西藏自治区林芝市第二高级中学导数及其应用多选题试题含答案

西藏自治区林芝市第二高级中学导数及其应用多选题试题含答案
一、导数及其应用多选题
1．已知函数1
(),()122
x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）
A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2
B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线
C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点
D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】
利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12
()(2)m f lnm g e
-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单
调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项
的正误．进而得出结论． 【详解】
在函数1(),()122x
x f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q
，则||2
PQ =
，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1
()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x
'=，
曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12
12
1(2)2m m g e
e
-
-'=
，
令12
()(2)
m f lnm g e
-
''=，即12
12m m e
-=
，即1
221m me -=，则1
2
m =满足方程1
221m me -=，
m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；
构造函数1()()()22x
x F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x
'=-，
函数1()x
F x e x
'
=-
在(0,)+∞
上为增函数，由于1
()20F e '<，F '（1）10e =->，
则存在1(,1)2t ∈，使得1()0t
F t e t
'=-=，可得t lnt =-，
当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．
∴11
()()2222
t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-
1113
2220222
t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；
设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，
则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11
22
n y x ln n =
+-， ∴11
(1)22
m n n m lnm ln ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，
令1()(1)22G x x x lnx ln =--++
，则11
()1x G x lnx lnx x x
-'=-
-=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1
(2)202
G ln '=
-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1
()0G s lns s
'=-=，且1s s e =．
当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．
∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，
5(2)02G =
>，17
(8)20202
G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1
(1)202
m m lnm ln --++
=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．
故选：BCD ． 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．
2．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）
A ．2()2f x x x =-
B ．()tan f x x =
C ．()sin cos f x x x =-
D ．()e ln x f x x =-
【答案】ABD 【分析】
用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-
⎪⎝⎭
的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中
点凸函数”的几何特征，结合图像作答.
由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：
【详解】
由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()1
1
,A
x f x ，()()2
2
,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点
A 、
B 、
C 、
D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-
符合题意 ②()tan f x x =
符合题意
③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭
放大局部图像可见，在,14
段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值.
不合题意
④()e ln x f x x =-
'1()e x f x x =-，''21
()e 0x f x x
+=>
根据导函数作出图像如下
符合题意. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.
3．设函数()ln f x x x =，()2
12
g x x =
，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e
⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
； B ．若方程()2
kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；
C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；
D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
． 【答案】ACD
【分析】
利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和
ln x
y x
=
只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2
()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值
点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】
解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e
>
， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e
∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11
()()f x f e e
∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，
从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，
即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e
∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，
当1x ≠时，()0f x ≠，方程2
()kf x x =有且只有一个实数根，
等价于y k =和ln x
y x
=只有一个交点， 2
ln 1
(ln )-'=
x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln x
y x
=
在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,
由ln x
y x
=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；
对于C ，当120x x >>时，[]
1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，
即ln 1
+≥
x m x
在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2
ln ()x
r x x -'=，
令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，
从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；
对于D ，2
()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 1
2x a x
+=
有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即1
02
a <<，则D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．
4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值
C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭
【答案】ABD 【分析】
先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】
解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x
'
-=-
=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又
当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛
⎫
⎪⎝⎭
上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1
x a
=
时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，
当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1
a e
=
时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即1
0a e
<<
时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令()0f x ＝
，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且
()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得
()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中
正确的是（ ）
A ．函数()2g x =-是函数ln ,0
()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩
的一个承托函数
B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数
C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e
D ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】
由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】
解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；
对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()x
h x e ax =-，则()x
h x e a '
=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，
∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，
若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，
综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x
f x e =的一个承托函数，故C 正确；
对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】
方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
6．已知函数()()2
2
14sin 2
x
x
e
x f x e -=
+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增
D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD 【分析】
由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，
()()
2
22
11
4sin =2cos 2x x x
x e x e f x x e e
-+=
+-，
定义域为R ，关于原点对称，
()2211
=2cos()2cos()()x x x x
e e
f x x x f x e e
--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，
()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1
()2sin x
x f x e x e
'=-
+， 11()2sin()=(2sin )()x x
x x f x e x e x f x e e
--''-=-
+---+=-， ()f x '∴是奇函数，
令1
()2sin x
x g x e x e
=-+， 则1
()+
2cos 2+2cos 0x x g x e x x e
'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；
对C ，1()2sin x x f x e x e
'=-
+，且()'
f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又
(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫
∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()y f x ∴=在π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误；
对D ，
()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
7．已知()2
sin x f x x x π
=-
-.（ ）
A ．()f x 的零点个数为4
B ．()f x 的极值点个数为3
C ．x 轴为曲线()y f x =的切线
D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=
【答案】BC 【分析】
首先根据()0f x '=得到21cos x
x π
-
=，分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，从而得
到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
()21cos x
f x x π
'=-
-，令()0f x '=，得到21cos x
x π
-=.
分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，如图所示：
由图知：21cos x
x π
-
=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，
2
π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
->，()f x 为增函数，
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，
,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，
(),x π∈+∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
-<，()f x 为减函数.
所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2
x π=时，()f x 取得极小值为
14
π
-，
当x π=时，()f x 取得极大值为0，
所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.
因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202
x x π
<<<，且()()12f x f x =，
显然122
x x π
+<，故D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.
8．设函数()ln x
f x x
=
，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立
C ．若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥
D ．若函数()()2
h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈
【答案】AC 【分析】
利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()2
2s x g x ax
=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x
m x
+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()ln x f x x =
的定义域为()0,∞+，则()2
1ln x
f x x -'=
. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.
所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln x
f x x
=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即
ln ln 44π
π
>
，又
ln 41ln 213ln 22
043236
--=-=>， 所以，
ln ln 41
43
π
π
>
>，整理可得3e ππ>，B 选项错误；
对于C 选项，若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，
可得()()2
2
112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2
2
22ln s x g x ax x x ax =-=-，
则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，
()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，
即1ln x
a x
+≥
对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=
，其中0x >，()2ln x
t x x
'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '
<，此时函数()t x 单调递减.
所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；
对于D 选项，()()2
2
ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，
由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x
m x
+=
， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1
x e
>
时，()0t x >，如下图所示：
当021m <<时，即当1
02
m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.
所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。