初中数学竞赛辅导资料(2)

初中数学比赛指导资料（
8）
抽屉原则
甲内容大纲
1， 4 个苹果放进 3 个抽屉，有一种必定的结果：最稀有一个抽屉放进的苹
果好多于 2 个（即等于或多于 2 个）；假如 7 个苹果放进 3 个抽屉，那 么最稀有一个抽屉放进的苹果好多于 3 个（即的等于或多于 3 个），这 就是抽屉原则的例子。

2， 假如用
m
表示不小于
m
的最小整数，比方
7
＝3，
6
2 。

n n
3 3 那么 抽屉原则可定义 为：m 个元素分成 n 个会集（ m 、n 为正整数 m>n ）,
m
则最稀有一个会集里元素好多于 n 个。

3， 依据 m 的定义，己知 m 、 n 可求 m ；
n
n
己知 m
，则可求
m
的范围，比方己知
m
＝3，那么 2＜
m
≤3；
n n
n
n
己知 x ＝ 2，则 1＜ x
≤ 2，即 3＜ x ≤ 6，x 有最小整数值 4。

3 3
乙例题
例 1 某校有学生 2000 人，问最稀有几个学生诞辰是同一天？
剖析：我们把 2000 名学生看作是苹果，一年
365 天（闰年 366 天）看作是 抽屉，即把 m （ 2000）个元素，分成 n(366) 个会集，最稀有一个会集的元素 好多于 m
个
n
解：∵ 2000
5 17 ∴ 2000
＝ 6
366 366
366
答：最稀有 6 名学生的诞辰是同一天
例 2 从 1 到 10 这十个自然数中，任意取出
6 个数，此中最稀有两个是倍
数关系，试说明这是为何。

解：我们把 1 到 10 的奇数及它们的倍数放在同一会集里，则可分为 5 个集 合，它们是：｛1， 2， 4，8，｝，｛ 3， 6，｝，｛5， 10｝，｛ 7｝，｛ 9｝。

∵要在 5 个会集里取出 6 个数， ∴最稀有两个是在同一会集，而在同一会集里的任意两个数都是倍数关 系。

（本题的要点是划分会集，想想为何
9 不可以放在 3 和 6 的会集里）。

例 3 袋子中有黄、 红、黑、白四种颜色的小球各 6 个 ,请你从袋中取出一些
球，要求最稀有 3 个颜色相同，那么最少应取出几个才有保证。

剖析：我们可把 4 种球看作 4 个抽屉（ 4 个会集），最稀有 3 个球同颜色，
看作是最稀有一个抽屉好多于 3 个（有一个会集元素好多于 3 个）。

解：设最少应取出
x 个，用｛ x
｝表示不小于 x
的最小整数，那么
4
4
｛ x ｝＝ 3， ∴ 2＜ x ≤ 3，
即 8＜ x ≤12， 最小整数值是 9。

4
4
答：最少要取出 9 个球，才能保证有三个同颜色。

例 4等边三角形边长为2，在这三角形内部放入 5 个点，最稀有 2 个点它们的距离小于1，试说明原由。

解：取等边三角形各边中点，并连成四个小三角形（如图）它们边长等于1，∵5 个点放入 4 个三角形，∴最稀有 2
个点放在同一个三角形内，
而同一个三角形内的 2 个点之间的距离必小于边长1。

丙练习 8
1，初一年重生从全县17 个乡镇招收50 名，则最稀有＿人来自同一个乡镇。

2，任取 30 个正整数分别除以7，那么它们的余数最稀有＿＿个是相同的。

3，在 2003m中，指数 m 任意取 10 个正整数，那么这 10 个幂的个位数中相同的最少于＿＿个 .
4，暗室里放有四种不一样样规格的祙子各30 只，为保证取出的祙子最稀有1双（ 2 只同规格为 1 双）那么最少要取几个？若要保证10 双呢？
5，袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各 6 个，请你取出一些球，要保证最稀有 4 个同颜色，那么最少要取几个？
6，任意取 11 个正整数，最稀有两个它们的差能被10 整除，这是为何？
7，右图有 3 行 9 列的方格，若用红、蓝两种颜色
涂上，则最稀有 2 列的涂色方式是相同的，试说明这是为何。

8，任意取 3 个正整数，此中必有两个数它们的均匀数也是正整数。

试说明原由。

9， 90 粒糖果分给13 个儿童，每人最少分 1 粒，无论如何分，总有两人分得相同多，这是为何？
10， 11 个互不一样样的正整数，它们都小于20，那么必定有两个是互质数。

（最大合约数是 1 的两个正整数叫互质数）
11，任意 6 个人中，也许有 3 个人他们之间都相互认识，也许有3个人他们之间都互不认识，两者必居其一，这是为何？。