武汉理工大学概率论考试试题(卷)

武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称概率统计（A 卷）
1．（15分）（1）4/7；（2
）04()0Y y f y ⎧<<⎪
=⎨⎪⎩
其他
;（3）
112 (4)
上限为(1)X n α+-;（
5）)1(-n n Z X
2．（10分）解：设事件A 表示：“取到的产品是次品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。

则A A A 123 =Ω，且P A i ()>0，A A A 123、、两两互不相容，
（1） 由全概率公式得
∑=⋅=3
1
)|()()(i i i A A P A P A P 400
13
100541100441100221=
⨯+⨯+⨯=
（2）由贝叶斯公式得
P A A (|)1=∑=31
11)|()()
|()(j j
j A A P A P A A P A P 13440013100221=⨯
=
3. （10分）解：由归一性
⎰⎰∞+∞-=
==2
)(11
0A
Axdx dx x f 所以A =2。

即
⎩⎨
⎧<<=其它
，，01
02)(x x x f 4
12)()21(}21{21
021====≤⎰⎰∞-xdx dx x f F X P
所以)4
1
3(~，B Y ，从而
}2{=Y P =64
943)41(223
=⨯C
4. （15分）解：（1）x ≤0时，f x X ()=0；x >0时，
f x X ()=f x y dy e dy e y x x
(,)==--+∞
-∞
+∞
⎰⎰
故随机变量X 的密度函数f x X ()=e x
x x -<≤⎧⎨⎩
，，000
（2）P X Y {}+≤1=
=--+≤⎰
⎰⎰⎰f x y dxdy dx e dy y x
x
X Y (,)10
1
21
=+---
e e 1
1
2
12
5. （10分）解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得
EZ 122
1
031)2()3()23(=⨯+⨯=+=+=Y E X E Y X E DZ =+=++D X Y D X D Y X Y (
)()()()3232232Cov ， DY DX DY DX XY ρ21
31221
3
122
⨯⨯++
=
324143)21(2131242
1
3312222
=-+=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯+
⨯=
（2）Cov Cov Cov Cov ()()(,)(,)X Z X X Y X X X Y ，，
=+=+1312131
2
=
+=131
2
0DX DX DY XY ρ 从而有X 与Z 的相关系数ρXZ X Z DX DZ
==Cov(,)
6. （10分）证明：)(1
)1(),(1)1(1
2111∑∑∑∑======n
k k n k k n k k n k k X D n X n D X E n X n E ，由切贝雪夫不等式，得
2
21
11)(1)(1
1lim ε
εn X D X E n X n P n
k k n
k k n k k n ∑∑∑===∞→-≥⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<-，
根据题设条件，当∞→n 时, 1)(1
1lim 11≥⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εn
k k n k k n X E n X n P ，
但概率小于等于1，故马尔科夫定理成立. 7. （15分）解：（1）由于
)1(~)1(2
2
2
--n S n χσ，又有212
21)(1S n
n X X n S n i i n
-=
-=∑= 2
2)1(S n nS n
-=，因此
)1(~22
2-n nS n
χσ；
（2）由于
)1(~/--n t n
S X μ，又有
1
-=
n S n
S n ，因此
)1(~1
/---n t n S X n μ；
（3）由),,2,1)(,(~2
n i N X i =σμ得：
),,2,1)(1,0(~n i N X i =-σ
μ
，由2χ分布的定义得：
)(~)(22
1
2
n X
n
i i
χσμ∑=-.
8．（15分）解：（1）2
EX θ
=，令
2
X θ
=，得θ的矩估计量1
ˆ2X θ=； 似然函数为：
()12121
,0,,,(,,
,;)0n n n x x x L x x x θ
θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩
，其它
其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212()ˆmax ,,,n n X X X X θ==。

（2） 因为1
ˆ2E EX θθ==，所以1ˆθ为θ的无偏估计量。

又因为()n X 的概率密度函数为：
1()1
,0()0,n n x n x f x θθθ
-⎧⎛⎫<<⎪ ⎪
=⎨⎝⎭⎪⎩
其它 所以
1
()0
1
1
n n x n EX xn dx n θ
θθθ
-⎛⎫==
⎪+⎝⎭
⎰
因此2
ˆθ为θ的有偏估计量，而3()1
ˆn n X n
θ+=为θ的无偏估计量。

（3）22
1
/12
ˆ443D DX n
n
θθθ==⨯=
，
2
3(2)212
202211ˆ11111ˆ(2)(2)3n n D DX n n x n x n dx n n D n n n n
θθθθθθθθ-+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=>=≥+⎰ 于是3
()1ˆn n X n
θ+=比1
ˆ2X θ=更有效。

二、计算题（满分10分）
某厂有三条流水线A ，B ，C 生产同一产品，其产品分别占总量的40％，35％， 25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。

现从出厂的产品中任取一件，问（1）恰好取到次品的概率是多少？（2）若取得次品，则该次品是流水线A 生产的概率是多少？
三、计算题（满分10分）
一箱子有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件. 现从中随机抽取一件，记：
1, 0,X ⎧=⎨⎩若抽到一等品其它 1, 0,Y ⎧=⎨
⎩若抽到二等品
其它
求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律.
四、计算题（满分10分）
设二维随机变量（,X Y ）在由2,y x y x ==所围成的区域上服从均匀分布，求关于x 和关于y 的边缘密度函数。

五、计算题(满分10分)
由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作 的概率都为0.9.为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整 个系统能正常运行的概率。

六、计算题（满分10分）
设总体X 的概率密度为⎩⎨
⎧∉∈+=)
1,0(,
0)1,0(,
)1(),(x x x x f θθθ1θ>-为未知参数.
已知12,,
,n X X X 是取自总体X 的一个样本。

求：(1) 未知参数θ的矩估计量；
(2) 未知参数θ的极大似然估计量；.
七、计算题（满分10分）
设总体X 服从N(μ,
2
σ
)分布，相互独立地从X 抽出容量分别为n 1与n 2的两个样本，1X 和2X 是两个样
本的均值，试证明对于常数a 和b 只要a+b=1，则Y=a 1X +b 2X 就都是μ的无偏估计量，再确定a 和b 的值使a 1X +b 2X 在这一类无偏估计量中是有效估计量。

八、计算题（满分10分）
有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值503.75x =克，样本方差 6.2022S =。

求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。

（0.05α=，查表
附表： (1.667)0.9515Φ=，(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975Φ=，
()0.02515 2.1315t =0.025(16) 2.120t = 0.05(15) 1.753t =，0.05(16) 1.746t =
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试题标准答案及评分标准用纸
一、单项选择与填空题（每题3分 3×10=30分）
1、A
2、D
3、B
4、B
5、A
6、C
7、19
8、0.7
9、12 10、4
5
二、(10分) 设{}D =取得的是次品……2分
:(2)()(|)()(|)()(|)()P D P D A P A P D B P B P D C P C =++
0.020.40.040.350.050.250.0345
=⨯+⨯+⨯=…………6分
()0.008
(3)(|)0.0232()0.0345
P A D P A D P D ⋂=
==……10分
三。

(10分)
10
0.1,100
=(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)P{X=0,Y=0}=
P{X=0,Y=1}=0.1P{X=1,Y=0}=0.8,P{X=1,Y=1}=0 …………………6分
故所求的联合分布律为
…………10分
四、(10分) 21
01
6x
x S dydx ==⎰⎰，，2601
(,)0
x y x x f x y ⎧<<<<=⎨
⎩，其它
………4分
222
6()01
()(,)66(),()0
x
X X x x x x f x f x y dy dy x x f x +∞
-∞
⎧-<<===-=⎨
⎩⎰⎰其它 (7)
分
6(01()(,)6(()0Y Y y
y y f y f x y dy dy y f y +∞
-∞
⎧<<⎪
===-=⎨
⎪⎩
⎰
其它 ……………10分 五．设1
0i i X ⎧=⎨⎩１１００第个系统正常工作 Ｘ＝Ｘ＋Ｘ第ｉ个系统不正常工作
………3分
()1000.990,()1000.90.199085905
{85}{
}()0.9515333
E X np D X npq X P X P ==⨯===⨯⨯=-->=>=Φ=…………… 10分
六、1
2121
ˆ()()11X X E X xf x dx x dx X X X
θθθθ+∞
-∞
--===∴=
∴=
--⎰
⎰ 为所求的矩估计…………………………4分
为所求的极大似然估计量 ………………10分 七
12()()E aX bX a b a b μμμμ+=+=+=
121a b Y aX bX μ+==+故当时，为的无偏估计量..３分
222
2
2
121212
()()a b D aX bX a DX b DX n n σ+=+=+
设
2222
1212
121212
(1)()()()
0,1a b a a f a n n n n n n df
a b a da n n n n -=+=+==∴=-=++可得
所以，当
11
1
1
ln (,
,,)(1)(),
ln()0
1
1
ln()
n n n n n L n L X X X X X X n X X θθθθθθ∂=+=+=∂+=-
-
12
1212
,n n a b n n n n =
=++时12Y aX bX =+
是这类无偏估计量中的有效估计量……… 10分
/20.025~(1),||(15)0.952.1315500.445507.055
X X t n P t αμ⎧⎫-<=⎨⎬⎭⎩∴<∴<<………7分
为所求的置信区间。

………10分
四, 计算题（满分15分）设随机变量（Y X ,）的联合密度函数为(做表打)
⎩⎨
⎧≤≤≤≤=.)(0
,
)0,10(3),(他其x y x x y x f （1）求边缘密度函数)()(y f x f Y X 与； （2）Y X 与是否相互独立？为什么？ （3）计算)1(>+Y X P 五．计算题（满分10分）
盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X 。

六、计算题(满分10分)
．某食品厂自动包装线包装饼干，每箱重量是随机的。

设每箱的平均重量为50 公斤，标准差为5公斤。

现用最大载重量5000公斤的汽车承运，用中心极限定 理估计每辆汽车最多装多少箱，可使不超载的概率大于0.977（(2)0.977Φ=）。

七．计算题（满分15分）
设随机变量X 的分布密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，
，，001
)(θ
θ
θx x f ， 0>θ未知。

12,,,n X X X 为取自总体X 的一个样本，
（1）求θ的矩估计量1ˆθ和极大似然估计量2
ˆθ； （2）问：1ˆθ与2ˆθ是否是θ的无偏估计? 为什么？（要求写出证明过程）
八、计算题（满分10分）
有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值503.75x =克，样本方差 6.2022S =。

求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。

附表：
(1.667)0.9515Φ=，(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975Φ=，(2.18)0.9854Φ=，(1.645)0.95Φ=，
(1.96)0.975Φ=，2622
.2)9(025.0=t ，2498.3)9(005.0=t ，2281.2)10(025.0=t ，
1693.3)10(005.0=t ,()0.02515 2.1315t =
0.025(16) 2.120t =，0.05(15) 1.753t =，0.05(16) 1.746t =
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试题标准答案及评分标准用纸
课程名称概率统计（B 卷）
一,(1) 62.0,(2) 0.1,(3)⎩
⎨
⎧≤>=0
00)])3/[ln()(1y y y f y f y Y (4) F(1,2n) ,(5) )(2
05.02
n χχ≥或 2
2
0.95()n χχ≤
二解:设A :被查后认为是合格品的事件，B :抽查的产品为合格品的事件.
9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ，
.998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P
三解: ①
050
1
()01
5
x x dx dx Ke dx K ϕ+∞
+∞
--∞
-∞
=+==⎰
⎰⎰
故5K = 。

②.3679.05)2.0(12.05≈==>-+∞
-⎰e dx e P x ξ
③当x<0时,F(x)=0;
当0≥x 时，x
x x
x e dx e dx dx x x F 500
515)()(-∞
-∞
---=+==⎰⎰⎰ϕ
故⎩⎨⎧<≥-=-0
0,,0
1)(5x x e
x F x
.
四,解(1)当01x ≤≤时,203()32x X f x xdy x ==⎰,故2
3,01
()2
0,
X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
当0y 1≤≤时,1
2
3()3(1)2Y y f y xdx y ==-⎰,故2
3(1),01()2
0,
X y y f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
(2)
(,)()()X Y f x y f x f y ≠,故X 与Y 不独立.
(3)1
0.511
5
(1)(,)38
x
x
x y P X Y f x y dxdy xdydx -+>+>=
==
⎰⎰⎰
⎰
五．解：设X 为抽白球的个数，X=0，1, 2，3。

有下列分布律
X 0 1 2 3
P 135=3337C C 1243371235C C C =2143371835C C C =3
4
37
435C C = E(X)=12/35+18×2/35+4×3/35=60/35=12/7
E(X 2)=12/35+18×4/35+4×9/35=120/35=24/7 D(X)=24/7-(12/7)2=24/49
六．解：设)~1(n i X i =为第i 箱重量，1,
,n X X 相互独立，n 箱总重量1
n
n i i T X ==∑
由已知得()50,()25,()50,()25i i n n E X D X E T n D T n ====
[()40,()16,()40,()16i i n n E X D X E T n D T n ====] 由中心极限定理
(5000)0.977
n P T P ≤=≤≈Φ>
21010000n >⇒+<
29.9005(9.9005)98.0199n <⇒<=
故最多可以装98箱。

七．解：（1）似然函数(1)()1
,0()0,n n x x L otherwise
θ
θθ⎧<≤≤<⎪=⎨⎪⎩
ln ()L θ单调减，得θ的极大似然估计量为()1ˆmax{}n i
i n
X X θ≤≤==。

（2）ˆθ的密度1
1,(0,)()()()0,(0,)n n n nx x f x nF x f x x θθθ--⎧∈⎪==⎨⎪∉⎩
ˆ()1
n
n
nx E dx θ
θθθθ
θ==
≠+⎰
，故ˆθ
不是θ的无偏估计量。

八解
0.025~(0,1),|0.95| 1.9618.5826.42
X X N P u μ⎧⎫<=⎨⎬⎭⎩∴<∴<<
为所求的置信区间。

)
1(2
12
2-≥-
n αχχ)
1(2
22-≤n αχχ2222
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试题标准答案及评分标准用纸
一(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1、B
2、A
3、C
4、A
5、D 二 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1、21
2、31
3、⎩⎨⎧=-0)(x e x f λλ00≤>x x ,21λ
4、y +21
5、1
三 A 表示合格品事件，B 产品检验合格事件
(1)887.005.01.098.09.0)(=⨯+⨯=B P (2)994.0887
.098
.09.0)|(=⨯=
B A P
四 ⎩⎨
⎧>>--=--其它
0,0)
1)(1(),(2y x e e y x F y x 3
2}),{(}{=
∈=<G Y X P Y X P 五 ||Y X Z -= ，⎰⎰-=l l
dxdy y x l Z E 00
2
||1
)(=3
l 六 μμ=)(1E , μμ=)(2E , 故都是μ的无偏估计…… 4分
18736144191361)(1==++=
μD , 25
9
254251254)(2=
++=μD , …… 4分 因为)(2μD <)(1μD , 故2μ更有效.…… 2分
七 )(21)(21θθ+=X E 2122122)(4
1
)(121)(θθθθ++-=X E
S n n X )1(3^
1--=θS n
n X )1(3^2-=+=θ
注：答案不唯一，方法和答案正确，参照此给分
八 95.0}10|{|1
>≤∑=n
i i X P =⇒>≤≤-
∑=95.0}12/10
12/12/10{1n n X n P n
i i 2⇒>-Φ95.01)/320(n 312≤n
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试题标准答案及评分标准用纸
课程名称—概率论与数理统计——（A 卷） |一. 选择题（每小题3分，共15分）
1.C
2.D
3.B
4.D
5.A 二. 填空题（每小题3分，共15分）
|1.0.42.0.23.18.4 4.
12
5.12(n-1)
| 三. （10分）0()()()22
Y X X y y y F y F F >=--时， ………………4分
2
8()()y
Y Y f y F y -'==………………8分
0()0Y y F y ≤=时
,2
8,0()0,0y
Y y f y y -⎧>=≤⎩
………………10分
| 四. （10分）,)X Y (的可能取值（0，0），（0，1）（1，0）（1，1）………………2分 |1
{1,1}()()()8P X Y P AB P A P B A =====
………………4分 1
{1,0}()()()8
P X Y P AB P A P AB ====-=………………6分
钉 ()1
{0,1}()()()8
P AB P X Y P AB P AB P A B ====
-=………………8分
|1115
{0,0}18888
P X Y ===-
--=………………10分 | 五. （10分）（1）由(,)1f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
，得A ＝1 ………………2分
| （2）1
()0x
x
D
E XY xydxdy dx xydy -=
==⎰⎰⎰⎰2
()3
D
E X xdxdy ==
⎰⎰…………6分 ()0D
E Y ydxdy ==⎰⎰cov ,)()()()0X Y E XY E X E Y (＝－＝………………9分
（3）0
XY
ρ=X与Y不相关………………10分六.（10分）设同时开着的灯数为X，(10000,0.7)
X b………………2分
(0,1)
N （近似）………………5分
{69007100}210.971
P X
≤≤=Φ-=………………10分
七.（10分）11
1
()(
2
E X dx
θ
θ
θ
θ
+
+
==
+
⎰+1)x………………3分
解
1
2
X
θ
θ
+
=
+
，得θ的矩估计量为21
1
X
X
-
-
………………5分
1
()1()
n
i
i
L xθ
θθ
=
+∏
n
＝（）
1
ln ln1ln
n
i
i
L n x
θθ
=
=+∑
（）+………………7分
令
1
ln
ln0
1
n
i
i
d L n
x
dθθ=
=+=
+
∑得θ的极大似然估计量为
1
1
ln
n
i
i
n
X
=
--
∑
…………10分
八.（10(0,1)
X
N ………………3分
{1.4 5.4}}2()1
63
P X P
<<=<=Φ-………………7分
解210.95
3
Φ-≥得34.6
n≥n至少取35 ………………10分
九.（10分）T =(1)
X
t n -
0.005
{(1)}0.99
P T t n
<-=……………4分
0.0050.005
{(1)(1)}0.99
P X n X X n
-<<+-=………………8分
所求为（1485.61，1514.39）………………10分
武汉理工大学考试试题（A 卷）
课程名称：概率论与数理统计专业班级：
一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
1.设A 与B 是两个随机事件，且0)(=AB P ，则（ ） （Ａ）A 与B 互不相容. （Ｂ）A 与B 互相独立， （C ）()0P A =或()0P B =. （Ｄ）)()(A P B A P =-
2.下列命题中，正确的是：( )
).(A 若B A ,互不相容，则B A ,也互不相容。

)(B .若B A ,相容，则B A ,也相容 )(C .若B A ,独立，则B A ,也独立。

)(D .若B A ,独立，则B A ,不相容
3．袋中有10只球，其中有3只是红球，从中任取2只球，则其中恰有一只红球的概率为（）
)
(A 158)(B 157)(C 53)
(D 10
3
4.设X 与Y 的相关系数γ=0，则( )
)(A . X 与Y 必不相关。

)(B .X 与Y 不一定相关。

)(C . X 与Y 相互独立。

)(D .X 与Y 必相关。

5． 设n X X ,,1 为总体),(~2
σμN X (其中μ,已知，σ未知)的样本，且X 与2S 分别为其样本
均值和样本方差，则以下的样本函数中可作为统计量的是( )
)
(A 21
2
)(1
μσ
-∑=n
i i
X
，)(B σn X ，)(C S n X )(μ-，)(D 22)1(σS n -；
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。

） 1．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨
⎧∈=其它
],0[)(A x x
x f , 则常数A =______
2．设4.0)(=A P ，7.0)(=B A P ，若A 与B 相互独立，则)(B P =______ 3．设随机变量)()(),3,1(~2
C X P C X P N X >=<且，则常数C =______
4．已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取25个零件， 得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是_________
95.0)64.1(=Φ, 975.0)96.1(=Φ.
5．设X 和Y 是两个随机变量，且5
2
)0,0(=
≥≥Y X P ，53)0()0(=≥=≥Y P X P , 则=≥）0),(max(Y X P ______
三．（10分）（1）已知7.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P ⋂
（2）已知
41)()(==B P A P ，21)(=C P ，8
1)(=AC P ，
0)()(==AB P BC P 。

求C B A ,,中至少有一个发生的概率。

四．（10分）东方商店出售的彩电全为甲,乙两个厂所生产,其中甲厂生产的占2/3,正品率为90％,
乙厂生产的占1/3,正品率为60％.
(1) 今从商店随机购买一台彩电,求恰好为正品的概率.
(2) 如已确定买回的这台彩电是正品,试求它是由甲厂生产的概率.
五．（10分）设二维随机变量),(Y X 在区域}0,1|),{(2
2
>≤+=x y x y x G 上服从均匀分布。

（1）求),(Y X 的联合分布密度及边际密度)(),(y f x f y X 。

（2）讨论Y X ,的独立性。

六．（10分）设随机变量),(Y X 的联合密度函数为
⎩⎨
⎧≤+≥≤≤=其它,
01
,0,10,6),(y x y x x y x f （1）求边际概率密度)(y f Y ；（2）求Y X Z +=的概率密度。

七．设总体X 的概率密度为：
.1,
1,
0,
)(1
≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x x x f ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的随机样本，求： （1）β的矩估计量；（2）β的极大似然估计量；
八．（10分）（1）一个系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件正
常工作的概率为0.9；为使系统正常运行，至少有85个元件正常工作，求整个系统正常 运行的概率；（2）假如系统有n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件 正常工作才能使整个系统正常运行，问n 至少为多大时才能保证系统的可靠度为0.95？
9529.0)3/5(=Φ，90.0)28.1(=Φ, 95.0)64.1(=Φ, 975.0)96.1(=Φ
九．（1）（5分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩， 算得样本均值5.66=X 分，样本方差2215=S 分，问在显著性水平0.05下，是否可以 认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。

（03.2)35(025.0=t ，69.1)35(05.0=t ，028.2)36(025.0=t ）
（2）(5分)设随机变量X 与Y 互相独立，且均服从均值为0、方差为1/2的正态分布， 试求随机变量||Y X Z -=的方差。

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课程名称—概率论与数理统计——（A 卷） 一. 选择题 ：D C B A C 二. 填空题
（1）.2 （2）.
21 （3）.1 （4）. (39.60 40.39). 5.5
4
三．解：（1）()
()()])()([11AB P B P A P B A P B A P -+-=⋃-=⋂
25.07.05.06.05.01=⨯+--=……5分
（2） ∵AB ABC ⊂ ∴()0=ABC P
()()()()()()()()8
7
81214141=-++=
+---++=⋃⋃ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P 10分 四．解：解：设A=｛买回的电视机是正品｝Ｂ＝｛买回的电视机由甲厂生产｝
()()()
8.06.03
1
9.032=⨯+⨯=+=B A P AB P A P ……5分 ()()()()[]()
75.0===
A P
B A P B P A P AB P A B P ……10分
五.解：（1）()y x ,分布密度：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=G
y x G
y x y x f ),(,0),(,2
),(π
分2 （1.1)()()dy y x f x f x ⎰+∞
∞
-=
,
当10<<x 时()π
2
111422
2
x dy x x f x x x -=
=
⎰
--- 其它()=x f x 0 （1.2）()()dx y x f y f Y ⎰+∞
∞
-=
,
当11<<-y ()210
12
2
2
y dx y f y y -=
=
⎰
-π
π
其它()0=y f y ……7分
（2) ()()()y f x f y x f y x ≠, ∴ x 与y 不独立……10分 六.解：（1）10,)1(36),()(10
2<<-===
⎰
⎰
+∞
∞
--y y xdx dx y x f y f y
Y ……（4分）
（2）当0≤z 和1≥z 时，0)(=z f Z ； 当10<<z 时，
3),()()()(z d y x f z Y X P z Z P z F z
y x Z ⎰⎰
≤+==
≤+=≤=σ
即时，
10<<z 2
3)(')(z z F z f Z Z ==……（10分） 七、解：解：（1）由于1
)(1
1
-=⋅
==
⎰
⎰
+∞
++∞
∞
-βββ
βdx x
x dx x xf EX ，
令
X =-1
ββ，解得1-=
X X β，所以参数β的矩估计量为：.1
ˆ-=X X β
（2）似然函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)()()(1211n i x x x x x f L i
n n
n
i i βββ 当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得：∑=+-=n
i i
x
n L 1
ln )
1(ln )(ln βββ，
两边对β求导，得∑=-=n i i x n d L d 1ln )(ln βββ，令0)
(ln =β
βd L d ，
可得∑==
n
i i
x
n
1
ln β，故β的最大似然估计量为：.ln ˆ1
∑==n
i i
X
n
β
八、解：解（1）设
⎩⎨
⎧=个元件损坏
第个元件正常工作
第k k X k 01 X 表示系统正常工作的元件数，则)90.0,100(~100
1
B X X k k ∑==，且909.0100)(=⨯=X E ，
91.09.0100)(=⨯⨯=X D ，由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理
)
35
()35(1)9
90
85(
1}9
90
859
90{
1}85{1}85{Φ=-Φ-=-Φ-≈-≤
--=≤-=>X P X P X P
=0.9529 （2）)9.0,(~n B X
95.0)3
(
)3.01.0(
1}09.09.08.009.09.0{
1}8.0{=Φ=-Φ-≈-≤
--=≥n
n
n n
n n n
n X P n X P 查表得，64.13
=n
，21.24=n ，取25=n 。

……10分
九、（1）解：设学生成绩为,X 则X ～),(2
σμN
70:;70:10≠=μμH H ……2分 n S
X T μ
-=
～)1(-n t 03.2)35(025.0=t
03.24.13615
705.66<=-=
T 接受0H 。

……5分
（2）解：2
2
)]([)()(Z E Z E Z D -=，而
1)()())(()(])[()(222=+=-+-=-=Y D X D Y X E Y X D Y X E Z E
……3分
π
π
2
)}(exp{)2211(
||)(222=
+--=⎰⎰∞+∞
-∞
+∞
-dy y x y x dx Z E
所以π
2
1|)(|-=-Y X D 。

……5分
t分布，并给出自由度。

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课程名称 概率论与数理统计 （A 卷）
一、1 C 2 B 3 A4 C5 C
二、1 144.25π, 2 λ ，λ , 3 5
4， 4 2
22121,σσ++a a , 5 22μσ+ 三、1. 解：（1）3.004.07.0)()()()(=+-=+-=AB P A P B A P B P ……5分
（2）)()()()()(B P A P A P B A P B P +-= ，……7分
5.06
.03
.0)(1)()()(==--=
A P A P
B A P B P ……9分
2. 设A=“患该病”，B=“化验呈阳性”，已知()0.005P A =, (|)0.95P B A =, (|)0.01P B A =, …
4分则()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A =
+=95
294
≈0.3231 …9分
3. X=0时,P=64/64/44
4
=A …2分 X=1时,P=64/364/4332434=A C C …4分 X=3时,P=64/14/41
4
=C …6分 X=2时,P=1-6/64-36/64-1/64=21/64…8分)(X E =81/64…9分 4. (1)K=-1/2; …3分(2)⎪⎩
⎪
⎨⎧
+-=14/0)(2x x X F , 2200≥<≤<x x x …6分
(3) }2/52/3{≤<X P =F(5/2)-F(3/2)=1-0.9375=0.0625 …9分 5. （1）由于1
)(1
1
-=⋅
==⎰⎰+∞
++∞
∞
-βββ
βdx x
x dx x xf EX ，
令
X =-1
ββ，解得1-=
X X β，所以参数β的矩估计量为：.1
ˆ-=X X β
……5分
（2）似然函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n
n
n
i i ββββ
当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得：∑=+-=n
i i
x
n L 1
ln )
1(ln )(ln βββ，
两边对β求导，得∑=-=n i i x n d L d 1ln )(ln βββ，令0)(ln =β
βd L d ，
可得∑==
n
i i
x
n
1
ln β，故β的最大似然估计量为：.ln ˆ1
∑==n
i i
X
n
β
……9分
6. 已知方差
用X Z =
…2分 作区间估计得置信度1-α=0.95的置信区间
（/2X α
,/2X α）代入观测值得（21.52，23.48）. …9分
7. 解：（1)2t x =
()=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴2
1
2t f t f x T 1/2 0≤t ≤2 其它: ()0=t f T ……4分 （2) Y T Y X z +=+=2()()()dy y f y z f z f Y T z -=⎰+∞
∞- . ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=-其它,
02
0,21
)(y z y z f T …6分
∴（2.1) 当z ≤0时()0=z f z （2.2) 当0≤z ≤2时()()
z
y z
z e dy e z f ---==
⎰121210
（2.3) 当z>2时()()
121212
2
-==
---⎰e e dy e z f z y z
z z ……9分 四、2
~(,)i X N μσ,故2
~X N n σμ（，）,2
11~(0,)i n X X N n
σ++-
,
~(0,1)X N …2分 且222(1)/~(1)n S n σχ--…4分
又21,,i X X S +
22(1)/X n S σ-相互独立,从而
它的自由度为n -1
~(1),
X T t n =
=
-。