直线与平面的夹角

则 则BB→ →CC则＝ ＝B→((11C,,＝11,,00())1， ，,1,BB0→ →MM)，＝ ＝B→M00， ，＝1212， ，0，121212， ，，AA→ →12DD，＝ ＝A→((D00,,＝11， ，(0－ －,111，))..－1).
设平面 MBC 的法向量 n＝(x0，y0，z0)，
3.2.3 直线 和平面的夹角
青云学府 马炳峰
学习目标
1.知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜 线和平面所成角的概念，并会求直线和平面所 成的角。 2.过程与方法：知道最小角定理的证明过程。 3.情感态度与价值观：通过运用相关知识解决 实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热 情和兴趣。.
探求新知：
22
6, (1)2 02 02 3
所以cos 1 sin2 1 ( 6 )2 3 . 33
方法二：由(1)知CD⊥平面ABD ，
6 所以 tan sin 3 2.
cos 3
3
定义法
所以∠CMD为直线CM与平面ABD所成角。
在Rt△CDM中，CD=1,DM=
(1)求证：AB⊥CD； (2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与 平面 MBC 所成角的正弦值.
.
解题分析
（1）由平面ABD⊥平面BCD,推得AB⊥平面BCD,进而证 明AB⊥CD. (2)以B为坐标原点建立空间直角坐标系,求相关点的坐 标,相关向量的坐标,由向量的线面角公式求得.
规 范 解 答 ·分 步 得 分
5
3.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)
ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2 2 ,
则AC1与侧面ABB1A1的夹角为__________. 6
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2， BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角
的正弦值为_____1___． 3
课堂总结
求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法： ①传统立体几何的综合推理法：通过射影 转化法作出直线与平面所成的线面角，然后 在直角三角形中求角的大小. ②空间向量的坐标法：建系并确定点及向量 的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标 运算求得直线和平面所成的角.
谢谢，再见！
求的角”的句子.
例 2.(2017·北 京 ) 如 图 ， 在 四 棱 锥 P—ABCD 中 ， 底 面 ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段 PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝ 6，AB＝4. (1)求证：M为PB的中点； (2)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
证明 设AC，BD交于点E，连接ME，如图所示. 因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME， 所以PD∥ME. 因为四边形ABCD是正方形， 所以E为BD的中点， 所以M为PB的中点.
依 依题 题意 意依， ，题得 得意BB，((得00,,00B,,00())0， ，,0CC,((011),,，11C,,00())1， ，,1DD,0((00)，,,11D,,00())0， ，,1AA,((000),,，00A,,11())0， ，,0MM,100)，， ，M1212， ，0，121212..，612分.
6 .
所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为296.
当堂检测
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余 弦值为( D )
2 A. 3
3 B. 3
2
6
C.3
D. 3
2A．A1如＝图1，，则在B长C方1与体平A面BCBDB1-AD11BD1所C1成D角1中的，正A弦B＝值B为C_＝_12_0，___.
则 P(0,0， 2)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，B→D＝(4，－4,0)，P→D＝(2,0，－ 2).
设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，
n·B→D＝0， 则n·P→D＝0，
即42xx－－4y2＝z＝0，0.
令 x＝1，则 y＝1，z＝ 2.
于是 n＝(1,1， 2).
则nn··BB→→CM＝＝00，，
x0＋y0＝0， 即12y0＋12z0＝0.
取 z0＝1，得平面 MBC 的一个法向量 n＝(1，－1,1). 10分 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ，
则 sinθ＝|cos〈n，A→D〉|＝|nn|·|AA→→DD|＝ 36，
探究一：在公式cosθ=cosθ1 cosθ2中θ，θ1，
θ2是怎样的角？
探究二：如何求直线和平面所成的角?
如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α
的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,
两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=
_____.
|e·n|
|e||n|
Hale Waihona Puke 1：(2014年福建)在平面四边形 ABCD 中，AB ＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD 折起，使得平面 ABD⊥平面 BCD，如图.
以 以
BB以为 为B坐 坐标 标为原 原坐点 点标， ，原分 分点别 别，以 以分BB别→ →EE以， ，B→BB→ →EDD，， ，B→BB→ →DAA，的 的B→方 方A向 向的为 为方向xx为轴 轴， ，x yy轴，y
轴 轴， ，zz轴轴 轴，的 的z 正 正轴方 方的向 向正建 建方立 立向空 空建间 间立直 直空角 角间坐 坐直标 标角系 系坐((标如 如系图 图(如DD44图11))D.. 41).
解析 方法一：由本例(2)解析知
CM (1， 1 , 1), 22
而平面ABD的一个法向量CD =(-1,0,0).
在求平面的法向量时,若能找出 平面的垂线,则垂线上取两个点
可构成一个法向量
设CM与平面ABD所成的角为θ，
则sin θ=|cos〈 CM，CD 〉|

1
(1)2 ( 1)2 (1)2
(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD
＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
又 CD⊂平面 BCD，∴AB⊥CD.
4分
(2)解：如图，过点B 在平面BCD 内作BE⊥BD.
由(1)知，AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴AB⊥BE，AB⊥BD.
即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 36.
12分
构建答题模板
第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线. 第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标. 第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量. 第四步 求夹角：计算向量的夹角. 第五步 得结论：得到所求直线和平面所成的角.
2 , 所以 tanCMD CD 1 2.
2
DM 2
2
题后反思
求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：
(1) 在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各 点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方 法比较简便.
(2) 用非向量方法求角时，要做到“一找二证三
求”，在解题过程中一定要出现形如“∠ 就是所要
解 解由题由意题知意M知－M1，－21，，222，，2C2(，2,4C,0(2)，,4,0)， M→C＝M→C3，＝23，，－2，22－. 22.
设直线MC与平面BDP所成的角为α，则
sin
α＝|cos〈n，M→C〉|＝||nn|·|MM→→CC||＝29
题后反思
解答本题有三点容易出错: (1)在第(1)问证明AB⊥CD时,易忽视交待面面垂直性质定理的条 件及CD⊂平面BCD. (2)将相关点,相关向量的坐标及平面的法向量计算错. (3)将直线的方向向量与平面的法向量的夹角误认为直线与平面 所成的角.
变式训练
在本例(2)的条件下,求直线CM与 平面ABD所成角的正切值.
解 取AD的中点O，连接OP，OE. 因为PA＝PD，所以OP⊥AD， 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且 OP⊂平面PAD， 所以OP⊥平面ABCD. 因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE. 因为四边形ABCD是正方形， 所以OE⊥AD， 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，