NURBS曲面的参数化离散及其在数控加工干涉避免中的应用_杨长祺

中国机械工程第 18 卷第 8 期 2007 年 4 月下半月
B - spline , NU RBS)曲面作为产品数据交换的国 际标准
[ 5]
es(r(u , v),[ a , b ; c, d] ) = sup {
a≤ u≤ b c≤ v≤ d
P ∈ A′ B′ C ′ D′
inf
‖ r(u , v ) - P ‖}
A ′= A +Δ, B ′= B +Δ, C ′= C + Δ, D′= D + Δ Δ =- (A + C - B - D) / 4 (1)
如果 0 <
‖P1 - P2 ‖ +(r - ε )|w1 - w2 | ≤ ε 成 min(w1 , w 2)
立 , 则 ‖R1 - R2 ‖ ≤ε 。 此外 , 双变量连续函数的线性逼近又存在如下 定理 : 定理 2[ 6] 设 I 2 w(x , y) 是 C2 连 续的 函 数 w(x , y ) 在[ α , β; ξ ,η ] 上的双线性逼近 , 即
ij
R(u , v) =[ X (u , v) , Y (u , v), Z(u , v) , w(u , v) ] =
m n m i
为控制顶点的(m - k) ×(n - h) 次 Bezier 曲面 , k =0 , 1 , 2 …m - 1 ; h =0 , 1 , 2 , …, n - 1 。 其中 , Δ 1 、 Δ 2 分别是控制顶点 P ij 在 u 向 、 v 向的向前差分 算子 :
四边形 ABCD 一般不是平面四边形 , 而由于 A′ +C′= B′ +D′ , 四边形 A′ B′ C′ D′ 总是平面四 边形 , 它所在的平面是四边形 ABCD 四边中点所 确定的平面 。 Bezier 曲面离散成平面片后 , 需要计算曲面 片内的点到平面片的最大距离和曲面片边界到平 面片边界的最大距离 , 二者的最大值就是 Bezier 曲面的离散误差 。 其中 , 曲面片边界到平面片边界 的误差(称为边界误差) e c 定义为
m n m i
r(u , v) =
i= 0 j =0 m n
∑ ∑B
i= 0 j= 0
(u)B n j (v)w i j R ij (2)
∑∑
Bm )B nj (v)wi j i (u
Ri j =( xi j , y ij , z ij ) w ij > 0
把控制顶点 Rij 转化为带权控制顶点 R ij = (w x ij , wij y ij , wij z ij , w ij ), 则有理 Bezier 曲面可 以转化为高一维的非有理 Bezier 曲面 :
I2 w(u , v) =[ w(α ,ξ ) +δ ] [ (β - u) /(β - α ) ] [ (η- v ) /(η- ξ ) ] +[ w (α ,η )- δ ] [ (β - u) /(β - α ) ] [ (v - ξ ) /(η- ξ ) ] +[ w (β, ξ )- δ ] [ (u - α ) /(β - α )] [ (η- v ) /(η- ξ ) ] +[ w (β, η ) +δ ] [ (u - α ) /(β - α ) ] [ (v - ξ ) /(η -ξ ) ] α≤ u ≤ β ξ≤ v ≤ η δ=- [ w(α ,ξ ) + w(β, η ) - w(α ,η )- w (β, ξ ) ] /4 (5)
R1 = P 1 /w 1 , R2 = P2 /w2 , w1 > 0 , w2 > 0 r ≥ max(‖ R1 ‖ , ‖ R2 ‖)
[ 6]
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有理 Bezier 曲面的离散
2. 1 Bezier 曲面的离散精度定义 Bezier 曲面的离散目的就是将 Bezier 曲面的 曲面片用 满足离 散精度 要求的 平面 片替代 。 设 Bezier 曲面的矩形曲面片为 r(u , v)(a ≤ u ≤ b, c ≤v ≤d ), 4 个角点分别为 A =r(a , c), B =r( b, c), C = r(b , d ), D = r(a , d), 则 离 散 平 面 片 A′ B′ C′ D′ 可构造为
摘要 : 复杂曲面加工中 , 如何快速 、有效地筛选出特殊曲面点以进行刀具干涉判断是实现无干涉刀 具路径生成的关键 。 通过推导有理 Bezier 曲面的参数离散算法并结合 NURBS 曲面可转化为有理 Bezier 曲面的性质 , 实现了 N URBS 曲面基于参数的离散 。 该离散结果保留了离散曲面点与曲面参数域的 一一对应关系 , 通过切削点的参数信息可快速筛选出少量需进行干涉校验的离散曲面点 , 从而有效简化 了刀具干涉检测计算 。 实例分析表明 , 该算法能在保证曲面离散精度的前提下提高无干涉刀具路径规 划的效率 。 关键词 : 非均匀有理 B 样条(NU RBS); 数控加工 ; 离散曲面 ; 干涉避免 中图分类号 : TG659 文章编号 : 1004 —132X(2007)08 — 0945 —04 Discretizing the NURBS Surface in the Parameter Area and Apply It to Avoid the Collision in the NC Machining Yang Chang qi1 Jia Wei1 Liu H ai jiang 2 1. H udong Heavy M achi nery Co. L td. , Shanghai , 200129 2. T ong ji U niversi ty , Shanghai , 200092 Abstract : Fo r t he f ree - fo rm surface m achi ning , the key pro blem i s t o decide w hich point s w ill be quickly select ed t o calculat e the geomet ric relat ion to the cut ter. So , an algo rithm w as pro po sed t o discretize the NU RBS surf ace in the paramet er area. It s basis i s t he realizati on o f discretizing the rational Bezier surface and use of transf orming t he N URBS surf ace into t he rational Bezier surface. By t he alg orit hm , t he discrete point s are still cor responding to t he parameter. Usi ng t he resul t , the calculation of cut te r o rientat ion is ef fectively sim plified. A st udy case show s that the alg orit hm can meet the needs of di scretizati on preci sion and im pro ve t he calculati ve effi ciency o f t he too l path planning. Key words : non - unif orm ratio nal B - spline (N URBS); num erical cont ro l machining ; discretized surf ace ; col li sion - f ree
m- k , n- h k h 是以{ { m n /[ (m - k )(n - h)] } Δ 1Δ 2 P ij } i =0 , j =0
如果曲面片误差及边界误差均小于指定精度 ε , 则可以用平面四边形 A′ B′ C′ D′ 取代该曲面片 , 否则该曲面片需进一步分割 。 2. 2 Bezier 曲面的线性逼近特征 设 m ×n 次有理 Bezier 曲面为
0 引言
自由曲面加工中 , 避免刀具干涉曲面是数控 编程系统必须解决的关键问题 。 加工过程中为避 免刀具干涉曲面 , 常用的方法主要有 : ①不考虑干 涉 , 直接生成加工路径 , 再采用仿真软件检测刀具 是否干涉 , 划分干涉区域 , 对干涉区域重新进行刀 具路径规划 ; ②在路径规划过程中 , 计算无干涉的 刀具定位 , 最终直接生成无干涉的刀具轨迹 。 上 述两种方法都需要进行刀具干涉检测 , 因此干涉 检测的效率和精度直接决定曲面加工路径的生成 效率和刀具路径的有效性 。 刀具干涉检测的常用算法主要有两种 : ①离 散刀 具 成 点 集 , 计 算 离 散 点 与 曲 面 的 几 何 关 系
N U RBS 曲面的参数化离散及其在数控 加工干涉避免中的应用 — — — 杨长祺
贾 维 刘海江
N U RBS 曲面的参数化离散及其 在数控加工干涉避免中的应用
杨长祺1 贾 维1 刘海江2
1. 沪东重机股份有限公司 , 上海 , 200129 2. 同济大学 , 上海 , 200092
; ② 离散曲面成点集 , 计算离散点与刀具的
收稿日期 : 2006 — 02 — 27 基金项目 : 上海浦东 新区科 技发 展 基金 资助 项目 (PK B2004 46)
1
NU RBS 曲面向 Bezier 曲面的转化
非均匀有理 B 样条 (no n - unifo rm rational 945
[ 1 , 2]
几何关系[ 3 , 4] 。 由于 刀具形状规 则 , 故刀 具离散 计算简单 , 但离散点到曲面的距离 计算复杂 , 因 此 , 刀具离散算法的总体计算效率较低 ; 而采用曲 面离散法 , 虽然曲面离散的计算较为复杂 , 但离散 点到刀具的距离计算简单 , 因此 , 曲面离散法总体 计算效率较高 , 是刀具干涉检测的一种常用算法 。 自由曲面离散后 , 如何筛选出特定离散点与 刀具进行几何关系计算 , 就成为无干涉刀具路径 生成所直接面临的问题 。 常用的自由曲面离散算 法是三角剖分 , 曲面经离散后得到一系列的三角 片及其拓扑关系 , 这种拓扑关系一般不包含曲面 点的参数信息 , 干涉特征点的筛选困难 , 因此有必 要进一步研究如何实 现干涉特征点 的快速筛选 问题 。
, 在模具设计 、 反求工程中有着广泛的应
用 , 因此 , 以此为研 究对象具有较高的工程实际 意义 。 直接对 N URBS 曲面进行参数离散 , 存在离 散计算复杂且离散精度难以控制的缺陷 。 与之相 反 , Bezie r 曲面由于具有下面的两个典型性质 , 其 离散精度控制容易 , 且 N URBS 曲面可以转化成 Bezier 曲面( 文献[ 5] 给出了 NURBS 曲面向 Bezier 曲面转换的 方法), 因此 N URBS 曲面的参数 化离散可通过转换成 Bezier 曲面后进行 。 Bezier 曲面的两个典型性质[ 5] : 性质 1 Bezier 曲 面的 k × h 阶导 矢 曲面
Δ 1 P ij = Δ 1 Pi+ 1 , j - Pi j Δ 2 Pi j = Pi , j + 1 - P ij
i= 0 j =0
∑ ∑B
(u)B n j (v)R ij
(3)
此时 , 非有理 Bezier 曲面的点坐标均为齐次坐标 , 它与有理 Bezier 曲面的点坐标的转换关系为
r(u , v) =( X(u , v) Y(u , v) Z(u , v) , , ) w(u , v) w(u , v) w(u , v) (4)
性质 2(凸包性质) Bezier 曲面位于 B 网的 凸包内 。
有理 Bezie r 曲 面 转 化 为 高 一 维 的 非 有 理 Bezier 曲面后 , 空间向量与其对应的齐次坐标存 在以下定理 : 定理 1 设向 量 Ri 的 齐次 坐 标 为 (P i , w i) (i = 1 , 2), r 为不小于 R1 、R2 之模的实数 , 即