人教A版数学选修2-2练习：1.2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (二) 巩固提升

[学生用书P75(单独成册)]
[A 基础达标]
1．(2019·山东潍坊高二模拟检测)函数f (x )＝(2πx )2的导数是( )
A ．f ′(x )＝4πx
B ．f ′(x )＝4π2x
C ．f ′(x )＝8π2x
D ．f ′(x )＝16πx
解析：选C.f ′(x )＝2×2πx ×2π＝8π2x .
2．函数y ＝cos(－x )的导数是( )
A ．cos x
B ．－cos x
C ．－sin x
D ．sin x
解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x .
法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，
所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .
3．曲线y ＝e 2x 在点(0，1)处的切线方程为( )
A ．y ＝12
x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋1
解析：选D.由y ＝e 2x ，可得y ′＝2e 2x ，
令x ＝0，可得y ′|x ＝0＝2，
所以曲线y ＝e 2x 在点(0，1)处的切线方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.
4．已知曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1
在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( ) A ．1
B ．－1
C ．7
D ．－7
解析：选C.因为f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2
，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，所以a ＝7.
5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )
A ．e －1
B ．－1
C ．－e －1
D ．－e
解析：选C.因为f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，
所以f ′(x )＝2f ′(e)＋1x
， 所以f ′(e)＝2f ′(e)＋1e
，
解得f ′(e)＝－1e
，故选C. 6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x
，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________． 解析：f ′(x )＝（sin x ）′（1＋cos x ）－sin x （1＋cos x ）′（1＋cos x ）2
＝cos x （1＋cos x ）－sin x （－sin x ）（1＋cos x ）2
＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x （1＋cos x ）2
＝
cos x ＋1（1＋cos x ）2 ＝11＋cos x
. 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝
11＋cos π3＝23. 答案：23
7．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.
解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得
f ′(x )＝4ax 3＋2bx .
因为f ′(1)＝2，
所以4a ＋2b ＝2，
即2a ＋b ＝1.
则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2.
法二：因为f (x )是偶函数，
所以f ′(x )是奇函数，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(1)＝2，
所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.
答案：－2
8．已知f (x )＝e x x
，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________． 解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x （x －1）x 2
(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，
得e x 0（x 0－1）x 20＋e x 0
x 0
＝0. 解得x 0＝12
.
答案：12
9．求下列函数的导数．
(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；
(2)y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1
； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；
(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.
解：(1)法一：y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，
所以y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝18x 2＋4x －3.
法二：y ′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋3(2x 2－1)＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.
(2)y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋1－2x x 2＋x ＋1＝1－2x x 2＋x ＋1
， 所以y ′＝－2（x 2＋x ＋1）－2x （2x ＋1）（x 2＋x ＋1）2＝2x 2－2（x 2＋x ＋1）2
. (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝3x e x (ln 3＋1)－2x ln 2.
(4)令u ＝12x ＋π4，则y ＝sin u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(sin u )′·⎝⎛⎭⎫12x ＋π4′＝cos u ·12＝12
cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4. 10．(2019·河北承德高二期末)已知函数f (x )＝(x ＋2)e x .
(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)设g (x )＝f （x ）（x ＋2）2
，计算g (x )的导函数． 解：(1)f ′(x )＝(x ＋3)e x ，则f ′(0)＝3.
又f (0)＝2，所以所求切线方程为y －2＝3x ，即y ＝3x ＋2.
(2)g (x )＝e x
x ＋2，g ′(x )＝e x （x ＋2）－e x （x ＋2）2＝e x （x ＋1）（x ＋2）2
. [B 能力提升]
11．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a ＝( ) A.12
B ．1
C ．－32
D ．－1
解析：选C.因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，
所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x
，所以f ′(1)＝1＋a .
又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，
所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32
，故选C. 12．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )
A ．26
B ．29
C ．212
D ．215
解析：选C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.
13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．
解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)，
所以a ＋b ＋c ＝1.①
因为y ′＝2ax ＋b ，
所以4a ＋b ＝1.②
又因为抛物线过点Q (2，－1)，
所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③
联立①②③，
解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.
14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )．
(1)求f (1)＋f ′(1)；
(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．
解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f (x )＝ax 2＋ln x ，
得f ′(x )＝2ax ＋1x
， 所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.
(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，
＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x
存在零点， 即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x
＝0有正实数解， 即2ax 2＝－1有正实数解，
故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．
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