备战近年高考数学大二轮复习专题三三角函数专题能力训练10三角变换与解三角形理(2021年整理)

专题能力训练10 三角变换与解三角形
一、能力突破训练
1。

(2018全国Ⅲ,理4)若sin α=,则cos 2α=（)
A。

B.
C.-D。

-
2。

已知=-,则sin α+cos α等于()
A.-
B.C。

D。

-
3。

在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c.若(a2+c2—b2)tan B=ac,则角B的值为(）
A。

B。

C. D.
4。

在△ABC中，∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于（）
A。

B.C。

D.
5.已知在△ABC中,内角A，B,C对边分别为a,b，c,C=120°，a=2b，则tan A= .
6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b,c,若cos A=，cos C=,a=1,则b= 。

7.(2018全国Ⅱ，理15)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0，则sin(α+β）
= .
8。

在△ABC中,a2+c2=b2+ac。

(1)求B的大小;
（2）求cos A+cos C的最大值。

9.在△ABC中，∠A=60°,c= a.
(1）求sin C的值;
(2）若a=7,求△ABC的面积.
10.设△ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b，c，a=b tan A,且B为钝角。

(1)证明:B-A=；
(2)求sin A+sin C的取值范围.
11。

设f（x）=sin x cos x-cos2.
(1）求f(x）的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a，b，c.若f=0，a=1，求△ABC面积的最大值。

二、思维提升训练
12.若0<α<，-〈β〈0，cos，cos，则cos等于（)
A。

B。

—C。

D.—
13。

在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b,c，且满足c sin A=a cos C.当sin A—cos取最大值时，角A的大小为()
A。

B.C。

D。

14.在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积
为.
15。

已知sin sin,α∈,则sin 4α的值为。

16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值
是.
17.在△ABC中，三个内角A,B，C所对的边分别为a，b,c，〈C<,且。

（1)判断△ABC的形状；
(2）若|｜=2,求的取值范围。

专题能力训练10三角变换与解三角形
一、能力突破训练
1.B解析 cos 2α=1—2sin2α=1-2
2。

D解析=—=2cos cos α+sin α=—，
∴sin α+cos α=-，故选D。

3.D解析由(a2+c2—b2）tan B=ac,得,即cos B=，则sin B=
∵0〈B<π,∴角B为故选D。

4。

C解析在△ABC中，由余弦定理，得AC2=BA2+BC2—2BA·BC cos∠ABC=()2+32—
23cos=5.解得AC=
由正弦定理，得sin∠BAC=
5解析由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180°—A—120°=60°—A,所以sin A=2sin（60°—A),即sin A=cos A—sin A,
所以2sin A=cos A，故tan A=
6解析因为cos A=,cos C=，且A，C为△ABC的内角,
所以sin A=,sin C=，sin B=sin［π—（A+C）]=sin (A+C）=sin A cos C+cos A sin C=
又因为，所以b=
7.- 解析∵(sin α+cos β)2+(cos α+sin β）2=1,
∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sin αcos β+2sin βcos α=1+1+2sin(α+β）=1.
∴sin(α+β）=-
8.解 (1)由余弦定理及题设得cos B=
又因为0<B<π,所以B=
(2）由（1)知A+C=
cos A+cos C=cos A+cos
=cos A-cos A+sin A
=cos A+sin A=cos
因为0〈A<,
所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1。

9.解（1）在△ABC中,因为∠A=60°，c=a，
所以由正弦定理得sin C=
（2)因为a=7，所以c=7=3.
由余弦定理a2=b2+c2—2bc cos A得72=b2+32-2b×3,解得b=8或b=—5(舍).
所以△ABC的面积S=bc sin A=8×3=6
10。

(1）证明由a=b tan A及正弦定理,得,
所以sin B=cos A，即sin B=sin
又B为钝角，因此+A，故B=+A,即B—A=
（2)解由（1）知，C=π—（A+B)=π--2A〉0，所以A,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2
因为0〈A<,所以0〈sin A<，
因此〈—2
由此可知sin A+sin C的取值范围是
11.解 (1)由题意知f（x）==sin 2x—
由-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得—+kπ≤x+kπ，k∈Z；
由+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x+kπ，k∈Z。

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z）;
单调递减区间是(k∈Z）.
(2）由f=sin A-=0，得sin A=，
由题意知A为锐角，所以cos A=
由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，
得1+bc=b2+c2≥2bc,
即bc≤2+，且当b=c时等号成立。

因此bc sin A
所以△ABC面积的最大值为
二、思维提升训练
12.C解析∵cos，0〈α〈，
∴sin
又cos，-<β〈0，
∴sin，
∴cos=cos=cos cos+sin sin
=
13。

A解析由正弦定理，得sin C sin A=sin A cos C.
因为0〈A<π，所以sin A〉0,从而sin C=cos C。

又cos C≠0,所以tan C=1,则C=，
所以B=-A.
于是sin A-cos sin A—cos(π—A)=sin A+cos A=2sin
因为0<A<,
所以〈A+,从而当A+，
即A=时，2sin取最大值2.故选A.
14.20或24解析在△CDB中,设CD=t，由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos,
即t2—8t+15=0,解得t=3或t=5。

当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=10×8×sin=20;
当t=5时，CA=12,△ABC的面积S=12×8×sin=24
故△ABC的面积为20或24
15.—解析因为sin
=sin=cos，
所以sin sin
=sin cos sin
=cos 2α=，所以cos 2α=
因为<α〈π,所以π<2α〈2π.
所以sin 2α=-=-
所以sin 4α=2sin 2αcos 2α=-=-
16.8解析 sin A=sin(B+C）=2sin B sin C⇒tan B+tan C=2tan B tan C，
因为tan A=-tan（B+C)=-,
所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C.因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,tan B tan C〉0，所以tan A+2tan B tan C≥2，当且仅当tan A=2tan B tan C时，等号成立,即tan A tan B tan C≥2，解得tan A tan B tan C≥8,即最小值为8。

17。

解（1）由及正弦定理，得sin B=sin 2C，∴B=2C或B+2C=π.
若B=2C，〈C〈,
〈B<π,B+C>π(舍去).
若B+2C=π，又A+B+C=π，
∴A=C，∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵｜|=2,
∴a2+c2+2ac cos B=4.
又由（1)知a=c，∴cos B=
而cos B=—cos 2C，<cos B〈1，
∴1〈a2<
=ac cos B=a2cos B,且cos B=,∴a2cos B=2—a2。