函数图象变换及应用抽象函数汇总

函数图象变换及应用
一个函数到另一个函数的变换，（两个函数的对称关系）
1． 平移：
(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平
移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平
移-m 个单位）。

2． 对称：
✧ 关于直线对称
(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)
右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。

（实际上y = f (|x|)是偶函数）
(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)
在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。

一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m
2a b x -=
对称。

思考：函数y = f (4+2x)与y = f (2+2x)的图象关系?
✧ 关于点对称
(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3． 伸缩
(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m
1倍得到。

（如果0<m<1，实际上是将f (x)的图象伸展） (2) 函数y = mf (x) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的
m 1倍得到。

（如果0<m<1，实际上是将f (x)的图象伸展）
二． 函数图象的对称性（有关函数图象本身的对称性）
(1) 如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足f (x) = f (2a -x) （或者
f(a -x)=f(a+x)等），则函数y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(2) 如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足f (x) = 2b -f (2a -x)（或
者f(a -x) = 2b -f(a+x)等），则函数y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

一般地：如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足 f (a+mx) = f (b -mx)， 则函数
y = f (x)的图象关于直线2
b a x +=
对称。

思考：如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足 f (4+2x) = f (2+2x)，则函数y = f (x)
具有何种性质。

考点一、基本作图及变换
1. y ＝x 2－2|x|－1 y =1−x 1+x 1(lg lg )2
y x x =+
2.说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数32
1x y --=+的图像.
3. 说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数 y =2|−x−3| 的图像
4. 说明由函数2x
y =的图像经过怎样的图像变换得到函数 y =2|−x|−3 的图像
5. 函数|a x 2|log )x (f 3+=的图象的对称轴方程为x = 2，则常数a = 。

考点二、图像信息题 6函数的图像大致为（ ）x x
x x e e y e e
--+=-
7. 函f (x )＝
ln 1－x 1＋x 的图象只可能是__________．
考点三：根据图像对称性求函数解析式（相关点法）：
8 .已知函数)(x f 的图像与函数21)(++=x
x x h 的图像关于点)1,0(A 对称。

（1）求)(x f 的解析式；（2）若x
a x f x g +=)()(，且)(x g 在区间]2,0(上为减函数，求实数a 的取值范围。

9．已知函数f (x )＝－a a x
＋a
(a >0且a ≠1)． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．
1
x y
1O A x y O 11B x y O 1
1 C x
y 1 1 D O
考点四，综合（单调性 对称性（包含了奇偶性） 周期性 结合图像）
10．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，
f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝lo
g 7x 的交点的个数为__________．
11.已知定义在R 上的奇函数f(x),满足f(x -4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则 （ ）
A.f(-25)＜f(11)＜f(80)
B.f(80)＜f(11)＜f(-25)
C.f(11)＜f(80)＜f(-25)
D.f(-25)＜f(80)＜f(11)
12.已知函数f(x)(x ∈R)满足：f(x+1)=f(x)+f(x+2),且 f(1)=1,f(2)=2 010.则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 009)=______.
13．设 f (x)为偶函数，对于任意,4)1(f ),x 2(f 2)x 2(f R x =---=+∈+已知都有那么
f(-3)= 。

14．设函数f (x)与函数g (x)的图象关于直线x =3对称，则g (x)的表达式为---（ ）
)
x 6(f )x (g )D ( )x 3(f )x (g )C ()x 3(f )x (g )B ( )x 2
3(f )x (g )A (-=--=-=-=
15．函数f (a -x)与f (b+x)的图象关于直线l 对称，则直线l 的方程为-------------（ ）
b a x )D ( b a x )C ( 2
b a x )B ( 2b a x )A (+=-=+=-=
16.若函数f(x)满足f(1+x)=f(2-x)， 则f （x ）的对称轴为
） （----的解析式是f(x)时，2,0][x ，则当x f(x)时，]3,2[恒成立，当)2
1()23(上的偶函数，且是定义在)(．设 17-∈=∈+=-
x x f x f R x f (A)f (x)= |x+4| (B)f (x)=|2-x| (C)f (x) =3-|x+1| (D)f (x)=2+|x+1
）
（- -的值为的21
)(，则使21f(x),时10当，f(x)2)f(x 上的奇函数，且满足R 是定义在f(x)．已知函数 18x x f x x -==≤≤-=+ )Z n (1n 4)D ( )Z n (1n 4)C ( )Z n (1n 2)B ( )Z n (n 2)A (∈-∈+∈-∈
19.设函数f(x)的定义域为R ，若f(x+1)与f(x -1)都是奇函数，则--------------（ ）
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2)
D.f(x+3)是奇函数。