2018届高三数学(文)高考总复习教师用书：第八章 解析几何 Word版含答案

第八章⎪
⎪⎪
解析几何
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．
(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式
(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π
2
)，则斜率k ＝tan_α．
(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1．
3．直线方程的五种形式
[小题体验]
1．(教材习题改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ．2 B ．2－ 2 C ．2－1
D ．2＋1
解析：选C 由题意知|a －2＋3|
2
＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1．
2．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析：由题意，得a a －3＝－2，解得a ＝2．
答案：2
1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
[小题纠偏]
1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1．
所以P 是Q 的充要条件．
2．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：∵63＝m 4≠14
－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之
间的距离d ＝
|－3－7|
32＋42
＝2．
答案：2
考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0．
2．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny
＋1＝0为l 3．若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )
A ．－10
B ．－2
C ．0
D ．8
解析：选A ∵l 1∥l 2，∴4－m
m ＋2＝－2(m ≠－2)，解得m ＝－8(经检验，l 1与l 2不重合)，∵
l 2⊥l 3，∴2×1＋1×n ＝0，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10．
3．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；
(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1．
解：(1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－8＋n ＝0，
2m －m －1＝0，
解得m ＝1，n ＝7． 即m ＝1，n ＝7时， l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．
(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－16＝0，
－m －2n ≠0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝4，
n ≠－2
或⎩⎨⎧
m ＝－4，n ≠2.
即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2． (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2． 又－n
8＝－1，∴n ＝8．
即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1．
[谨记通法]
1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1．
[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法
[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1
C 2
的关系容易记住，在解答选
择、填空题时，建议多用比例式来解答．
考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2．
解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，
∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋1
4－2
＝－1，
∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0．
∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0．①
又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，
∴|4a ＋3b －2|5＝2，
即4a ＋3b －2＝±10，②
由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－4或⎩⎨⎧
a ＝27
7
，
b ＝－87.
∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277
，－87． [由题悟法]
处理距离问题的2大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．
(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．
[即时应用]
1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．
解析：法一：设P (a ，b )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
2a －3b ＋6＝0，
a 2＋
b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，
解得a ＝3，b ＝4．∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，
则由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．
答案：(3,4)
2．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．
解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，
所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)． 又因为l 1与l 2的距离是2， 所以
|b ＋1|12
＋1
2
＝2，解得b ＝1或b ＝－3，
即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0
3．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围为________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |
5．
又|15－3a |
5
≤3，即|15－3a |≤15，
解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]． 答案：[0,10]．
考点三 对称问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]
对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；
(3)线关于线对称．
[题点全练]
角度一：点关于点对称
1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．
解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，
则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，
解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，
所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0． 答案：x ＋4y －4＝0
角度二：点关于线对称
2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．
解析：设A ′(x ，y )，
由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＋2x ＋1×23＝－1，
2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝－33
13，
y ＝4
13，
故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413． 答案：A ′⎝⎛⎭⎫－3313，4
13
角度三：线关于线对称
3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0
D ．x ＋2y －1＝0
解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，
由⎩⎨⎧
x ＋x 0
2
－y ＋y
2＋2＝0，
x －x 0
＝－(y －y 0
)，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，
由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0．
[通法在握]
1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：
若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2a －x 1，
y ＝2b －y 1，进而
求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：
若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组
⎩⎪⎨⎪
⎧
A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋
B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋
C ＝0，
y 2－y 1x 2
－x 1
·
⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，
可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
[演练冲关]
1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 解析：设A (x ，y )为所求直线上的任意一点， 则A ′(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，
即3x －4(－y )＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0． 答案：3x ＋4y ＋5＝0
2．已知点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是________．
解析：由题意得线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫－1
2，2在直线y ＝kx ＋b 上，故⎩⎨⎧
2
3
·k ＝－1，－1
2k ＋b ＝2，
解
得k ＝－32，b ＝54，所以直线方程为y ＝－32x ＋54．令y ＝0，即－32x ＋54＝0，解得x ＝5
6，故直
线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距为5
6
．
答案：5 6
3已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以
⎩⎪
⎨
⎪⎧b－4
a－(－3)
·1＝－1，
－3＋a
2
－
b＋4
2
＋3＝0，
解得a＝1，b＝0．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为
y－0
6－0
＝
x－1
2－1
，
即6x－y－6＝0．
答案：6x－y－6＝0
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．不能确定
解析：选C由
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x＋y＋m＝0，
x＋2y＋n＝0，
可得3x＋2m－n＝0，由于3x＋2m－n＝0有唯一解，
故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－1
2
，斜率之积不等于－1，故不垂直．
2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是()
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选C因为直线x－2y－2＝0的斜率为
1
2
，所以所求直线的斜率k＝－2．所以所
求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0．故选C ．
3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0
D ．x ＋2y －3＝0
解析：选D 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)． 又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)， 所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －3
1－3
，即x ＋2y －3＝0．
4．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －3
2＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直
线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－15
4，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0．
答案：12x ＋8y －15＝0
5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．
解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－9，
y ＝－8，
所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)， 代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2， 所以a ＝2
3．
答案：2
3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知A (2,3)，B (－4,0)，P (－3,1)，Q (－m ，m ＋1)，若直线AB ∥PQ ，则m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
解析：选C ∵AB ∥PQ ，
∴k AB ＝k PQ ，即0－3
－4－2＝m ＋1－1
－m －(－3)
，
解得m ＝1，故选C ．
2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A ．423
B ．4 2
C ．823
D ．2 2
解析：选C ∵l 1∥l 2， ∴1
a －2＝a 3≠62a ， 解得a ＝－1，
∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2
3
＝0，
∴l 1与l 2的距离d ＝
⎪⎪⎪⎪
6－232＝
82
3
．
3．(2016·浙江温州第二次适应性)已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1
⊥l 2”的充分不必要条件，故选A ．
4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)
D ．(4，－2)
解析：选B 由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．
5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )
A ．x －2y ＋1＝0
B ．x －2y －1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋2y －1＝0
解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－1，
即(1,0)，(－1，－1)
为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．
6．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．
解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－7
9．
答案：－13或－7
9
7．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－(－2)－3－0＝－4
3．
k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝3
4
．
则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形． 故S ＝|AB |·|AD |＝(1－4)2＋(5－1)2×
(0－4)2＋(－2－1)2＝25．
答案：25
8．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________________．
解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－1
0－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为
k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－1
2
(x －1)，即x ＋2y －3＝0．
答案：x ＋2y －3＝0
9．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0． (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．
解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；
当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，
两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝1
1－a
x －(a ＋1)，
由l 1
∥l 2
可得⎩⎨
⎧
－a 2＝1
1－a ，
－3≠－(a ＋1)，
解得a ＝－1．
综上可知，a ＝－1．
法二：由l 1∥l 2知⎩
⎪⎨⎪⎧
A 1
B 2－A 2B 1＝0，
A 1C 2－A 2C 1≠0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－a －2＝0，a (a 2－1)≠6
⇒a ＝－1．
(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，
由l 1⊥l 2，得⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝2
3． 法二：∵l 1⊥l 2， ∴A 1A 2＋B 1B 2＝0，
即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝2
3
．
10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．
解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．
设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 0＋52，y 0＋12，
代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，
得B (－1，－3)，∴k BC ＝65
，
∴直线BC 的方程为y －3＝6
5(x －4)，
即6x －5y －9＝0．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )
A ．过点P 且与l 垂直的直线
B ．过点P 且与l 平行的直线
C ．不过点P 且与l 垂直的直线
D ．不过点P 且与l 平行的直线
解析：选D 因为P (x 0，y 0)是直线l 1：Ax ＋By ＋C ＝0外一点， 所以Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k ≠0．
若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0， 则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0．
因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等， 但在y 轴上的截距不相等，
故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行． 因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，而k ≠0， 所以Ax 0＋By 0＋C ＋k ≠0，
所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P ．
2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．
解：(1)证明：直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝3，
所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，
当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，
所以直线l 的斜率k l ＝－5． 故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)， 即5x ＋y ＋7＝0．
第三节圆的方程
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)
圆心：(a ，b )，半径：r
一般方程
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝
0，(D 2
＋
E 2－4
F ＞0)
圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 半径：1
2
D 2＋
E 2－4F
点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2． (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2． (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2．
[小题体验]
1．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－4
3
B ．－34
C ． 3
D ．2
解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1
＝1，解得a ＝－4
3．
2．(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．
解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，
则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋4
2＝3，故圆心C (0,3)．
半径r ＝12|AB |＝
1
2
[1－(－1)]2＋(4－2)2＝2．
∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2． 答案：x 2＋(y －3)2＝2
3．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4． 即a 2＜1，故－1＜a ＜1． 答案：(－1,1)
对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．
[小题纠偏]
(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1．当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－5
4＜0，不表示圆；
当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5．
答案：(－2，－4) 5
考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．(2017·石家庄质检)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )
A ．x 2＋y 2＝1
B ．(x －3)2＋y 2＝1
C ．(x －1)2＋y 2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
解析：选A 因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1．
2．圆心在y 轴上且经过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0
D ．x 2＋y 2－10x ＝0
解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2． 因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5．所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0． 3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
解析：选C 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＋3
E ＋
F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
D ＝－2，
E ＝4，
F ＝－20.
∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0． 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，
∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， ∴|MN |＝46，故选C ．
4．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为
45
5
，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝
2a 5
＝455，解得a ＝2，
所以圆C 的半径r ＝|CM |＝
4＋5＝3，
所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9． 答案：(x －2)2＋y 2＝9
[谨记通法]
1．求圆的方程的2种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．
2．确定圆心位置的3种方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
考点二与圆有关的最值问题(题点多变型考点——多角探明)
[锁定考向]
与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有：
(1)斜率型最值问题；
(2)截距型最值问题；
(3)距离型最值问题．
[题点全练]
角度一：斜率型最值问题
1．(2016·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y
x的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．
y
x
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设y
x
＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，
此时|2k－0|
k2＋1
＝3，
解得k＝±3．
所以y
x
的最大值为3，最小值为－3．
角度二：截距型最值问题
2．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．
解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |
2＝3，解得b ＝－2±6．所以y －x 的最
大值为－2＋6，最小值为－2－6．
角度三：距离型最值问题
3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值．
解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，
所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－43．
[通法在握]
与圆有关的最值问题的3种常见转化法
(1)形如μ＝y －b
x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问
题．[演练冲关]
1．设点P 是函数y ＝－4－(x －1)2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R)，则|PQ |的最小值为________．
解析：函数y ＝－
4－(x －1)2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下
半圆．令点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x
2
－3，即x －2y －6＝0，作出图象如
图所示．
由于圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|
12＋(－2)2＝5＞2，所以直线x －2y －6
＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2．
答案：5－2
2．已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．
解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径1，所以
|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2
＝1，即|m ＋n |＝
(m ＋1)2＋(n ＋1)2．两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1．
由基本不等式mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22
，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，
解得m ＋n ≥2＋22． 当且仅当m ＝n 时等号成立． 答案：[2＋22，＋∞)
考点三 与圆有关的轨迹问题(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
已知A (2,0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，
由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4．
故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1． (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，
设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4．
故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0．
[由题悟法]
与圆有关的轨迹问题的4种求法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
[即时应用]
设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，点O 是坐标原点，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求动点P 的轨迹．
解：∵四边形MONP 为平行四边形， ∴OP ―→＝OM ―→＋ON ―→． 设点P (x ，y )，点N (x 0，y 0)，
则ON ―→＝OP ―→－OM ―→
＝(x ，y )－(－3,4)＝(x ＋3，y －4)＝(x 0，y 0)， ∴x 0＝x ＋3，y 0＝y －4． 又点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，
∴x 20＋y 2
0＝4，
即(x ＋3)2＋(y －4)2＝4．
又当OM 与ON 共线时，O ，M ，N ，P 构不成平行四边形，
故动点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆且除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，28
5．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，
即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1．
2．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C ． 2
D ．4
解析：选B 由半径r ＝
1
2
D 2＋
E 2－4
F ＝
1
2
4a 2＋4b 2＝2得，
a 2＋
b 2＝2．
∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B ．
3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
解析：选A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)， PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4＋x 02，
y ＝－2＋y 0
2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，
y 0＝2y ＋2，因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，
所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，
化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1．
4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为
________．
解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1．
答案：x 2＋(y －1)2＝1
5．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．
解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |， 得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2． 半径r ＝|CA |＝
(2＋1)2＋12＝10．
故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10． 由题意知(m －2)2＋(6)2＜10， 解得0＜m ＜4． 答案：(0,4)
二保高考，全练题型做到高考达标 1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A ．上半圆 B ．下半圆 C ．圆
D ．抛物线
解析：选A 由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆． 2．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16
D ．(x ＋1)2＋y 2＝16
解析：选A 因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，
所以圆心M (1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|
2＝22．
所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8．故选A ．
3．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )
A ．(x ＋1)2＋y 2＝2
B ．(x ＋1)2＋y 2＝8
C ．(x －1)2＋y 2＝2
D ．(x －1)2＋y 2＝8
解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)．
根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|
12＋12＝
2，
则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2．故选A ．
4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )
A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为
|4|
2
＝22，所以r ＝2．又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2．
5．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1．
6．设A (－3,0)，B (3,0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为1∶2，则点P 的轨迹图形所围成的面积是________．
解析：设P (x ，y )，则由题意有(x ＋3)2＋y 2(x －3)2＋y 2
＝14， 整理得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0，即(x ＋5)2＋y 2＝16， 所以点P 在半径为4的圆上，故其面积为16π． 答案：16π
7．(2016·东城区调研)当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．
解析：由题意知，圆的半径r ＝1
2
k 2＋4－4k 2＝1
2
4－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，
圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π
4
．
答案：
3π4
8．已知平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋2y －4≤0
恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内
部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ 为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |
2＝5，
因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5
9．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．
(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40．②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．
∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．
10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ． (1)求圆C 1的圆心坐标．
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．
解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→
＝0． 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→
＝(－x ，－y )， ∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0．
易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|
m 2＋1
＝2，
解得m ＝±25
5
．
把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝5
3．
当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴5
3
<x ≤3． ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中5
3<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1 和两点A (－m,0), B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
解析：选B
由(x －3)2＋(y －4)2＝1
知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝3＋cos θ，
y 0＝4＋sin θ.
∵∠APB ＝90°，即AP ―→·BP ―→
＝0，
∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，
∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ
＝26＋10sin(θ＋φ)⎝
⎛⎭⎫其中tan φ＝3
4， ∴16≤m 2≤36,且m ＞0，∴4≤m ≤6，即m 的最大值为6． 2．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求
n －3
m ＋2
的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |
12＋22≤22，
解上式得，16－210≤t ≤16＋210， 所以所求的最大值为16＋210． (2)记点Q (－2,3)，
因为n －3
m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，
所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0． 由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k
2
≤22．
可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3
m ＋2
的最大值为2＋3，最小值为2－3．
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离相切相交图形
量化
方程
观点
Δ＜0Δ＝0Δ＞0 几何
观点
d＞r d＝r d＜r
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离外切相交内切内含图形
量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜
r1＋r2
d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|
[小题体验]
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()
A．内切B．相交
C．外切D．相离
解析：选B两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋12＝17．
∵3－2<d<3＋2，
∴两圆相交．
2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．解析：由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝5，
又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|
32＋(－1)2
＝
10
2
，由⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝4⎝⎛⎭
⎫5－5
2＝10，即|AB |＝10． 答案：10
3．(教材习题改编)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围为________．
解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴
|a －0＋1|12＋(－1)2
≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1．
答案：[－3,1]
1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在的情形． 2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
[小题纠偏]
1．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________． 解析：①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3， 由圆心(1,0)到切线的距离为半径1， 得k ＝4
3
，
所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，
②若切线的斜率不存在，则切线方程为x ＝2，也是圆的切线， 所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2． 答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0
2．若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则常数a ＝________． 答案：±25或0
考点一 直线与圆的位置关系(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心
D ．相离
解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|
22＋12＝5＜
6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．
2．(2017·聊城模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C
因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，
由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
3．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________．
解析：法一：将直线方程代入圆的方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)＜0，解得k ∈(－3，3)．
法二：圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1
，直线与圆没有公共点的充要条件
是d ＞1，
即
2
k 2＋1
>1，解得k ∈(－3，3)．
答案：k ∈(－3，3)
[谨记通法]
判断直线与圆的位置关系一般有两种方法
(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．
(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．
考点二 切线、弦长问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]
与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有： (1)求圆的切线方程(切线长)； (2)求弦长；
(3)由弦长及切线问题求参数．
[题点全练]
角度一：求圆的切线方程(切线长)
1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋ 2 B ．y ＝－x ＋ 2
C ．y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2
D ．x ＝1或y ＝x ＋ 2
解析：选C 在y 轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y ＝kx ＋2，则
|2|k 2＋1
＝1，所以k ＝±1，故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2．
角度二：求弦长
2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A ．1
2
B ．1
C ．
22
D ． 2
解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝
|c |
a 2＋
b 2
＝
|c |2|c |＝22
，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于
1－
⎝⎛⎭⎫222＝22
，所以弦长为2．
角度三：由弦长及切线问题求参数
3．(2017·重庆适应性测试)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y ＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝()
A．－ 6 B．±6
C．－ 5 D．±5
解析：选D记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝2可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b|
＝1，解得b＝±5，选D．
5
[通法在握]
1．圆的切线方程的2种求法
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k．
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k．
[提醒]若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．2．弦长的2种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2．
[演练冲关]
1．(2017·湖南四地联考)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是()
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为2．因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离d＝(a＋1)2＋(b－2)2＝(a＋1)2＋(a－3－2)2＝2a2－8a＋26＝2(a－2)2＋18．所以当a＝2时，d取最小值18＝32，此时切线长最小，为(32)2－(2)2＝16＝4，所以选C．
2．(2017·山西三地五校联考)过原点且与直线6x－3y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．。