(江苏版 第03期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题04 三角函数与三角形 理

江苏版（第03期）-2014届高三名校数学（理）试题分省分项汇编 专题04 三
角函数与三角形
一．基础题组
1. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知4cos(
)6
5
π
α-=
，则sin()3
π
α+= ．
2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】求值：00
2cos10sin 20cos 20
-= ．
3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知向量
(sin ,1),(1,cos ),2
2
a b π
π
θθθ==-
<<
．
(1) 若a b ⊥，求θ； (2) 求a b +的最大值．
【答案】(1)4
π
θ=
【解析】
试题分析：(1)由向量垂直的充要条件:11221212(,y ),(,y ),0y y 0a x b x a b a b x x ==⊥⇔⋅=⇔+=，这样
4. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知ABC ∆1，且
sin sin A B C +=
（1）求边AB 的长； （2）若ABC ∆的面积为
1
sin 6
C ，求角C .
试题解析：解：（1）由题意及正弦定理得：1AB BC AC ++=，BC AC +=，
两式相减得1AB =.…………（6分）
5. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角0
45CAD ∠=． (1)求BC 的长度；
(2)在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，
DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？
试题解析：解：(1)如图作AN CD ⊥ 于N ．
91569AB CD AB CD DN EC ∴，＝，＝，＝，＝ ．
设AN x DAN θ∠＝，＝ ，
4545CAD CAN θ∠︒∴∠︒＝，＝－ ． 在Rt ANC ∆ 和Rt AND ∆ 中，
069
tan ,tan(45-)=x x θ ………………………4分
()91tan 451tan tan x θ
θθ-∴︒+＝－＝
化简整理得2
15540x x －
－＝ ， 解得12)183(x x ＝
，＝－舍去 ． BC 的长度是18 m ． ………………………7分
6. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】在ABC ∆中，2BC =，23
A π
=，则AB AC ⋅的最小值为 .
7. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，
c ，已知2c =，3
C π
=
.
（1）若ABC ∆a ，b ；
（2）若sin sin()2sin2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.
8. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】已知ααcos 21sin +=，且)2
,0(πα∈，则
)
4
sin(2cos π
αα-的值为__ ▲____．
【答案】2
14- 【解析】
9. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ， AC AB ∙＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4， (1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；
(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4
＋θ)＋2cos 2
θ－3的最值．
当2+
6
2
π
π
θ=
，即=
6
πθ时，max f()3θ=.
考点：1.余弦定理;2.三角函数的图象;3.基本不等式
10. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】若动直线)(R a a x ∈=与函数
())()cos()66
f x x
g x x ππ
=+=+与的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为 ．
11. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】设向量
),cos ,(sin x x =),sin 3,(sin x x =x ∈R ，函数)2()(x f +⋅=.
（1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合．
试题解析：(1) )2()(x f +⋅=222
sin cos 2(sin cos )x x x x x =+++
1
11cos 2222(sin 2cos 2)2
x x x x =+-+=+-⋅ 22(sin 2cos
cos 2sin )22sin(2)666
x x x π
ππ
=+-=+-. …………5′
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得6
3
k x k π
π
ππ-
≤≤+
()k ∈Z ，
∴()f x 的单调递增区间为[,]63
k k π
π
ππ-
+()k ∈Z . …………8′
12. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆的面积
，则BC 边长为 ．
13. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ
=->的最大值与最小正周
期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ． 【答案】13
[,]44
- 【解析】 试题分析：
由题意可知，函数()2sin()4
f x x π
π=-
，令222
4
2
k x k π
π
π
πππ-
+≤-
≤
+，解得
1322,44k x k k Z -+≤≤+∈，又[1
,1]x ∈-，所以13
44
x -≤≤，所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44
-.
考点：三角函数的图象与性质.
14. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ． (1)若⊥a b ，求
sin cos sin cos θθ
θθ
-+的值；
(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4
θπ
+的值．
15. 【苏州市2014届高三调研测试】 若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π
6
x =对称，则θ = ▲ ． 【答案】
3
π
16. 【苏州市2014届高三调研测试】已知π3sin()45x +
=，π4
sin()45
x -=，则tan x = ▲ ．
17. 【苏州市2014届高三调研测试】 在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1
c o s 2a C c b +=．
（1）求角A 的大小；
（2）若a =4b =，求边c 的大小．
试题解析：（1）用正弦定理，由1
cos ,2a C c b +=
得1
sin cos sin sin .2A C C B +=………2分
sin sin()sin cos cos sin ,B A C A C A C =+=+
1
sin cos sin .2C A C ∴=………4分 1
sin 0,cos .2C A ≠∴=………6分
0,.3
A A π
π<<∴=
………8分
18. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】已知)0,2(π
α-∈，5
3cos =α，则=+)4tan(π
α ．
19．【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=c = ．
20.
二．能力题组
1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】在△ABC ，已知
.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++
(1)求角A 值；
(2)求C B cos sin 3-的最大值.
2. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==．
（1）若67πβα=
-，求a b ⋅的值； （2）若4,58a b πα⋅==，且⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．
3. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 .3tan )(222bc A a c b =-+
（1）求角A ；
（2）若2a =，求ABC ∆面积S 的最大值.
【答案】（1）60A ︒=；（2）3.
【解析】
试题分析：（1）由式子.3tan )(222bc A a c b =-+的结构特征，很自然联想到余弦定理，将其化为关于
角A 的三角函数，由其函数值则可求出角A ；（2）由第（1）题的结果，可知1sin 2S bc A =
=，再由条件可得，224b c bc +=+，利用基本不等式可求出bc 的最大值，进一步可得三角形面积的最大值.
三．拔高题组
1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD .
求BC 的长度；
在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？
【答案】⑴18m ;⑵当BP 为27)m 时，αβ+取得最小值．
【解析】
+取得最小值．……………………………14分答：当BP为27)m时，αβ
考点：1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用。