8年级下册数学北师大版第5单元复习课件
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将复工后生产的防护服14 500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
解：设还需要生产y天才能完成任务．
800
＝5(套)，
8×20
即每人每小时生产5套防护服．
由题意得10×650＋20×5×10y≥14 500，
解得y≥8.
答：至少还需要生产8天才能完成任务．
随堂练习
1、如果分式
2 −1
通分时，先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因
式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
例1、若分式
1
2 −2+
不论x取任何实数时总有意义，求m的取值范围.
解：因为 x2-2x+m=(x-1)2+(m-1)，
根据题意可知 (x-1)2+(m-1) ≠0，
由于 (x-1)2≥0，
所以 m-1＞0，
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐
高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短3小时，求高铁的平均速度．
解：(1)根据题意，得400×1.3＝520(千米)．
故普通列车的行驶路程是520千米.
8、从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约
去，叫做分式的约分．
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式
6.分式的通分：
分式的通分的定义
根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最
简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变
形叫分式的通分.
最简公分母的定义
520 400
−
=3
2.5
解得x＝120.
经检验，x＝120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
答：高铁的平均速度是300千米/时．
课堂小结
实
际
问
题
实际
问题
的解
列式
列方程
分式
类比分
数性质
分式方程
分式的基本性质
去分母
分式方程的解
检验
类比分
数计算
整式方程
整式方程的解
−
(+2)2
+2
=
−2
+2
−
+2
3
5
当 x= -4，y= -3时，原式= − .
=
−2
+2
四、分式方程
1.分式方程的定义：
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法：
(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
(2) 解这个整式方程；
(3) 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解，否则舍去.
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审：审清题意；
(2)找：找出题中的相等关系；
(3)设：设未知数；
(4)列：列出方程；
(5)解：解方程；
(6)验：验根（包括两方面：是否是分式方程 的根；是否符合题意）；
(7)答：写出答案，并作答.
例5、解方程
作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现
在每天能生产防护服650套．
(1)求原来生产防护服的工人有多少人．
解：设原来生产防护服的工人有x人．
由题意得
800
8
=
650
，
10(−7)
解得x＝20.
经检验，x＝20是分式方程的解，且符合题意．
答：原来生产防护服的工人有20人．
+1
1
的值为0，那么x的值为_______.
解：由题意，得x2-1=0，解得 x=±1.
当x=-1时， x+1=0；当x=1时，x+1 ≠0.
2、如果分式
−2
的值为零，则a的值为________.
2
+2
3、若解分式方程 ＝2＋ 时产生增根，则m的值为_________.
3
−3
−3
解： 最小公分母是：x－3，令x－3＝0，得x＝3，
即 m ＞1
例2、如果把分式
式的值（B
+
中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分
）
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1
3
B.不变
1
6
D.缩小为原来的
二、分式的运算
1.分式的乘除法则：
× =
2.分式的乘方法则：
( ) =
÷ = × =
第5章 分式与分式方程
章 末 复 习
学习目标
1.通过梳理全章知识结构，理解分式的相关概念和分式的
基本性质，掌握四则运算；
2.会解分式方程并能利用分式方程解决一些简单的实际问
题．
知识回顾
一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
为分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
3.分式的加减法则：
±
(1)同分母分式的加减法则： ± =
±
(2)异分母分式的加减法则： ± =
±
=
−2
+2
例3、有一道题：“先化简，再求值: (
+
4
)
2 −4
÷
1
2 −4
， 其中 =
分式运算
2.分式有意义的条件：
对于分式
B≠0
： 当_______时，分式有意义；
当_______时，分式无意义.
B=0
3.分式值为零的条件：
A
=0且
B
≠0
当______________时，分式 的值为零.
4.分式的基本性质：
∙
=
∙
÷
=
÷
( ≠ 0)
5.分式的约分：
−2
16
−1= 2
+2
−4
解：最简公分母为 (x+2)(x﹣2)
去分母，得 (x﹣2)2﹣(x+2)(x﹣2)=16
整理，得 ﹣4x+8=16，
解 得 x=﹣2.
经检验，x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
例6、新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生
产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工
−2 2
=
=− 2
原式=
2
1− 2+1+ 2
−4
3
6、解分式方程：
=2−
+1Βιβλιοθήκη +1解：去分母，得 x﹣4=2x+2﹣3，
解得 x=﹣3.
经检验，x=﹣3是分式方程的解．
7、有一项工程，乙队单独完成所需天数是甲队所需天数的2倍；该工程若
由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙合作16天可以完成. 甲单独完成这
所以结果与x的符号无关.
2 −4 2
2 +4+4 2
例4、已知x2+y2+8x+6y+25=0，求
−
的值.
+2
解：∵ x2+y2+8x+6y+25=0，
∴ (x+4)2+(y+3)2=0，
∴ x= -4，y= -3.
2 −4 2
2 +4+4 2
=
−
+2
(+2)(−2)
当x＝3时，m＝3.
4．设a，b，c均为正数，若
小关系是 (A
+
<
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
∵a，b，c均为正数， 根据+< +
+
则有
化简得
，则a，b，c三个数的大
)
A．c＜a＜b
解：
<
+ +
+1>
++
>
+
+1>
++
∴c＜a＜b. 故选A.
− 3”.小玲做题时把 = − 3错抄成 = 3 ，但她的计算结果是正确的，
请你解释这是怎么回事?
解:
−2
4
1
( − 2)2 +4
2
+ 2
÷ 2
=
∙
−4
+2 −4
−4
2 − 4
2 − 4 + 4 + 4
2
2
=
∙
−
4
=
+4
2 − 4
∵ ( 3)2 = (− 3)2
>
+
+ 1，
++
，
<
D．c＜b＜a
+
，
则
+
>
+
>
+
，
5、已知x=1- 2，y= 1+ 2，求
1
+
2
−
∙
解：原式=
( + )( − )
2
+
1
−
2
÷
2
的值.
2 −2+ 2
−
=
+
把x=1- 2，y= 1+ 2代入 ，得
1 − 2 − (1 + 2)
例6、新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生
产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工
作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现
在每天能生产防护服650套．
(2)复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定
普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐
高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短3小时，求高铁的平均速度．
(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时.
根据题意，得
项工程需多少天？
解：设甲单独完成这项工程需x天，
22 16
依题意得：
+
=1
2
解 得： x=3
0
经检验，x＝30是原方程的解，
答：甲单独完成这项工程需30天．
8、从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米
，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解：设还需要生产y天才能完成任务．
800
＝5(套)，
8×20
即每人每小时生产5套防护服．
由题意得10×650＋20×5×10y≥14 500，
解得y≥8.
答：至少还需要生产8天才能完成任务．
随堂练习
1、如果分式
2 −1
通分时，先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因
式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
例1、若分式
1
2 −2+
不论x取任何实数时总有意义，求m的取值范围.
解：因为 x2-2x+m=(x-1)2+(m-1)，
根据题意可知 (x-1)2+(m-1) ≠0，
由于 (x-1)2≥0，
所以 m-1＞0，
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐
高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短3小时，求高铁的平均速度．
解：(1)根据题意，得400×1.3＝520(千米)．
故普通列车的行驶路程是520千米.
8、从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约
去，叫做分式的约分．
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式
6.分式的通分：
分式的通分的定义
根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最
简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变
形叫分式的通分.
最简公分母的定义
520 400
−
=3
2.5
解得x＝120.
经检验，x＝120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
答：高铁的平均速度是300千米/时．
课堂小结
实
际
问
题
实际
问题
的解
列式
列方程
分式
类比分
数性质
分式方程
分式的基本性质
去分母
分式方程的解
检验
类比分
数计算
整式方程
整式方程的解
−
(+2)2
+2
=
−2
+2
−
+2
3
5
当 x= -4，y= -3时，原式= − .
=
−2
+2
四、分式方程
1.分式方程的定义：
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法：
(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
(2) 解这个整式方程；
(3) 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解，否则舍去.
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审：审清题意；
(2)找：找出题中的相等关系；
(3)设：设未知数；
(4)列：列出方程；
(5)解：解方程；
(6)验：验根（包括两方面：是否是分式方程 的根；是否符合题意）；
(7)答：写出答案，并作答.
例5、解方程
作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现
在每天能生产防护服650套．
(1)求原来生产防护服的工人有多少人．
解：设原来生产防护服的工人有x人．
由题意得
800
8
=
650
，
10(−7)
解得x＝20.
经检验，x＝20是分式方程的解，且符合题意．
答：原来生产防护服的工人有20人．
+1
1
的值为0，那么x的值为_______.
解：由题意，得x2-1=0，解得 x=±1.
当x=-1时， x+1=0；当x=1时，x+1 ≠0.
2、如果分式
−2
的值为零，则a的值为________.
2
+2
3、若解分式方程 ＝2＋ 时产生增根，则m的值为_________.
3
−3
−3
解： 最小公分母是：x－3，令x－3＝0，得x＝3，
即 m ＞1
例2、如果把分式
式的值（B
+
中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分
）
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1
3
B.不变
1
6
D.缩小为原来的
二、分式的运算
1.分式的乘除法则：
× =
2.分式的乘方法则：
( ) =
÷ = × =
第5章 分式与分式方程
章 末 复 习
学习目标
1.通过梳理全章知识结构，理解分式的相关概念和分式的
基本性质，掌握四则运算；
2.会解分式方程并能利用分式方程解决一些简单的实际问
题．
知识回顾
一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
为分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
3.分式的加减法则：
±
(1)同分母分式的加减法则： ± =
±
(2)异分母分式的加减法则： ± =
±
=
−2
+2
例3、有一道题：“先化简，再求值: (
+
4
)
2 −4
÷
1
2 −4
， 其中 =
分式运算
2.分式有意义的条件：
对于分式
B≠0
： 当_______时，分式有意义；
当_______时，分式无意义.
B=0
3.分式值为零的条件：
A
=0且
B
≠0
当______________时，分式 的值为零.
4.分式的基本性质：
∙
=
∙
÷
=
÷
( ≠ 0)
5.分式的约分：
−2
16
−1= 2
+2
−4
解：最简公分母为 (x+2)(x﹣2)
去分母，得 (x﹣2)2﹣(x+2)(x﹣2)=16
整理，得 ﹣4x+8=16，
解 得 x=﹣2.
经检验，x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
例6、新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生
产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工
−2 2
=
=− 2
原式=
2
1− 2+1+ 2
−4
3
6、解分式方程：
=2−
+1Βιβλιοθήκη +1解：去分母，得 x﹣4=2x+2﹣3，
解得 x=﹣3.
经检验，x=﹣3是分式方程的解．
7、有一项工程，乙队单独完成所需天数是甲队所需天数的2倍；该工程若
由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙合作16天可以完成. 甲单独完成这
所以结果与x的符号无关.
2 −4 2
2 +4+4 2
例4、已知x2+y2+8x+6y+25=0，求
−
的值.
+2
解：∵ x2+y2+8x+6y+25=0，
∴ (x+4)2+(y+3)2=0，
∴ x= -4，y= -3.
2 −4 2
2 +4+4 2
=
−
+2
(+2)(−2)
当x＝3时，m＝3.
4．设a，b，c均为正数，若
小关系是 (A
+
<
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
∵a，b，c均为正数， 根据+< +
+
则有
化简得
，则a，b，c三个数的大
)
A．c＜a＜b
解：
<
+ +
+1>
++
>
+
+1>
++
∴c＜a＜b. 故选A.
− 3”.小玲做题时把 = − 3错抄成 = 3 ，但她的计算结果是正确的，
请你解释这是怎么回事?
解:
−2
4
1
( − 2)2 +4
2
+ 2
÷ 2
=
∙
−4
+2 −4
−4
2 − 4
2 − 4 + 4 + 4
2
2
=
∙
−
4
=
+4
2 − 4
∵ ( 3)2 = (− 3)2
>
+
+ 1，
++
，
<
D．c＜b＜a
+
，
则
+
>
+
>
+
，
5、已知x=1- 2，y= 1+ 2，求
1
+
2
−
∙
解：原式=
( + )( − )
2
+
1
−
2
÷
2
的值.
2 −2+ 2
−
=
+
把x=1- 2，y= 1+ 2代入 ，得
1 − 2 − (1 + 2)
例6、新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生
产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工
作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现
在每天能生产防护服650套．
(2)复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定
普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐
高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短3小时，求高铁的平均速度．
(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时.
根据题意，得
项工程需多少天？
解：设甲单独完成这项工程需x天，
22 16
依题意得：
+
=1
2
解 得： x=3
0
经检验，x＝30是原方程的解，
答：甲单独完成这项工程需30天．
8、从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米
，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；