决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊)专题10立体几何(第02期)(1)(解析版)

第十章 立体几何
一．基础题组
1.(吉林省实验中学2016届高三毕业班适应性测试、文、3）已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题：
①若,,//,////l m l m ααββαβ⊂⊂，则；
②若,//,//l l m l m αβαβ⊂⋂=，则；
③若,//l l αββα⊥⊥，则，其中正确命题的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C
考点：线面关系.
2.（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高三联、文、
7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ． 6
B ． 8
C ． 10
D ． 12
【答案】C
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB ⊥面ABC ，VE ⊥AB ，CD ⊥AB ，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积1111543103232
V AB CD VE =
⨯∙∙=⨯⨯⨯⨯=，故选：C
考点：由三视图求面积、体积．
3.（广东省广州六中等六校2016届高三第一次联考、文、8）设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）
①若α⊥l ，则l 与α相交
②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l
③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n
④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||n A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C
【解析】
考点：空间中直线与平面之间的位置关系.
4.（广东省广州六中等六校2016届高三第一次联考、文、10）一个空间几何体的三视图如下图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1,2的矩形，则该几何体的侧面积为（ ）
A ．43+
B ．63+
C ．432+
D ．632+
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知有2PC PD CD ===，PM ⊥平面ABCD ，PM =，PN AB ⊥，则
2PN ==，∴1112221224222
S =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=.
考点：三视图、锥体的侧面积.
5.(吉林省实验中学2016届高三毕业班适应性测试、文、5）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为 （ ）
【答案】C
【解析】
考点：简单空间图形的三视图.
6.(陕西省镇安中学2016届高三月考、文、11）如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )
A．7π cm2B．8π cm2 C．9π cm2D．11π cm2
【答案】C
【解析】
考点：三视图.
7.（海南省文昌中学2015届高三模拟考试、文、8）已知一个空间几何体的三视图如右图所
示，根据图中
标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）
A．4 cm
B．5 cm3
C．6 cm3
D．7 cm3
【答案】A
【解析】
试题分析：几何体为一个四棱锥：高为2，底面为直角梯形，上底为2，下底为4，高为2，因此体积为11222+4)432
⨯⨯⨯⨯=（，选A. 考点：三视图
【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积. 关键是画出直观图，需要学生的空间想象能力和运算求解能力. 会根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则确定组合体中的各个量.
8.(陕西省镇安中学2016届高三月考、文、9）关于直线m l ,及平面βα,，下列说法中正确的是 ( )
A ．若l ∥α,l m 则,=βα ∥m
B.若l ∥α, m ∥α ,则l ∥m C ．若l l ,α⊥∥β,则βα⊥ D ．若l ∥α,l ∥m ，则α⊥m
【答案】C
【解析】
考点：空间中线面位置关系．
【名师点睛】本题考查了空间中线面位置关系：平行与垂直的判断，考查了学生的推理能力与空间想象能力，属于基础题．
9.（石家庄市2016届高三复习教学质检、文、10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A ．23
B ．1
C ．43
D ．53
【答案】C .
【解析】
试题分析：由题意知，该几何体为一个长方体截去了两个三棱锥所得的图形，所以其体积为
1111(1)323V =⨯=，2111(1323
V =⨯⨯=，12V ==，所以1142333
V =--=，故应选C . 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积；
10.（武汉市部分学校2015-2016 学年新高三调研、文、4）一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（．．．．． ）．
①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.
中的
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【答案】B
考点：1.空间几何体的几何特征；2.空间几何体的三视图.
11. （长春市普通高中2016届高三质监、文、19）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =.
(1)过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置;
(2)在（1）条件下，求四棱锥11P BCC B -与三棱柱111ABC A B C -的体积比.
【答案】（1）点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处；（2）体积比为
23
. 【解析】
试题分析：本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了
体积运算等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.第一问，在直角三角形ABC 中计算出BC ，在等边三角形PBC 中计算出PC 和PB ，最后在三角形PAC 中，计算PA ，从而得到点P 的位置；第二问，利用锥体体积公式分别计算体积，再计算比值.
试题解析：(1)
由题意PC PB ==，在三棱柱中，由1AA ⊥平面ABC 且2AB AC ==可得，2PA =，故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处. （6分）
(2) 由(1)可知，111122362ABC A B C V -=
⨯⨯⨯=，111112221323
P A B C V -=⨯⨯⨯⨯= 114222323P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，所以11426433
P BCC B V -=--=， 所以所求两个几何体的体积比为23. （12分） 考点：锥体体积公式、线面垂直.
二．能力题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等2016届高三五校联考、文、10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.1136
B. 3
C.533
D.43
3
【答案】C
【解析】
俯视图
正视图
考点：1.三视图；2.几何体的体积.
2.（广东省广州六中等六校2016届高三第一次联考、文、11）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )
A ．
B ． 4
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
考点：简单空间图形的三视图.
3.(海南省嘉积中学2015届高三下学期测试、文、11）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，
90BAC ∠=，2AB AC ==，1AA =，则1AA 与平面11AB C 所成的角为（ ）
A ．6π
B. 4π
C. 3π
D. 2π
A B C 1
B 1A 1
C
【答案】A
【解析】
试题分析：取11C B 的中点O ,连接OA ,1OA ,那么AO A 1∠为所求线面角，
61=AA ,21=OA ,所以33tan 1=
∠AO A ,那么6
1π=∠AO A . 考点：线面角 4.(黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2015届高三期末考试、文、8）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V 1,V 2,V 3,V 4,若上面两个几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有
A.V 1<V 2<V 4<V 3
B.V 1<V 3<V 2<V 4
C.V 2<V 1<V 3<V 4
D.V 2<V 3<V 1<V 4
【答案】C
【解析】
考点：1.三视图；2.体积的计算.
【名师点睛】本题主要考查了三视图与直观图，旋转体与多面体，柱锥台体的体积公式；本题属于基础题，解决本题的关健在于准确地由三视图想象（画出）相应的直观图，并用相应的体积公对其体积进行准确的计算.
5.（宁夏银川一中2015届高三模拟考试、文、11）已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =32，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，则球O 的表面积为（ ）
A ．4π
B ．12π
C ．16π
D ．64π
【答案】C
考点：球的表面积
6.（云南省玉溪市第一中学2016届高三月考、文、10）三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，
AC BC ⊥，1AC BC ==，PA = ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．π5
B ．π2
C ．π20
D ．π4
【答案】A
【解析】
试题分析：分析可知球心在PB 的中点. 因为AC BC ⊥，1AC BC ==,所以AB =.
所以PB =
=球的半径R =.所以此球的表面积为245S R ππ==.故A 正确.
考点：三棱锥的外接球.
7.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、文、16）已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ．
【答案】4π
【解析】
试题分析：根据题意，设2BC m =，则有11BB m
=，从而有其外接球的半径为
1R =≥，所以其比表面积的最小值为4S π=. 考点：几何体的外接球，基本不等式.
8.（海南省文昌中学2015届高三模拟考试、文、16）正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________.
【答案】4.π
【解析】
试题分析：
=截面面积最小就是截面圆半径最小，即截面圆到
外接球球心O 距离最大，为
OE =2=，截面面积的最小值为224.ππ⨯=
考点：正四面体外接球
9.（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高三联、文、
14）三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，0120ACB ∠=，
CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为 ．
【答案】64π
考点：球的体积和表面积．
10. （海南省嘉积中学2015届高三下学期测试、文、18）在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面
ABCD ，DC ∥AB ，DC ＝1，AB ＝4，BC ＝23，∠CBA ＝30°.
(1)求证：AC ⊥PB ；(2)当PD ＝2时，求此四棱锥的体积．
【答案】(1)详见解析；（2）25=
V .
【解析】
又∵PC 、BC 是平面PBC 内的两条相交直线，故AC ⊥平面PBC ，∴AC ⊥PB.
(2)当PD ＝2时，作CE ⊥AB 交AB 于E ，在Rt △CEB 中，CE ＝CB·sin30°＝23×21＝3， 又在Rt △PCD 中，DC ＝1，∴PC ＝3，∴V P －ABCD ＝3
1·PC·S ABCD ＝31×3×()2
534121=⨯+ .
考点：1.线面垂直的判定定理和性质定理；2.棱锥的体积.
名师点睛：证明线线垂直，一般都采用证明线面垂直，然后利用线面垂直的性质，证明线线垂直.
11.（陕西省镇安中学2016届高三上学期第二次月考、文、19）如图所示，在三棱锥A BOC -
中，OA ⊥底面BOC ，030OAB OAC ∠=∠=，4AB AC ==，BC =D 在线段AB 上．
（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（2）当OD AB ⊥时，求三棱锥C OBD -的体积．
【答案】（1）证明详见解析；（2）V =
. 【解析】
考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、锥体的体积.
12.（ 广东省惠州市2016届高三调研、文、19）如图，矩形ABCD 中，对角线BD AC 、的交点为AD G ，⊥平面，ABE F BC EB AE EB AE ，，2===⊥为CE 上的点，且CE BF ⊥．
（I ） 求证：AE ⊥平面BCE ；
（II ）求三棱锥GBF C -的体积．
【答案】（I ）见解析；（II ）
13
. 【解析】 A
C D
E
G
B F
考点：1.直线和平面垂直的判定与性质；2.多面体体积.
三．拔高题组
1.（东北三省三校2015届高考数学一模、文、8）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）
A B C D
【答案】A
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
2.（吉林省实验中学2016届高三上学期第一次模拟、文、9）一个几何体的三视图如右图所
示，则该几何体的体积是 （ ）
（A ）64 （B ）72 （C ）80 （D ）112
【答案】B
【解析】
考点：三视图、几何体的体积.
3.(辽宁省五校协作体2016届高三上学期期初考试数学、文、5)几何体的三视图如右图所示，若从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的表面积是（注：包括外表 面积和内表面积）（ ）
A.133π
B.100π
C.66π
D.166π
【答案】D
【解析】
试题分析：由三视图知，该几何体为底面半径为3，搞为8的圆柱。

其外接球时半径为5的球。

则剩余几何体的表面积是球的表面积与该圆柱表面积的和，即
ππππ166832325422=⨯⨯+⋅⨯+⋅。

故选D 。

考点：多面体及与其外接球的关系及几何体表面积计算问题。

4.（云南师范大学附属中学2016届月考、文、10）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE 1⊥ PB 于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ ）
A B C D
【答案】B
考点：基本不等式、三角形面积.
5.（长春市普通高中2016届高三质监、文、15）已知三棱锥S ABC -中, SA BC ==,
,SB AC ==SC AB ==则该三棱锥的外接球表面积为________.
【答案】14π
【解析】
试题分析：由条件，可将三棱锥S ABC -放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为,,a b c ，有22213,a b SC +== 222222
10,5c b SB a c SA +==+==，得到22214a b c ++=，所以
表面积为14π.
考点：球的内接几何体问题.
6.（石家庄市2016届高三复习教学质检、文、15）已知三棱锥S-ABC 所在顶点都在球O 的球
面上，且SC ⊥平面ABC ，若SC=AB=AC=1，0120BAC ∠=，则球O 的表面积为 ．
【答案】5π.
【解析】
考点：1、球的表面积；2、简单的空间几何体.
7. （重庆市巴蜀中学2016届高三月、文、15）四棱锥P-ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．
【答案】π100
【解析】
试题分析：由题意，得改四棱锥的外接球的球心在四棱锥的高线上，设为点O ,其半径为R ；在PBH Rt ∆中，4,54==BH PB ,则()845422=-=
PH ；在OBH Rt ∆中，()16822=--R R ,解得5=R ,则其外接球的球面面积为ππ10042==R S .
考点：1.四棱锥与球的组合；2.球的表面积公式.
8.(黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2015届高三期末考试、文、16）已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为1的正方形，该棱锥的高为2，且点D C B A P ,,,,都在半径为1的同一个球面上，则顶点P 与面ABCD 的中心G 之间的距离=PG ；
【解析】
试题分析：如图：
考点：1. 球内接多面体；2. 点、线、面间的距离计算.
【名师点睛】本题主要考查了球内接多面体，点、线、面间的距离计算.，同时考查了学生的空间想象能力、作图识图能力；本题属于中档题，解决本题的关健在于根据题意得到四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径这一关键结论，然后利用这一结论即可解决问题.
9. （黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期开学考试数学、文、19）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，,AC BD 交于点O ，1A O ⊥平面ABCD ，12AA BD ==
，AC =（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）求三棱锥1A C CD -的体积.
1
【答案】（I ）证明：见解析；（Ⅱ）
23. 【解析】
考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积、“等体积法”.
10.(吉林省实验中学2016届高三毕业班适应性测试、文、19）如图，在四面体PABC中，PC ⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点。

(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由。

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）Q为满足条件的点.
【解析】
考点：线线平行、线面平行、线面垂直.
11. （石家庄市2016届高三复习教学质、文、19）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为
菱形，且2PA PD DA ===，060BAD ∠=.
（I ）求证：PB AD ⊥；（II ）若PB =，求点C 到平面PBD 的距离。

【答案】(Ⅰ) 证明：取AD 的中点E ，连接,,PE BE BD ．∵PA PD DA ==，四边形ABCD
为菱形，且060BAD ∠=，∴PAD ∆和ABD ∆为两个全等的等边三角形，则
,,PE AD BE AD ⊥⊥∴AD ⊥平面PBE ，
又PB ⊂平面PBE ，∴PB AD ⊥；(Ⅱ【解析】
考点：1、直线平面垂直的判定定理；2、点到平面的距离的求法；
12.（海南省文昌中学2015届高三模拟、文、19）如图，ABC ∆是边长为4的等边三角形，ABD
∆是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =.
（1）证明：//DE 平面ABC ；（2）证明：AD ⊥BE .
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
（2）∵为的中点，为等边三角形， ∴，
由（1）知平面，而平面，可得， ∵， ∴平面， ………………………………………………8分 而平面，∴，
又∵，
∴， ……………………………………………………10分
而，，∴平面，
又平面，
∴. …………………………………………………………12分
考点：线面平行判定定理，线面垂直性质定理
OC AD ⊥//DE OC DE AD ⊥BD AD ⊥DE BD D =I AD ∴⊥BDE BE ⊂BDE AD ⊥BE O AB ABC ∆OC AB ⊥DO ⊥ABC OC ⊂ABC DO OC ⊥DO AB O =I OC ∴⊥ABD AD ⊂ABD
【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、线面平行，属于中档题．解题时一定要注意平几知识在立体中的应用．如垂直条件可利用直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．平行条件可利用平行四边形，相似三角形，线段成比例等.
13.(云南师大附中2016届高考适应性考试、文、19）如图4，在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是
边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC ，M 为AB 的中点．
（I ）证明：AC ⊥SB;（II ）求点B 到平面SCM 的距离。

【答案】（1）证明详见解析；（2. 【解析】
因为SA SC =，BA BC =，所以AC DS AC DB ⊥⊥，且，DS DB D =，
所以AC SDB ⊥平面，又SB SDB ⊂平面，所以AC SB ⊥． ………………………………（6分）
考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、三角形面积、锥体的体积.。