难点详解沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形难点解析试卷(精选)

八年级数学第二学期第二十二章四边形难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足222222
a b c d ab cd
++=+
+，则这个四边形是（）
A．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形D．对角线垂直的四边形
2、如图，过点O作直线与双曲线y＝k
x
（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作
BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图
中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是（）
A．S1＝S2B．2S1＝S2C．3S1＝S2D．4S1＝S2
3、如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（）
A．12 B．15 C．18 D．24
4、如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA C的坐标为（）
A．1）B．（1，1）C．（1D．，1）
5、如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转30，后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点．．．照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了
（）米．
A．80 B．100 C．120 D．140
6、ABCD的周长为32cm，AB：BC=3：5，则AB、BC的长分别为（）
A．20cm，12cm B．10cm，6cm C．6cm，10cm D．12cm，20cm
7、下列说法正确的有（）
①有一组邻边相等的矩形是正方形②对角线互相垂直的矩形是正方形
②有一个角是直角的菱形是正方形④对角线相等的菱形是正方形
A．1个B．2个C．3个D．4个
8、欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（）
A．线段BF B．线段DG C．线段CG D．线段GF
9、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（）
A．125°B．130°C．135°D．140°
10、下列说法正确的（）
A．连接两点的线段叫做两点之间的距离
B．过七边形的一个顶点有5条对角线
C．若AC=BC，则C是线段AB的中点
D ．用一个平面去截三棱柱，截面可能是四边形
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，已知，在ABC 中，AB AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转一个α角()0180α︒<<︒至ADE 位置，连接BD ，CE 交于点F ．
（I ）求证：ABD ACE △△≌；
（2）若四边形ABFE 为菱形，求α的值；
（3）在（2）的条件下，若2AB =，直接写出CF 的值．
2、一个正多边形的每个外角都等于45°，那么这个正多边形的内角和为______度．
3、如果一个矩形较短的边长为5cm ，两条对角线的夹角为60°，则这个矩形的对角线长是_________cm ．
4、如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于12
PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是 _____．
5、如图，正方形ABCD 的面积为18，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为 _____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．
2、如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：在BC上截取CE，使CE＝CD，连接DE与AC交于点F，过点F作线段AD的垂线交AD 于点M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，猜想线段FM和CF的数量关系，并证明你的结论．
3、已知矩形ABCD，AB=6，BC=10，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD边上取一点E，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求线段EF长；
（2）在平面内找一点G，
①使得以A、B、F、G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；
②如图2，将图1翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m(m＞0)个单位，若以A、O、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标．
4、如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．
（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；
（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状，并直接写出它的面积．
5、如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．
【详解】
解：222222
+，
a b c d ab cd
++=+
22220
a a
b b
c c
d d
-++-+=，
22
22
-=
（，
a b+-
)
c d
()0
--=
=，
c d
0,0
a b
∴a=b，c=d，
∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，
∴c、d是对边，
∴该四边形是平行四边形，
故选：B．
【点睛】
此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．
2、B
过点A作AM⊥x轴于点M，根据反比例函数图象系数k的几何意义即可得出S矩形ODBC=-k、S△AOM=-1
2
k，
再根据中位线的性质即可得出S△EOF=4S△AOM=-2k，由此即可得出S1、S2的数量关系．【详解】
解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
∵AM⊥x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴S矩形ODBC=-k，S△AOM=-1
2
k．
∵AE=AF．OF⊥x轴，AM⊥x轴，
∴AM=1
2
OF，ME=OM=
1
2
OE，
∴S△EOF=1
2
OE•OF=4S△AOM=-2k，
∴2S矩形ODBC=S△EOF，
即2S1=S2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象系数k的几何意义以及三角形的中位线，根据反比例函数图象系数k的几何意义找出S矩形ODBC=-k、S△EOF=-2k是解题的关键．
3、B
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝1
2
BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，
∴OD＝OB＝1
2
BD＝6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝1
2
CD，
∴OE＝1
2
BC，
∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝1
2BD＋1
2
（BC＋CD）＝6＋9＝15，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
4、B
【分析】
作CD⊥x轴，根据菱形的性质得到OC=OA Rt△OCD中，根据勾股定理求出OD的值，即可得到C点的坐标．
【详解】
：作CD⊥x轴于点D，
则∠CDO=90°，
∵四边形OABC是菱形，OA
∴OC=OA
又∵∠AOC=45°，
∴∠OCD=90°-∠AOC=90°-45°=45°，
∴∠DOC=∠OCD，
∴CD=OD，
在Rt△OCD中，OC CD2+OD2=OC2，
∴2OD2=OC2=2，
∴OD2=1，
∴OD=CD=1（负值舍去），
则点C的坐标为（1，1），
故选：B．
【点睛】
此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出OD=CD=1是解决问题的关键．
5、C
【分析】
由小明第一次回到出发点A ，则小明走过的路程刚好是一个多边形的周长，由多边形的外角和为360︒，每次的转向的角度的大小刚好是多边形的一个外角，则先求解多边形的边数，从而可得答案.
【详解】 解：由360=12,30
可得：小明第一次回到出发点A ， 一个要走1210=120⨯米，
故选C
【点睛】
本题考查的是多边形的外角和的应用，掌握“由多边形的外角和为360︒得到一共要走12个10米”是解本题的关键.
6、C
【分析】
根据平行四边形的性质，可得AB =CD ，BC =AD ，然后设3cm,5cm AB x BC x == ，可得到
()23532x x += ，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =CD ，BC =AD ，
∵AB ：BC =3：5，
∴可设3cm,5cm AB x BC x == ，
∵ABCD 的周长为32cm ，
∴()232AB BC += ，即()23532x x += ，
解得：2x = ，
∴6cm,10cm AB BC == ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
7、D
【分析】
根据 正方形的判定定理依次分析判断．
【详解】
解：①有一组邻边相等的矩形是正方形，故该项正确；
②对角线互相垂直的矩形是正方形，故该项正确；
②有一个角是直角的菱形是正方形，故该项正确；
④对角线相等的菱形是正方形，故该项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查了正方形的判定定理，正确掌握正方形与矩形菱形的特殊关系及对应添加的条件证得正方形是解题的关键．
8、B
【分析】
首先根据方程x 2+x -1=0，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF =0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG =m ，则GC =1-m ，从而可以用m 表示等式．
【详解】
解：设DG =m ，则GC =1-m ．
由题意可知：△ADG ≌△AHG ，F 是BC 的中点，
∴DG =GH =m ，FC =0.5．
∵S 正方形=S △ABF +S △ADG +S △CGF +S AGF ，
∴1×1=12×1×12+12×1×m +12×12×（1-m ）+12×m ，
∴m ．
∵x 2+x -1=0的解为：x
∴取正值为x ． ∴这条线段是线段DG ．
故选：B ．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
9、C
【分析】
连接B ′C ，根据题意得B ′在对角线AC 上，得∠B 'CO =45°，由旋转的性质证出∠OB 'C 是直角，得=45B CO '∠︒，即可得出答案．
【详解】
解：连接B ′C ，如图所示，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC 平分∠BAD ，
∵旋转角∠BAB ′=45°，∠BAC =45°，
∴B ′在对角线AC 上，
∴∠B 'CO =45°，
由旋转的性质得：90AB C B ''∠=∠=︒，AB '=AB =1，
∴45B OC '∠=︒
∴18045135DOB '∠=︒-︒=︒
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
10、D
【分析】
根据两点之间的距离、多边形的对角线、线段中点的定义以及截几何体进行判断即可．
【详解】
解：A 、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故原说法错误，该选项不符合题意；
B 、过七边形的一个顶点有4条对角线，故原说法错误，该选项不符合题意；
C 、当点C 在线段AB 上时，若AC =BC ，则C 是线段AB 的中点，故原说法错误，该选项不符合题意；
D 、用垂直于底面的平面去截三棱柱，可得到长方形的的截面，故原说法正确，该选项符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了两点之间的距离、多边形的对角线、截一个几何体以及线段中点的定义，掌握相关定义是正确判断的前提．
二、填空题
1、（1）见解析；（2）120°；（3
）2
【分析】
（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD =90°－12α，∠BAE =α+30°，根据菱形的邻角互补求解即
可；
（3）连接AF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC =45°，∠FCA =30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）由旋转得：AB=AD ，AC=AE ，∠BAD =∠CAE =α，
∵AB=AC ，
∴AB=AC =AD=AE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；
（2）∵AB=AD ，∠BAD =α，∠BAC =30°，
∴∠ABD =（180°－∠BAD ）÷2=（180°－α）÷2=90°－12α，∠BAE =α+30°，
∵四边形ABFE 是菱形，
∴∠BAE +∠ABD=180°，即α+30°+90°－12α=180°，
解得：α=120°；
(3)连接AF ，
∵四边形ABFE是菱形，∠BAE=α+30°=150°，∠BAE=75°，又∠BAC=30°，
∴∠BAF=1
2
∴∠FAC=75°－30°=45°，
∵△ABD≌△ACE，
α=30°，
∴∠FCA=∠ABD=90°－1
2
过F作FG⊥AC于G，设FG=x，
在Rt△AGF中，∠FAG=45°，∠AGF=90°，
∴∠AFG=∠FAG=45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG=FG=x，
在在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，
∴CF=2FG=2x，
CG==，
∵AC=AB=2，又AG+CG=AC，
∴2
x=，
解得：1
x=，
∴CF=2x= 2．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
2、1080
【分析】
利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．
【详解】
解：∵正多边形的每一个外角都等于45 ，
∴正多边形的边数为360°÷45°=8，
所有这个正多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°．
故答案为：1080．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角等知识，熟知多边形内角和定理（n﹣2）•180 °（n≥3）和多边形的外角和等于360°是解题关键．
3、10
【分析】
AB AOB证明AOB是等边三角形，结合矩形的性如图，由题意得：四边形ABCD为矩形，5,60,
质可得答案.
【详解】
AB AOB
解：如图，由题意得：四边形ABCD为矩形，5,60,
AB CD OA OB OC OD
5,,
是等边三角形，
AOB
OA OC OB OD
5,
AC BD
10,
故答案为：10
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键.
4、1
【分析】
根据基本作图，得到EC是∠BCD的平分线，由AB∥CD，得到∠BEC=∠ECD=∠ECB，从而得到BE=BC，利用线段差计算即可．
【详解】
根据基本作图，得到EC是∠BCD的平分线，
∴∠ECD=∠ECB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECD，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC=5，
∴AE= BE-AB=5-4=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了角的平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，平行线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握尺规作图，灵活运用等腰三角形的判定定理是解题的关键．
5、
【分析】
由正方形的对称性可知，PB＝PD，当B、P、E共线时PD+PE最小，求出BE即可．
【详解】
解：∵正方形中B与D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE，此时PD+PE最小，
∵正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，
∴BE＝
∴PD+PE最小值是
故答案为：
【点睛】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
三、解答题
1、见解析
【分析】
首先根据平行四边形的性质推出AD ＝CB ，AD ∥BC ，得到∠ADE ＝∠CBF ，从而证明△ADE ≌△CBF ，得到∠AED ＝∠CFB ，即可证明结论．
【详解】
证：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝CB ，AD ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠CBF ，
在△ADE 和△CBF 中，
B A ADE
C F F B E B
D C D =⎧⎪⎨⎪∠==⎩
∠ ∴△ADE ≌△CBF （SAS ），
∴∠AED ＝∠CFB ，
∴AE ∥CF ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质等，掌握平行四边形的基本性质，准确证明全等三角形并利用其性质是解题关键．
2、（1）图形见解析；（2）FM FC =，证明见解析
【分析】
（1）以C 为圆心CD 长为半径画弧于BC 交点即为E ；连DE 与AC 交点即为F ；过F 作AD 的垂直平分线与AD 交点即为M ；
（2）证明DF 平分ADC ∠，再利用角平分线的性质判定即可．
（1）图形如下：
（2）FM FC =，证明如下：
由（1）可得：90FMD ∠=︒,CE ＝CD
∴CED CDE ∠=∠
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD ∥BC ，AB ∥CD
∴CED ADE ∠=∠,
∴ADE CDE ∠=∠
即DF 平分ADC ∠
∵∠BAC ＝90°
∴90ACD FMD ∠=∠=︒
∴FM FC =
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
3、（1）103
；（2）①点G 的坐标为（﹣8，6）或（8，6）或（8，﹣6）；②4,8,6m G 或6,8,6.m G 或732,8,33m G ⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
（1）由矩形的性质得AD＝BC＝OC＝10，CD＝AB＝OA＝6，∠AOC＝∠ECF＝90°，由折叠性质得EF＝DE，AF＝AD＝10，则CE＝6﹣EF，由勾股定理求出BF＝OF＝8，则FC＝OC﹣OF＝2，在Rt△ECF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）①分三种情况，当AB为平行四边形的对角线时；当AF为平行四边形的对角线时；当BF为平行四边形的对角线时，分别求解点G的坐标即可；
②分三种情况讨论，当OF为对角线时，由菱形的性质得OA＝AF＝10，则矩形ABCD平移距离m＝OA﹣AB＝4，即OB＝4，设FG交x轴于H，证出四边形OBFH是矩形，得FH＝OB＝4，OH＝BF＝8，则HG＝6，如图，当AO为菱形的对角线时，当AF为菱形的对角线时，结合矩形与菱形的性质同理可得出答案．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝OC＝10，CD＝AB＝OA＝6，∠AOC＝∠ECF＝90°，
由折叠性质得：EF＝DE，AF＝AD＝10，
∴CE＝CD﹣DE＝CD﹣EF＝6﹣EF，
由勾股定理得：BF＝OF2222
1068
AF OA，
∴FC＝OC﹣OF＝10﹣8＝2，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+FC2，
即：EF2＝（6﹣EF）2+22，
解得：EF＝10
3
；
（2）①如图所示：
当AB为平行四边形的对角线时，AG＝BF＝8，AG BF
∥，
∴点G的坐标为：（﹣8，6）；
AG BF，
当AF为平行四边形的对角线时，AG'＝BF＝8，'
∴点G'的坐标为：（8，6）；
FG AB，
当BF为平行四边形的对角线时，FG''＝AB＝6，''
∴点G''的坐标为：（8，﹣6）；
综上所述，点G的坐标为（﹣8，6）或（8，6）或（8，﹣6）；
②如图，当OF为菱形的对角线时，
∵四边形AOGF为菱形，
∴OA＝AF＝10，
∴矩形ABCD平移距离m＝OA﹣AB＝10﹣6＝4，即OB＝4，
设FG交x轴于H，如图所示：
∵OA FG
∥，BC x
∥轴，
∴∠FBO＝∠BOH＝∠OHF＝90°，
∴四边形OBFH是矩形，
∴FH＝OB＝4，OH＝BF＝8，
∴HG＝10﹣4＝6，
∴点G的坐标为：（8，﹣6）．
如图，当AO为菱形的对角线时，
AB OB GB BF AO GF
则6,8,,
6,8,6.
m G
如图，当AF为菱形的对角线时，
同理可得：,6,OA OF OA m 且,,GF OA GF BC ∥
0,6,8,,A m F m 22268,m m 解得：7,3m 2570,,8,,33A F 所以7258,33G 即328,.3
G 综上：平移距离m 与G 的坐标分别为：4,8,6m G 或()6,8,6m G =-或732,8,.33m
G ． 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，坐标与图形性质、平行四边形的性质、勾股定理、折叠变换的性质、平移的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
4、（1）y =-2.5x +54，x =8；（2）存在，x =6；（3）平行四边形；15．
【分析】
（1）PB=x，PC=12-x，然后依据△APG的面积=矩形的面积-三个直角三角形的面积可得到y与x的函数关系式，然后将y=34代入函数关系式可求得x的值；
（2）先依据勾股定理求得PA、PG、AG的长，然后依据勾股定理的逆定理列出关于x的方程，从而可求得x的值；
（3）确定出点P分别与点B和点C重合时，点M、N的位置，然后依据三角形的中位线定理可证明M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2，从而可判断出MN扫过区域的形状，然后依据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=9，AD=BC=12．
∵DG=5，
∴GC=4．
∵PB=x，PC=12-x，
∴y=9×12-×1
29×x-1
2
×4×(12-x)-1
2
×5×12，整理得：y=-2.5x+54．
当y=34时，-2.5x+54=34，解得x=8；
（2）存在．
∵PB=x，PC=12-x，AD=12，DG=5，
∴PA2=AB2+BP2=81+x2，PG2=PC2+GC2=(12-x)2+16，AG2=AD2+DG2=169．
∵当AG2=AP2+PG2时，AP⊥PG，
∴81+x2+(12-x)2+16=169，整理得：x2-12x+36=0，配方得：(x-6)2=0，解得：x=6；
（3）如图所示：
∵当点P与点B重合时，点M位于M1处，点N位于点N1处，∴M1为AB的中点，点N1位GB的中点．
∵当点P与点C重合时，点M位于M2处，点N位于点N2处，∴M2为AC的中点，点N2位CG的中点．
∴M1M2∥BC，M1M2=1
2BC，N1N2∥BC，N1N2=1
2
BC．
∴M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2．
∴四边形M1M2N2N1为平行四边形．∴MN扫过的区域为平行四边形．
S=1
2BC•(1
2
AB-1
2
CG)=6×2.5=15，
故答案为：平行四边形；15．
【点睛】
本题主要考查了列函数关系式、三角形的面积公式、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用，画出MN扫过的图形是解题的关键．
5、（1）见详解；（2）120
【分析】
（1）根据菱形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质以及面积公式解答即可．
【详解】
（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．
∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形．
（2）解：菱形EBFD的面积=11
1024120 22
BD EF=⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，菱形的面积，正确掌所握菱形的判定和性质是解题的关键．。