并集、交集 课件

【互动探究】题1中，若集合B={4,5,6}，其他条件不变，则 A∩B等于什么？ 【解析】由于两个集合无公共元素，因此A∩B=∅.
【拓展提升】求两个集合交集的方法及注意事项 (1)方法：当两个集合元素个数有限时，可直接求交集；当两 个集合为无限集时，可借助于数轴分析求解. (2)注意事项：两个集合无公共元素时，不能说无交集，而是 交集为空集.
2.∵A∩B＝B，∴B⊆A.
∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.
当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0,满足B⊆A.
当B≠∅时，此时a≠0，则B＝{ }1，
a
∴ ∈1 A，即有
a
＝ 1-2，得a＝ .
a
1 2
综上，得a＝0或a＝ 1.
2
【拓展提升】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注 点 (1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到 A∪B=B，A∩B=A等这类问题，解答时常借助于交集、并集 的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如 A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B. (2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑 A=∅的情况，否则易漏解.
提示：(1)错误.虽然两集合无公共元素，但两个集合的交集存 在且为空集，故不正确.(2)错误.当两个集合有公共元素时， 在并集中只能算作一个，故不正确.(3)错误.若A∩B=C∩B，A 与C也可能不相等，故不正确. 答案：(1)×(2)×(3)×
【知识点拨】 1.对并集概念的理解(关键词“或”) (1)并集概念中的“或”字与生活中的“或”字含义不同.生活 中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或”字 可以是兼有的，但不是必须兼有的.x∈A，或 x∈B包含三种 情况： ①x∈A，但x∉B; ②x∈B，但x∉A; ③x∈A且x∈B.
【典型例题】
1.(2013· 西宁高一检测)已知集合A={x|-1≤x＜3},
B={x|2＜x≤5}，则A∪B＝( )
A.{x|2＜x＜3}
B.{x|-1≤x≤5}
C.{x|-1＜x＜5}
D.{x|-1＜x≤5}
2.(2013·重庆高一检测)设集合M={1,2}，则满足条件 M∪N={1,2,3,4}的集合N的个数是( ) A.1 B.3 C.2 D.4 3.(2013·杭州高一检测)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若 A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4
类型 三 集合交集、并集运算的性质及其简单综合 【典型例题】 1.(2013·临沂高一检测)已知集合A={x|x2-px-2=0}， B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，则 p+q+r=______________. 2.设集合A＝{-2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求 a的值．
【解题探究】1.两个集合求并集的实质是什么？ 2.题2中在已知M∪N及集合M的条件下，如何确定集合N？ 3.当并集中的元素个数与构成并集的两个集合的元素个数和 相等时，如何确定其中的参数？
探究提示： 1.两个集合求并集的实质是把两个集合中的所有元素合在一 起，组成一个新的集合. 2.根据集合M∪N及集合M的关系，可以确定集合N一定含有 的元素，集合的个数则由可能含有的元素确定. 3.此类问题，一般是去掉已知元素，把参数与并集中的元素 对应相等，构成方程(组)求解.
2.如图，不妨设参加计算的人数为集合A，参加测量的为集合 B，参加绘图的为集合C.设3项工作都参加的人数为x，则各个 集合之间的关系得到清晰表达. 测绘队总人数为(10-x)+(8-x)+(6-x)+4+6+8+x=42-2x， 因为0≤x≤6，所以30≤42-2x≤42， 即测绘队人数最少为30人，此时x=6. 答：这个测绘队至少有30人.
【解题探究】1.-2是不是方程x2-px-2=0的根？怎样确定集 合B？ 2.条件中的A∩B＝B应如何转化？ 探究提示： 1.-2是方程x2-px-2=0的一个根，由此来确定集合A，进而确 定集合B. 2.条件A∩B＝B可通过交集的性质A∩B=B⇔B⊆A转化，进而 求解.
【解析】1.∵A∩B={-2}，∴-2∈A且-2∈B， 将x=-2代入x2-px-2=0， 得p=-1，∴A={1，-2}， ∵A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，∴B={-2，5}， ∴q=-［(-2)+5］=-3，r=(-2)×5=-10， ∴p+q+r=-14. 答案：-14
思考：当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？ 提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合 的交集仍存在，即此时A∩B=∅.
三、并集与交集的性质
并集 A∪A=A A∪∅=_A_
交集 A∩A=A A∩∅=_∅_
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合M={直线}与集合N={圆}无交集.( ) (2)两个集合的并集中元素就是将两个集合元素合在一 起.( ) (3)若A∩B=C∩B，则A=C.( )
【拓展提升】解交集、并集的实际应用问题的方法技巧 在解决有关集合交集、并集的实际应用问题时，常借助Venn 图来求解，一般步骤如下： (1)利用Venn图将集合间的关系直观地表示出来，即根据 Venn图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言. (2)通过解方程和限制条件的运用解决问题.
【易错误区】集合交、并运算中的元素不清致误 【典例】已知集合M={y|y=x2-4x+3，x∈Z}，N={y|y=-x2-2x， x∈Z}，则M∩N=( ) A.∅ B.{0} C.{-1,0,1} D.{0,1} 【解析】选B.∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，①x∈Z， ∴M={-1,0,3,8,15,…}； ∵y=-x2-2x=-(x+1)2+1，②x∈Z， ∴N={1,0,-3,-8,-15,…}.∴M∩N={0}，故选B.
A∩B=( )
A.{1,2}
B.{0,1}
C.{0,3}
D.{3}
2.(2013·潍坊高一检测)已知M＝{x｜y＝x2-1}，N＝{y|y＝
x2-1}，那么M∩N=( )
A.{y|y＝－1或0}
B.{x|x＝0或1}
C.{(0,－1),(1,0)}
D.{y|y≥-1}
【解题探究】1.两个集合交集中的元素是由两个集合中什么
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)用Venn图如下所示： 因此A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.
2.对交集概念的理解(关键词“且”) (1)定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素， 不能是一部分公共元素. (2)A∩B={x|x∈A，且x∈B}中的“且”是指“同时”，即集 合A与集合B的公共元素都属于A∩B. (3)用Venn图表示交集如下：
【误区警示】
【防范措施】 认清集合的含义 在进行集合交集、并集运算时，首先应弄清集合的属性，即 由集合元素来确定集合是数集、点集还是其他集合,如本例中 M，N均为相应二次函数的值构成的集合.
3.关于交集、并集运算的常用的性质 (1)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A. (2)A⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A, B⊆(A∪B)，(A∩B)⊆B. (3)若A∪B=B，则A⊆B；反之，若A⊆B，则A∪B=B. (4)若A∩B=B，则B⊆A；反之，若B⊆A，则A∩B=B.
类型 一 集合并集的运算
样的元素构成的？
2.当两个集合元素无限时求其交集需借助的工具是什么？
探究提示： 1.两集合交集中的元素是两个集合的公共元素(包括无公共元 素，即空集的情形). 2.当两个集合元素无限时，可借助数轴分析求解. 【解析】1.选C.观察两集合元素可知，公共元素是0,3，从而 A∩B={0,3}. 2.选D.M={ x|y＝x2－1}=R，N＝{y|y＝x2-1} ={y|y≥-1}，故M∩N={y|y≥-1}.
交集、并集的实际应用 【典型例题】 1.某中学有一个数学、物理奥林匹克竞赛班(由所有参加数学 奥林匹克竞赛和参加物理奥林匹克竞赛的同学组成)共有45人. 已知该班中有32人参加了数学奥林匹克竞赛，有28人参加了 物理奥林匹克竞赛，则该班同时参加数学和物理奥林匹克竞 赛的有________人.
2.为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测 绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图.测 绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参 加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加 了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这 个测绘队至少有多少人？
【解析】1.如图：
设集合A=｛x|x是参加数学奥林匹克竞赛的同学｝， 集合B=｛x|x是参加物理奥林匹克竞赛的同学｝， 则A∪B=｛x|x是全班同学｝，
A∩B=｛x|x是既参加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克 竞赛的同学｝， 由题意知集合A中有32个元素，集合B中有28个元素，集合 A∪B中有45个元素，所以A∩B中有32+28-45=15个元素. 故既参加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克竞赛的同学 有15人. 答案：15
【解析】1.选B.结合数轴分析可知，A∪B＝{x|-1≤x≤5}. 2.选D.∵M={1,2}，M∪N={1,2,3,4}， ∴N={3,4}或{1,3，4}或{2，3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4 个. 3.选D.∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}， ∴a=4，a2=16或a=16，a2=4，解得a=4.
并集、交集
一、并集
属于集合B A∪B
A并B
属于集合A或
﹛x|x∈A,或x∈B﹜
思考：集合A∪B中的元素个数就是由集合A和B的所有元素的 个数的和吗？ 提示：不一定.因为集合元素满足互异性，所以若集合A和B有 公共元素，则只能出现一次.
二、交集
于集合B A∩B
属于集合A且属 A交B
﹛x|x∈A,且x∈B﹜
【类题试解】已知A={-3，a2，a+1}，B={a-3，2a-1，a2+1}， 若A∩B={-3}，则a的值为( ) A.0 B.-1 C.1 D.0或-1 【解析】选B.∵A∩B={-3},∴-3∈B,易知a2+1≠-3. ①若a-3=-3，则a=0，此时A={-3，0，1}，B={-3，-1， 1}， 则A∩B={-3，1}≠{-3}，与已知矛盾. ②若2a-1=-3，则a=-1， 此时A={-3，1，0}，B={-4，-3，2}， 则A∩B={-3}满足要求，综上可知a=-1.
【拓展提升】求两个集合并集的两个方法 (1)若两个集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集. (2)若两个集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集. 但应注意端点是否能取得.
类型 二 集合交集的运算
【典型例题】
1.(2013·安阳高一检测)若A={0,1,2,3},B={0,3,6,9},则