2020-2021学年长春市农安县高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年长春市农安县高一上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
1.设集合M={1,2,3,4}，N={1,3,5}，P=M∩N，则P的子集共有()
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
2.函数f(x)=sinωx+cos(ωx+π
6)的图象上相邻两条对称轴间的距离是2
3
π，则ω的值为()
A. 2
3B. 4
3
C. 3
2
D. 3
4
3.已知M={x|y=√1−log2x}，N={x|x2−2x−3<0}，则M∩N=()
A. (0,2)
B. (−1,2]
C. (0,2]
D. (−1,3)
4.下列有关命题的说法中错误的是()
A. “若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1
B. “x=1”是“x2−3x+2=0”的必要条件
C. 命题“若x2−3+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”
D. 对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
5.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是()
A. y=x12
B. y=2−x
C.
D. y=1
x
6.若x0是函数f(x)=()x−的零点，则x0属于区间()
A. (−1,0)
B. (0,1)
C. (1,2)
D. (2,3)
7.给出下列不等式：①a2+1≥2a；②≥2；③x2+≥1.其中正确的个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8.已知实数m、n，则“mn>0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的()
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
9.已知tan(α−π
4)=1
3
，则tanα的值为()
A. 1
2B. −1
2
C. 2
D. −2
10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时则=()
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分） 11. 下列选项正确的是( )
A. 若函数f(x)=x 3−x ，则函数f(x)在R 上是奇函数
B. 若函数f(x)=a +1
4x +1(x ∈R)是奇函数，则2a +1=0
C. 若函数f(x)=2x −1
2x +1，则∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，恒有(x 1−x 2)(f(x 1)−f(x 2))<0 D. 若函数f(x)=2x ，∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，恒有
f(x 1)+f(x 2)
2
>f(
x 1+x 22
)
12. 下列四组函数中表示同一函数的组数是( )
A. f(x)=|x|与g(x)=√x 44
B. f(x)=|x|与g(x)=√x 33
C. f(x)=(√x 3)3与g(x)=(√x)2
D. f(x)=√x 4与g(x)=√√x
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在半径为1的圆中，弦长为1的圆弧所对的扇形的面积为______．
14. 已知幂函数f (x )=(m 2−9m +19)x 2m−9，且图象不过原点，则m = ．
15. 定义在R 上的函数f(x)为奇函数，f (1)=1，又g(x)=f(x +2)也是奇函数，则f (2020)=______． 16. 设x >0，y >0且x +y =1，则1x +4
y 的最小值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. (1)设全集U =R ，集合A ={x|−1≤x <3}，B ={x|2x −4≥x −2}.求A ∪B ，∁U (A ∩B)； (2)化简求值：√61
4+√823+0.027 −2
3×(−1
3)−2．
18. 已知tan(3π+α)=3，试求 sin(α−3π)+cos(π−α)+sin(π
2
−α)−2cos(π2
+α)
−sin(−α)+cos(π+α)
的值．
19. 已知函数f(x)=|x +1|，g(x)=2|x|+a ． (1)当a =0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x ∈R ，使得2f(x)≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．
20. 如图，半径为1的圆O ，
∠AOB =∠BOC =∠COA =2π3
，点A 0，
B 0，
C 0分别是半径OA 、OB 、CO 上的动点，且OA 0=OB 0=OC 0，分
别过A0，B0，C0作半径OA、OB、CO的垂线，交圆O与A1，A2，B1，B2，C1，C2，过A2，B1分别作OA、OB的平行线A2M和B1M交于点M，过B2，C1分别作OB、OC的平行线B2N和C1N交于点N，过C2，A1分别作OC、OA的平行线C2P和A1P交于点P，由A1A2MB1B2NC1C2P围成图所示的平面区域(阴影部分)，记它的面积为y，设∠A2OA=θ，用y=f(θ)表示y关于θ的函数．]，求y=f(θ)的解析式；
(1)设θ∈(0,π
3
(2)在(1)的条件下，求y=f(θ)的最大值，并求出当函数取最大值是时tan2θ的值．
]上的最大值为√3．
21.函数f(x)=2sinxcosx−2√3cos2x+m在[0,π
3
(1)求常数m的值；
(2)当x∈R时，求使不等式f(x)≥1成立的x的取值集合．
22.(12分)已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)当时，判断的奇偶性，并证明；
参考答案及解析1.答案：B
解析：解：∵M={1,2,3,4}，N={1,3,5}，
∴P=M∩N={1,3}，
则P的子集共有22=4个．
故选B
由M与N，求出两集合的交集确定出P，找出P的子集个数即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C
解析：解：∵f(x)=sinωx+√3
2cosωx−1
2
sinωx=1
2
sinωx+√3
2
cosωx=sin(ωx+π
3
)，且T=4
3
π，
∴2π
ω=4
3
π，∴ω=3
2
，
故选C．
利用两角差的余弦函数展开，然后利用两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，根据题意求出周期，然后求出ω．
本题是基础题，考查三角函数的化简求值，三角函数的周期的求法，考查计算能力．
3.答案：C
解析：
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．
分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．
解：∵M={x|y=√1−log2x}={x|0<x≤2}，
N={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，
∴M∩N={x|0<x≤2}=(0,2]．
故选：C．
4.答案：B
解析：解：“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1，满足否命题的定义，所以A 正确；
x=1”推出“x2−3x+2=0”，反之不成立，所以x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件，所以B不正确；
命题“若x2−3+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，满足逆否命题的形式，所以C正确；
对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，满足命题的否定形式，所以D正确；
故选：B．
利用否命题的定义判断A；充要条件判断B；逆否命题的定义判断C；命题的否定判断D．
本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系的判断，充要条件的应用，是基础题．5.答案：A
解析：
本题考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性．
判断每个函数在(0,+∞)上的单调性即可．
解：y=x12在(0,+∞)上单调递增，
y=2−x,y=log1
2x和y=1
x
在(0,+∞)上都单调递减．
故选A．
6.答案：B
解析：∵f(−1)=2+1=3>0，f(0)=1>0，f(1)=−1=−<0，∴x0∈(0,1)．
7.答案：C
解析：试题分析：①a2+1≥2a正确；②当a>0，b>0时，≥2；
③。

所以正确的是①③，共两个。

考点：基本不等式。

点评：注意不等式适用的范围是，而基本不等式
适用的范围是 +。

8.答案：B
解析：解：当mn>0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，
例如：当m =n =1时，方程mx 2+ny 2=1的曲线不是椭圆而是圆； 或者是m ，n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆； 故前者不是后者的充分条件；
当方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆时，应有m ，n 都大于0，且两个量不相等，得到mn >0； 由上可得：“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 故选B ．
先根据mn >0看能否得出方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn >0，即可得到结论． 本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题．
9.答案：C
解析：解：tan(α−π
4)=tanα−1
1+tanα
 =1
3，解得tanα=2 故选：C ．
根据两角差的正切公式展开，直接解出tanα的值． 本题考查了正切函数的和与差公式，是基础题．
10.答案：D
解析：试题分析：依题意，得．
考点：函数的奇偶性．
11.答案：ABD
解析：
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数奇偶性和单调性．
A 根据奇函数定义判断；
B 根据奇函数定义计算判断；
C 根据单调函数定义判断；
D 作差与零比较判断． 解：对于A ，因为∀x ∈R ，f(−x)=(−x)3−(−x)=−(x 3−x)=−f(x)，所以A 对； 对于B ，因为f(x)=a +1
4x +1(x ∈R)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)， 即有，a +1
4−x +1=−(a +14x +1)⇒2a +1=0，所以B 对； 对于C ，因为f(x)=
2x −1
2x +1
=1−2
2 x +1，所以f(x)是增函数，所以C 错；
对于D ，函数f(x)=2x ，∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，。