2019_2020学年高中数学课时达标训练(五)数列的概念与通项公式(含解析)新人教A版必修5.pdf

课时达标训练(五)　数列的概念与通项公式
[即时达标对点练]
题组1　数列的概念及分类
1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，，，，…
131321
33B ．sin
，sin ，sin ，sin ，…π132π133π134π13
C ．－1，－，－，－，…
12131
4D ．1,2,3,4，…，30
解析：选C 数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数
131321
33列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减
π132π133π134π
13数列；数列－1，－，－，－，...是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4， (30)
12131
4递增数列，但不是无穷数列．
2．已知下列数列：
(1)2 014，2 016，2 018，2 020，2 022；(2)1，，，…，，…；
12141
2
n －1(3)1，－，，…，，…；
2335（－1）n －1·n 2n －1(4)1，0，－1，…，sin ，…；
n π
2
(5)9，9，9，9，9，9.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
解析：分析可知：(1)是有穷递增数列；(2)是无穷递减数列；(3)是摆动数列，是无穷数列；(4)是摆动数列，是无穷数列；(5)是常数列，是有穷数列．
答案：(1)(5)　(2)(3)(4)　(1)　(2)　(5)　(3)(4)题组2　根据数列的前几项写出通项公式
3．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( )
A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)
B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)
C ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)
D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)
解析：选A 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)．
4．一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列不可以作为其通项公式的是( )A ．a n ＝n B ．a n ＝n 3－6n 2＋12n －6C ．a n ＝n 2－n ＋1
D ．a n ＝
121
2
6
n 2－6n ＋11
解析：选C 对于A ，若a n ＝n ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于B ，若a n ＝n 3－6n 2＋12n －6，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于C ，若a n ＝n 2－n ＋1，当n ＝3时，a 3＝4≠3，
1212不符合题意；对于D ，若a n ＝，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意．故选C.
6
n 2－6n ＋11
5．写出下列数列的一个通项公式：(1)0，3，8，15，24，…；(2)1，－3，5，－7，9，…；(3)1，2，3，4，…；
1223344
5(4)1，11，111，1 111，….
解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．
(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为
，
n n ＋1
故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋＝.
n
n ＋1n 2＋2n
n ＋1
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9
1919191
9999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝(10n －1)．
1
9
题组3　数列通项公式的应用6．已知数列的通项公式a n ＝
则a 2a 3等于( )
{
3n ＋1，n 为奇数，
2n －2，n 为偶数，
)
A ．70
B ．28
C ．20
D ．8解析：选C a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，
∴a 2a 3＝2×10＝20.
7．数列，3，，，…，则3 是该数列的( )315213A ．第5项 B ．第6项 C ．第9项 D ．第10项解析：选A a n ＝，由＝3，得n ＝5.6n －36n －338．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？解：(1)a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49，解得n ＝7或n ＝(舍去)，
7
3所以－49是该数列的第7项；由3n 2－28n ＝68，解得n ＝－2或n ＝
，均不合题意，所以68不是该数列的项．34
3
[能力提升综合练]
1．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( )A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
解析：选C 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13.
2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( )A. B ．5 C ．6 D.15log 23＋log 31325
解析：选B a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝×
lg 3lg 2lg 4lg 3×…×
＝＝log 232＝log 225＝5.lg 32lg 31lg 32
lg 2
3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝cos ，则该数列的首项a 1和第4项a 4分别为
n π
2
( )
A ．0,0
B ．0,1
C ．－1,0
D ．－1,1
解析：选B ∵a n ＝cos ，
n π
2
∴a 1＝cos
＝0，a 4＝cos 2π＝1.π
2
4．下列命题：①已知数列{a n }，a n ＝(n ∈N *)，那么 是这个数列的第10项，
1n （n ＋2）1
120
且最大项为第一项；
②数列，，2，，…的一个通项公式是a n ＝；252113n －1③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29.其中正确命题的个数为( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个解析：选A 对于①，令a n ＝
＝⇒n ＝10，易知最大项为第一项．①正确；
1n （n ＋2）1
120
对于②，数列，，2，，…变为，，，，…⇒，，25211258113×1－13×2－1，，…⇒a n ＝，②正确；
3×3－13×4－13n －1对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11，故k ＝2.即a n ＝2n －5.所以a 17＝2×17－5＝29.故③正确．
5．已知数列{a n }的前四项为11，102，1 003，10 004，…，则它的一个通项公式为________．
解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n ＋n .
答案：a n ＝10n ＋n
6．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．
解析：令a n ＝n 2－8n ＋12<0，解得2<n <6，又因为n ∈N *，
所以n ＝3，4，5，一共有3项．答案：3
7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝q n ，且a 4－a 2＝72.(1)求实数q 的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解：(1)由题意知q 4－q 2＝72⇒q 2＝9或q 2＝－8(舍去)，∴q ＝±3.
(2)当q ＝3时，a n ＝3n ，显然－81不是此数列中的项；当q ＝－3时，a n ＝(－3)n ，令(－3)n ＝－81＝－34，也无解．
∴－81不是此数列中的项．
8．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 018；
(3)判断2 018是否为数列{a n }中的项？解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，
则有Error!
解得k＝4，b＝－2.
∴a n＝4n－2.
(2)a2 018＝4×2 018－2＝8 070.
(3)令2 018＝4n－2，
解得n＝505∈N*，
∴2 018是数列{a n}的第505项．。