(人教版)直线与方程预习提纲人教版高中数学必修教案全部)

直线与方程预习纲要1．斜率及斜率公式：
倾斜角：
倾斜角与斜率的关系：
2．直线方程的五种形式
点斜式：
斜截式：
两点式：
截距式：
一般式：
3．两直线平行与垂直
4．方程组的解与交点个数的关系
直线系方程：
5．两点间距离公式：
中点公式：
点到直线的距离公式：
直线与方程教学设计
例 1：已知直线l1的倾斜角α1＝ 300，直线 l 2⊥ l1，求 l 1、 l2的斜率。

例 2：一条直线经过点P1(－ 2， 3)，倾斜角＝45°，求这条直线方程，并画出图形.
例 3：三角形的极点是 A(－ 5，0)、B（3，－ 3）、C（ 0， 2），求这个三角形三边所在直线的方程。

例 4：已知直线 m 的倾斜角θ的余弦值等于4
，在 y 轴上的截距为－2，求直线方程。

5
例 5：求过点 P（－ 5，－ 4），且与 y 轴夹角为π
3 的直线方程。

例 6：一条直线经过点 A （－ 2， 2），而且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。

例 7：求经过点P（2， 3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。

例 8：求斜率为k 且被两坐标轴截得线段为定长m 的直线方程。

例 9：已知直线l 在 x 轴上的截距比y 轴上的截距大6，且过点（ 4， 4），求其直线方程。

4
例 10：已知直线经过点A(6,-4), 斜率为－
,求直线的点斜式和一般式方程 .
3
例 11：把直线 l 的方程 x－2y＋ 6＝ 0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并绘图 .
例 12：直线
求直线l 过 P（ 3，2）且与
l 的方程。

l ′： x＋ 3y－9 = 0及 x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，
例 13：已知点P（ 6， 4）和直线 l1： y = 4x ，求过 P 点的直线 l，使它与直线 l1以及 x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。

例 14：若向来线l 被直线 l 1： 4x＋ y＋ 6 = 0 和 l2： 3x－ 5y－ 6 = 0 截得的线段的中点恰幸亏坐标原点，求这条直线方程。

例 15：已知直线方程l 1： 2x－ 4y＋ 7＝ 0， l 2： x－ 2y＋ 5＝0，证明 l1∥ l2
例 16：求过点A（1，-4）且与直线2x3y 5 0 平行的直线的方程.
例 17：求与直线l 1：Ax＋By＋C = 0平行的直线方程。

例 18：乞降直线2x＋ 6y－ 11=0 平行，且与坐标轴围成的三角形面积为 6 的直线方程。

例 19：△ ABC中， A(1 ， 1),B(3 ， 5),C(5 ，－ 1), 直线l∥ AC,且l均分△ ABC的面积，求l的方程。

例 20：求过点A(2,1),且与直线2x y 10 0 垂直的直线l的方程.
例 21：已知三角形两极点是A( － 10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个极点 C 的坐标。

例 22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:
l1 : x 2 y 2 0,l 2 : 2x y 20
例 23：已知两条直线l1：x＋ my＋6=0，l2：（ m－2）x＋ 3y＋ 2m=0，当 m为什么值时，l1与l2（ 1）订交（ 2）平行（ 3）重合
例 24：已知两条直线l1： x＋ m2 y＋6=0，l2：（m－ 2） x＋3my＋ 2m=0，问当 m为什么值时，l 1与 l 2（1）平行（2）重合（3）订交
例 25：求点P0（ -1 ，2）到以下直线的距离：
（1）2x y 10 0; (2)3x 2.
例 26：求平行线2x 7 y 8 0 和 2x 7 y 60 的距离.
例 27：已知l1： Ax ＋ By＋ C1＝ 0，l2： Ax ＋ By＋ C2＝ 0，求l1与l2间的距离。

例 28：求与直线3x－ 7y＋ 5 = 0 的距离为 2 的直线方程。

例 29：求两直线l 1： x＋ y－ 2 = 0， l2： 7x－ y＋ 4 = 0 所成角的均分线方程。

例 30：求过点P（ 1， 2）且与两点 A （ 2，3）， B（ 4，－ 5）距离相等的直线l 的方程。

例 31：求过点P（ 1， 1）且被两平行直线3x－4y－ 13 = 0 与 3x－ 4y＋ 7 = 0 截得线段的长为
4 2 的直线方程。

例 32：求经过两已知直线l1： x＋ 3y＋ 5 = 0 和 l2：x－ 2y＋ 7 = 0 的交点及点 A （ 2，1）的直线l的方程。

例 33：设直线方程为（ 2m＋ 1） x＋（ 3m－ 2） y－ 18m＋ 5 = 0，求证：无论 m 为什么值时，所给的直线经过必定点。

直线与方程教学设计
例 1：已知直线l1的倾斜角α1＝ 300，直线l 2⊥ l1，求l 1、 l2的斜率。

解： l1的斜率k1＝ tanα1＝ tan300＝
3 3
∵ l2的倾斜角α2＝ 900＋ 300＝ 1200，
∴ l 2 的斜率 k 2＝ tan α 2＝ tan1200＝－ tan600＝－ 3 例 2：一条直线经过点
P 1(－ 2， 3)，倾斜角 ＝ 45 °，求这条直线方程，并画出图形.
解：这条直线经过点 P 1(－ 2， 3)，斜率是 k ＝ tan450
＝ 1.
代入点斜式方程，得 y － 3＝x ＋ 2，即 x － y ＋ 5＝ 0
这就是所求的直线方程，图形略
例 3：三角形的极点是
A(－ 5，0)、B （3，－ 3）、C （ 0， 2），求这个三角形三边所在直线的方
程。

解：直线 AB 过 A(－ 5， 0)、B （ 3，－ 3）两点，由两点式得
y － 0 x －（－ 5）
－3－0 ＝
3－（－ 5）
整理得： 3x ＋ 8y ＋15＝ 0，即直线 AB 的方程 .
2－（－ 3）
5
直线 BC 过 C(0， 2)，斜率是 k ＝
＝－3 ,
0－ 3
由点斜式得 : y － 3＝－
5
3 （ x － 0）
整理得 : 5x ＋3y － 6＝ 0，即直线 BC 的方程 .
直线 AC 过 A(－ 5， 0)，C(0， 2)两点，由两点式得 :
y －0
x －（－ 5）
2－ 0 ＝
0－（－ 5）
整理得： 2x － 5y ＋10＝ 0，即直线 AC 的方程 .
例 4：已知直线 m 的倾斜角 θ 的余弦值等于
4
，在 y 轴上的截距为－
2，求直线方程。

5
解：∵ cos θ ＝
4
5 ， 0≤θ ＜ π
∴ k ＝ tan θ＝
3
3
4 ，得 y
＝ 4 x －2
例 5：求过点 P （－ 5，－ 4），且与 y 轴夹角为 π
的直线方程。

3 x － 3 y ＋ 5－
4 3 = 0 或 x ＋ 3 y ＋ 5＋ 4 3 = 0
例 6：一条直线经过点
A （－ 2， 2），而且与两坐标轴围成的三角形面积为
1，求这直线的方
程。

－ 2 2
解法一：设直线方程为
x y = 1 ，则有： a
+b = 1 a ＋
b 1
︱ ab ︱ = 1
2
解得 a = － 1， b = － 2 或 a = 2， b = 1
∴直线方程为
x
y x y
－ 1
＋ －2 =1或 2 ＋1 =1
解法二：令 y － 2 = k （ x ＋ 2）
2
从 y = 0 得 x = － k － 2
从 x = 0 得 y = 2k ＋ 2
12
∴2︱（k＋ 2）（2k＋ 2）︱＝ 1
得 k = －
1
2或 k = － 2
例 7：求经过点 P（2， 3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。

解：设直线方程为
x y
a＋a = 1，则有：
23
a＋a = 1得 a = 5
x y
∴直线方程为5＋5 =1
33
又：直线过原点k = 2∴ y =2x
例 8：求斜率为 k 且被两坐标轴截得线段为定长m 的直线方程。

解：设直线方程为y = kx ＋ b，则有：
2 b 2
= m2即 b = ±
km
b ＋2
1＋ k2 k
∴ y = kx ±km
1＋ k2
例 9：已知直线 l 在 x 轴上的截距比 y 轴上的截距大 6，且过点（ 4， 4），求其直线方程。

解：设直线方程为 y－ 4 = k （x－ 4），则：
（4－4
k， 0），（ 0， 4－ 4k）
41
∴ 4－k = 4－ 4k＋ 6得 k = 2 或 k = －2
1
即 y－ 4 = 2（ x－4）或 y－ 4 = －2（ x－ 4）
例 10：已知直线经过点A(6,-4), 斜率为－4
,求直线的点斜式和一般式方程 . 3
4
解：经过点A(6，－ 4)而且斜率等于－ 3 的直线方程的点斜式是:
y＋ 4＝－4
（ x－ 6）化成一般式，得4x＋ 3y－ 12＝0. 3
例 11：把直线 l 的方程 x－2y＋ 6＝ 0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并绘图 .
解：将原方程移项,得 2y＝ x＋ 6
1
两边除以2，得斜截式y＝x＋ 3
1
所以，直线 l 的斜率 k ＝ 2 ，它在 y 轴上的截距是 3， 在上边的方程中令
y ＝ 0，可得 x ＝－ 6，即直线 l 在 x 轴上的截距是－ 6.
由上述内容可得直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点为 A （－ 6，0）、B （ 0，3），过点 A 、B 作直线，
就得直线 l.（如右图） .
例 12：直线 l 过 P （ 3，2）且与 l ′： x ＋ 3y －9 = 0 及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，
求直线 l 的方程。

解法一：求 k
解法二：求 l 与 x 轴的交点坐标
例 13：已知点 P （ 6， 4）和直线 l 1： y = 4x ，求过 P 点的直线 l ，使它与直线 l 1 以及 x 轴在第
一象限内围成的三角形的面积最小。

解：设 l 与 l 1 的交点为 Q （ x 1， 4x 1）（ x 1＞ 1），则直线 l 的方程为 y － 4 = 4x 1－ 4
x 1－6
(x －
6)
∴ l 与 x 轴的交点为 R （ 5x 1
－
1 ，0）
x 1
2
10x 1
S △＝
x 1－ 1
10x 12－ Sx 1＋ S = 0 由△≥ 0,得： S ≥ 40
当 S ＝40 时， x 1＝2，此时： x ＋ y － 10 = 0
例 14：若向来线 l 被直线 l 1： 4x ＋ y ＋ 6 = 0 和 l 2： 3x － 5y － 6 = 0 截得的线段的中点恰幸亏坐
标原点，求这条直线方程。

解：设 l ： y = kx
y = kx
由
4x ＋ y ＋ 6 = 0
6
得 x = － 4＋k
由
y = kx 3x － 5y － 6 = 0
得 x =
6
3－ 5k
∴－
6
6 1
4＋ k
＋
3－ 5k = 0
k = － 6
得 l ： x ＋ 6y = 0
例 15：已知直线方程 l 1： 2x － 4y ＋ 7＝ 0， l 2： x － 2y ＋ 5＝0，证明 l 1∥ l 2
证明 : 把 l 1、 l 2 的方程写成斜截式 l 1： y ＝1 x ＋ 7 ， l 2： y ＝ 1 x ＋5
2 4 2 2 k 1 k 2 ,b 1 b 2 , l 1 ∥ l 2
例 16：求过点 A （ 1， -4 ）且与直线 2x 3y
5
0 平行的直线的方程 .
2
2
解 : 已知直线的斜率是－ 3 , 由于所求直线与已知直线平行
, 所以它的斜率也是－ 3
.
依据点斜式 , 获得所求直线的方程是 : y 4
2
(x 1)
3
即 2x 3y 10 0 .
例 17：求与直线 l 1：Ax ＋ By ＋ C = 0 平行的直线方程。

解 : ∵所求直线 l 的斜率 k ＝－ A
B
A
∴所求直线方程为： y = － B x ＋ b
即： Ax ＋ By － Bb = 0 也就是 Ax ＋ By ＋ b ′= 0
例 18：乞降直线 2x ＋ 6y － 11=0 平行，且与坐标轴围成的三角形面积为 6 的直线方程。

解 : 设所求直线方程为
2x ＋6y ＋ b=0
则有：（ 0，－
b
b
,0）
6 ）, （－2
∴S=
1
2
b
212
=6
b 2 = 144
b = ± 12
即： 2x ＋ 6y ＋ 12=0 或 2x ＋ 6y － 12=0
例 19：△ ABC 中， A(1 ， 1),B(3 ， 5),C(5 ，－ 1), 直线 l ∥ AC,且 l 均分△ ABC 的面积，求
l 的
方程。

－ 1－1
1
解 : ∵ k =
－2
AC
∴设 l ： y = － 1
2 x ＋ b 且交 AB 于 D ∵ l 均分△ ABC 的面积
∴ BD
1 BD 1 BA
=
2
DA =
2－1= 2＋1
∴ D 点坐标： x = 4＋ 2 6＋ 2
,y =
2＋ 2
2＋ 2
6＋ 2 14＋ 2
则：
－ 2 2＋ 2 ＋ b
2＋ 2=
得 b =
13－ 5
2
2
∴ l ： x ＋ 2y － 13＋ 5 2 = 0
例 20：求过点 A(2,1), 且与直线 2x
y 10 0 垂直的直线 l 的方程 .
解 : 直 线 2x y 10 0 的 斜 率 是 -2, 因 为 直 线 l 与 已 知 直 线 垂 直 , 所 以 它 的 斜 率
为 : k
1 1
2
2
1
( x 依据点斜式 , 获得 l 的方程 : y
1
2), 即 x
2y 0 .
2
解法二 : 设所求直线方程为
x － 2y ＋ b = 0
则： 2－ 2× 1＋ b = 0 得 b = 0
∴ l ： x
2 y 0
例 21：已知三角形两极点是 A( － 10,2),B(6,4),
垂心是 H （ 5， 2），求第三个极点
C 的坐标。

解 : ∵ k BH = 2
∴k AC = －
1
2
1
∴
l
AC
： y －2 = － 2 （ x ＋ 10）
又 BC ∥ y 轴 ∴ C （ 6，－ 6）
解法二 : ∵ k AB =
1
∴ k CH = －8
又 H （5， 2）
8
∴ l CH ： y －2 = － 8（x － 5）
又 BC ∥ y 轴
∴ C （ 6，－ 6）
例 22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程 :
l 1 : x
2 y 2 0,l 2 : 2x y 2 0
解 : 解方程组
x 2 y 2 0 得 x
2
2x y
2 0 y 2
所以 , l
1
与 l 2 的交点是 (2,2).
设经过原点的直线方程为
y
kx , 把点 (2,2) 的坐标代入以上方程 , 得 k 1 , 所以所求直
线方程为 y x.
例 23：已知两条直线 l 1：x ＋ my ＋6=0，l 2：（ m －2）x ＋ 3y ＋ 2m=0，当 m 为什么值时， l 1 与 l 2
（ 1）订交（ 2）平行（ 3）重合
A 1
B 1
1
m
解: 当A 2
=
B 2
时， m － 2 = 3 ，解得 m = － 1 或 m = 3
当 A 1
C 1 1 6
A 2 =
C 2
时，
m － 2 = 2m ，解得 m = 3 ∴（ 1）当 m ≠－ 1 且 m ≠ 3 时， l 1 与 l 2 订交
（ 2）当 m =－ 1 时， l 1∥ l 2
（ 3）当 m = 3 时， l 1 与 l 2 重合。

例 24：已知两条直线 l 1： x ＋ m 2 y ＋6=0， l 2：（m － 2） x ＋3my ＋ 2m=0，问当 m 为什么值时，
解 :
l 1 与 l 2
当 m = 0
（ 1）平行（ 2）重合（ 3）订交
时， l 1： x ＋6 = 0 ， l 2： x = 0
，此时
l 1∥ l 2
当 m ≠ 0 时，
m － 2
= 3m
得 m = 3 或 m = － 1
1
2
m m － 2
=
2m
得 m = 3
1
6
∴（ 1）当 m = 0 或 m = － 1 时， l
1
∥ l 2
（ 2）当 m = 3 时， l 1 与 l 2重合
（ 3）当 m ≠ 0，m ≠－ 1 且 m ≠ 3 时， l 1 与 l 2 订交。

例 25：求点 P 0（ -1 ，2）到以下直线的距离：
（ 1） 2x
y 10 0; (2)3x 2.
2 ( 1)
2 10 10
2 5.
解：（ 1）依据点到直线的距离公式得d
2
2
1
2
5
（ 2）由于直线 3x
2 平行于 y 轴，所以 d
2 ( 1) 5 .
3
3
例 26：求平行线 2x 7 y 8 0 和 2x 7 y 6 0的距离 .
解 : 在直线 2x 7 y
6
0 上任取一点 , 比如取 P (3,0), 则点 P (3,0)
到直线 2x 7 y 8 0 的
距离就是两平行线间的距离
.所以 :
2 3
7 0
8 14
14 53
d
22
( 7) 2
53
.
53
例 27：已知 l 1： Ax ＋ By ＋ C 1＝ 0，l 2： Ax ＋ By ＋ C 2＝ 0，求 l 1 与 l 2 间的距离。

略解：（ 0，－ C B 1
）∈ l 1
C 1
2
2
2 2
d = ︱A ·0＋B ×( － B ) ＋C 2︱/
A ＋
B =︱
C 2 －C 1︱/ A ＋ B
例 28：求与直线 3x － 7y ＋ 5 = 0 的距离为 2 的直线方程。

解：
设 P （x ， y ）是所求直线上一点，则：
︱ 3x －7y ＋ 5︱
= 2
9＋49
︱ 3x －7y ＋ 5︱= 2 58
∴ 3x － 7y ＋ 5± 2 58 = 0
例 29：求两直线 l 1： x ＋ y － 2 = 0， l 2： 7x － y ＋ 4 = 0 所成角的均分线方程。

解一：设 P （ x,y ）是角均分线上随意一点，则：
︱ x ＋ y － 2︱ ︱ 7x － y ＋ 4︱
= 5 2 得 5（ x ＋y － 2）＝±（ 7x － y ＋ 4）
2
即： x － 3y ＋ 7 = 0（舍）或 6x ＋ 2y － 3 = 0
解二：∵ k 1= －1， k 2= 7
k ＋1 7－ k 1 ∴ ＝
1＋ 7k 得 k = 3 （舍）或 k = － 3 1－ k
例 30：求过点 P （ 1， 2）且与两点 A （ 2，3）， B （ 4，－ 5）距离相等的直线 l 的方程。

解：∵ l 与 x 轴不垂直
∴可设 l 的方程为： y － 2 = k (x －1) 即： kx － y ＋ 2－k = 0
︱ 2k － 3＋ 2－ k ︱ ︱ 4k ＋ 5＋ 2－ k ︱ 得： k 2 ＋1 =
k 2＋ 1
3 k = －2 或 k = － 4
∴所求直线方程为： 4x ＋ y － 6 = 0 或 3x ＋ 2y － 7 = 0
例 31：求过点 P （ 1， 1）且被两平行直线
3x －4y － 13 = 0 与 3x － 4y ＋ 7 = 0 截得线段的长为
4 2 的直线方程。

︱ 7－ (－ 13)︱
= 4
解：∵两平行线间的距离为：
32
＋4
2
∴所求直线与平行线的夹角为45 0 ，设其斜率为 k ，则：
3
k －4
解得 k = － 1
︱
︱ = 1
或 k = 7
3
7
1＋ 4
k
所求直线方程为： y － 1 = 7(x － 1) 或 y － 1 = －
1
7 (x －1)
即： 7x － y － 6 = 0 或 x ＋7y － 8 = 0
例 32：求经过两已知直线
l 1： x ＋ 3y ＋ 5 = 0 和 l 2：x － 2y ＋ 7 = 0 的交点及点 A （ 2，1）的直线
l 的方程。

略解： x ＋ 3y ＋ 5＋ λ (x －2y ＋7) = 0
10
将 A （ 2， 1）代入得： λ ＝－ 7
∴ l ： 3x － 41y ＋ 35 = 0
例 33：设直线方程为（ 2m ＋ 1） x ＋（ 3m － 2） y － 18m ＋ 5 = 0，求证：无论 m 为什么值时，所
给的直线经过必定点。

略证：方程化为 x －2y ＋ 5＋m （2x ＋ 3y －18） = 0
x － 2y ＋ 5 = 0
∴
得（ 3， 4）
2x ＋3y － 18 = 0。