x x ,又4234
01234(1)(3)(3)(3)(3)x a a x a x a x a a -=+-+-+-+-，
∴3221621434
3=⨯=⋅⋅=C C a . 15．【高考四川，理11】在5
(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】
55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.
16．【高考新课标2，理15】4
()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则
a =__________．
【答案】3
三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知在3
32n
x x ⎛-
⎪⎭的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；
(2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 【解析】(1)通项公式为23
33111()()22
n k k n k
k
k k k
k n
n T C x
x C x ---+=-=-，因为第6项为常数项， 所以k ＝5时，n －2×5
3
＝0，即n ＝10.
(2)令10－2k 3＝2，得k ＝2，故含x2的项的系数是2
210145()24C -=.
(3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧
10－2k
3∈Z
0≤k ≤10
k ∈N
，令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，k ＝5－3
2
r ，
∵k ∈N ，∴r 应为偶数．∴r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为2
22101()2
C x -，5
5
101()2
C -，8
82
101()2
C x -.
18．已知223)n x x 的展开式的二项式系数和比(31)n
x -的展开式的二项式系数和大992.求在
212n
x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中，
(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
19．设(1－2x)2 013＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a2 013x2 013 (x ∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 013的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 013的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 013|的值． 解 (1)令x ＝1，
得a0＋a1＋a2＋…＋a2 013＝(－1)2 013＝－1.① (2)令x ＝－1，
得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 013＝32 013.② 与①式联立，①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 013)＝－1－32 013， ∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－
1＋32 013
2
. (3)Tr ＋1＝Cr 2 013(－2x)r ＝(－1)r ·Cr 2 013(2x)r ， ∴a2k －1<0，a2k>0 (k ∈N*)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 013| ＝a0－a1＋a2－…－a2 013 ＝32 013(令x ＝－1)．
20．【第二次大联考数学江苏版】对于给定的函数()f x ，定义()n f x 如下：()
()C (1)n
k k n k n n
k k f x f x x n -==-∑，其中2n n ∈*N ≥，． （1）当()1f x =时，求证：()1n f x =；
（2）当()f x x =时，比较2014(2013)f 与2013(2014)f 的大小； （3）当2()f x x =时，求()n f x 的不为0的零点．
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点
等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭
⎫－π2，π2内的单调性． 【热点题型】
题型一 三角函数的定义域、值域
【例1】 (1)函数y ＝1
tan x －1
的定义域为____________．
(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－3
解析 (1)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪
⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋kπ，k ∈Z ，
即⎩
⎨⎧x ≠π
4＋kπ，k ∈Z ，x ≠π
2＋kπ，k ∈Z.
故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π
2＋kπ，k ∈Z}． (2)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π
6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，1.
∴y ∈[]－3，2，∴ymax ＋ymin ＝2－ 3. 答案 (1){x|x≠π4＋kπ且x≠π
2＋kπ，k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sinx±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
【举一反三】
(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域为________．
解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sinx －cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π
4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．
∴定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z .
法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可
知2kπ≤x －π
4≤π＋2kπ，k ∈Z ，
解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π
4，k ∈Z.
所以定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . (2)设t ＝sin x －cos x ，则t2＝sin2x ＋cos2x － 2sin xcos x ，sin xcos x ＝1－t2
2，且－2≤t≤ 2. ∴y ＝－t22＋t ＋12＝－1
2(t －1)2＋1.
当t ＝1时，ymax ＝1；当t ＝－2时，ymin ＝－1
2－ 2.
∴函数的值域为⎣⎡⎦
⎤－12－2，1. 答案 (1)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z
(2)⎣⎡⎦
⎤－12－2，1 题型二三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例2】 (1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π
4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A.π4
B.π3
C.π2
D.3π4
(2)函数y ＝2cos2⎝
⎛⎭
⎫x －π4－1是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数 D ．最小正周期为π
2的偶函数
【提分秘籍】
(1)求f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π
2＋kπ(k ∈Z)，求x ；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝kπ(k ∈Z)即可．
(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos( ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π
|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式．
【举一反三】
(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭
⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π
2
(2)(·杭州模拟)若函数f(x)＝sin x ＋φ
3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3
题型三 三角函数的单调性
【例3】 (1)已知f(x)＝2sin ⎝
⎛⎭
⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．
(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭
⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34
C.⎝⎛⎦
⎤0，12 D ．(0，2] 解析 (1)由－π2＋2kπ≤x ＋π4≤π
2＋2kπ，k ∈Z ， 得－3π4＋2kπ≤x≤π
4＋2kπ，k ∈Z.又x ∈[0，π]， 所以f(x)的单调递增区间为
⎣⎡⎦⎤0，π4. (2)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，
由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π
4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦
⎤π2，3π2，
∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π
2，πω＋π4≤3π
2，
∴12≤ω≤5
4，故选A.
答案 (1)⎣
⎡⎦
⎤0，π4 (2)A
【提分秘籍】
(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝Asin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．
【举一反三】
(1)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间⎣
⎡⎦
⎤0，π3上单调递增，在区间⎣
⎡⎦
⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )
A.23
B.3
2 C ．2 D ．3
(2)函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭
⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．
(2)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭
⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，
只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间． 由2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π
2，k ∈Z ， 得kπ－π12≤x≤kπ＋5π
12，k ∈Z.
故所给函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z)． 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z)
【高考风向标】
【高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，最小值是．
【答案】32
,
2
π- 【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222
x f x x x x x x x -=++=
++=-+ 23sin(2)242x π=
-+，所以22
T π
π==；min 32()22f x =-. 【高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(6
π
x ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.
【答案】8
【解析】由图像得，当sin()16
x π
+Φ=-时min 2y =，求得5k =，
当sin()16
x π
+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.
【高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为3ω =_____.
【答案】2
π
ω=
【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为
1221115424
2k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），，, 距离最短的两个交点一定在同一个周期
内，()
2
22
2
1523
22442
πππωω∴=
-+--∴=（）（），. 【高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为．
【答案】
π
【高考福建，文21】已知函数()2103cos 10cos 222
x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．
（ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】（I ）因为()2103cos 10cos 222
x x x f x =+ 535cos 5x x =++
10sin 56x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭．
所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．
又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．
所以()10sin 8g x x =-．
【高考重庆，文18】已知函数f(x)=
1
2
32cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，
(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
时，求g(x)的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为
，最小值为
2+3
，（Ⅱ）1323,]. 【解析】 (1) 21
1
3
()
sin 23cos sin 2(1cos 2)2
2f x x x
x x 1
3
33sin 2cos 2sin(2)
23
2
x x x
, 因此()f x 的最小正周期为，最小值为
2+3
2
. (2)由条件可知：3g()sin()
3
2
x x
.
当[,]2
x
时，有2
[,]3
63
x ， 从而sin()3x
的值域为1
[,1]2， 那么3
sin()
32
x
的值域为1323[,]22. 故g()x 在区间[,]2
上的值域是132
3,
].
(·安徽卷) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．
【解析】 由三角形面积公式，得 12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin2A ＋cos2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin2A ＝±
1－89＝±1
3.
①当cos A ＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋12－2×1×3×1
3＝8， 所以a ＝2 2.
②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭
⎫－13＝12，所以a ＝2 3.
(·福建卷) 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π
2个单位，得到函数y ＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( )
A ．y ＝f(x)是奇函数
B ．y ＝f(x)的周期为π
C ．y ＝f(x)的图像关于直线x ＝π
2对称
D ．y ＝f(x)的图像关于点⎝⎛⎭
⎫－π2，0对称 【答案】D
【解析】将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f(x)＝sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2的图像，即f(x)＝cos
x ．由余弦函数的图像与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝kπ(k ∈Z)对称，关
于点⎝⎛⎭
⎫π2＋kπ，0(k ∈Z)对称，故选D.
图1-2
(·江苏卷) 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π
3的交点，则φ的值是________．
【答案】π6
(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭
⎫2x －π4
中，最小正周期为π的所有函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③ 【答案】A
【解析】函数y ＝cos|2x|＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝
tan ⎝⎛⎭
⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．
(·江苏卷) 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π4的最小正周期为________．
【答案】π 【解析】周期为T ＝2π
2＝π.
(·辽宁卷) 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈0，π
2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值；
(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．
(·山东卷) 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )
图1－3 【答案】D
【解析】∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x )＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π
2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，故选D.
(·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 【答案】－2 55
【解析】f(x)＝sin x －2cos x ＝ 5⎝
⎛⎭⎪⎫
15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25
， 则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2kπ＋π
2， 即θ＝2kπ＋π
2＋α(上述k 为整数)时，
f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 5
5. 【高考押题】
1．函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭
⎫2x －π3的单调递增区间是( )
A.⎣⎡⎦⎤kπ2－π12，kπ2＋5π12(k ∈Z)
B.⎝⎛⎭
⎫kπ2－π12，kπ2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭
⎫kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z)
2．在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭
⎫2x －π4中，最小正周期为π的
所有函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
解析 ①y ＝cos|2x|＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x|的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；
④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.
答案 A
3．已知函数f(x)＝cos23x －1
2，则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ( ) A.2π3
B.π3
C.π6
D.π12
解析 因为f(x)＝1＋cos 6x 2－12＝12cos 6x ，所以最小正周期T ＝2π6＝π3，相邻两条对称轴之间的距离为T
2＝π
6，故选C.
答案 C
4．已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为 ( )
A ．0
B.π
6
C.π4
D.π3
解析 据已知可得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝
kπ＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．
答案 B
5．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭
⎫2x －π3，下列说法正确的是( )
A ．是奇函数
B ．在区间
⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π
6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭
⎫π4－2x 的单调减区间为________．
解析 由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得2kπ≤2x －π4≤2kπ＋π(k ∈Z)， 故kπ＋π8≤x≤kπ＋5π
8(k ∈Z)．
所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦
⎤kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z)．
答案 ⎣⎡⎦
⎤kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z)
7．函数y ＝lg(sin x)＋
cos x －1
2的定义域为________．
解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪
⎧sin x ＞0，cos x －1
2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪
⎧2kπ＜x ＜π＋2kπ（k ∈Z ），－π3＋2kπ≤x≤π
3＋2kπ（k ∈Z ）， ∴2kπ＜x≤π
3＋2kπ(k ∈Z)，
∴函数的定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x|2kπ＜x ≤π3＋2kπ，（k ∈Z ）.
答案 ⎝⎛⎦
⎤2kπ，π3＋2kπ(k ∈Z) 8．函数y ＝sin2x ＋sin x －1的值域为________．
解析y ＝sin2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1，1]，
则有y ＝t2＋t －1＝⎝⎛⎭
⎫t ＋122
－54， 画出函数图象如图所示，
从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1，
可得y ∈⎣⎡⎦
⎤－54，1. 答案 ⎣⎡⎦⎤－54，1 9．已知函数f(x)＝6cos4x ＋5sin2x －4cos 2x
，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域． 解 由cos 2x≠0得2x≠kπ＋π2，k ∈Z ，
解得x≠kπ2＋π4，k ∈Z ，
所以f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x ∈R ，且x ≠kπ2＋π4，k ∈Z . 因为f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝6cos4（－x ）＋5sin2（－x ）－4cos （－2x ）
＝6cos4x ＋5sin2x －4cos 2x
＝f(x)． 所以f(x)是偶函数， 当x≠kπ2＋π4，k ∈Z 时，
f(x)＝6cos4x ＋5sin2x －4cos 2x ＝6cos4x ＋5－5cos2x －42cos2x －1
＝（2cos2x －1）（3cos2x －1）2cos2x －1
＝3cos2x －1. 所以f(x)的值域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y|－1≤y ＜12，或12＜y≤2.
10．已知函数f(x)＝cos x·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos2x ＋34，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间⎣⎡⎦
⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 高考模拟复习试卷试
题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．23-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上
的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.4515-
B.2515
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,
2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．23<a
C ．13<<-a 或2
3>a D ．3-<a 或231<<a 2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-或35-
B ．32-或23-
C ．54-或45-
D ．43-或34
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （ ）
A. 3
B. 2
21 C. 22 D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是。