新密市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

新密市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．
设向量
，满足：
||=3，
||=4
，
=0
．以
，
，
﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
……… 内的概率为（ ）
A.
3
4
B.
38
C.
14
D.
18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 3．
求值： =（ ）
A ．tan 38° B
．
C
．
D
．﹣
4． 为了得到函数
y=sin3x 的图象，可以将函数
y=
sin （
3x+
）的图象（ ）
A
．向右平移个单位 B
．向右平移个单位 C
．向左平移个单位 D
．向左平移
个单位
5． 由直线
与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A B1
C D
6． 已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，
Q 是直线PF 与抛物线C
的一个交点，若PQ =
，则直线PF 的方程为（ ）
A ．20x y --=
B ．20x y +-=
C ．20x y -+=
D ．20x y ++=
7．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）
A．232 B．252 C．472 D．484
8．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）
A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1
9．已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（）
A．2 B．C．D．13
10．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）
A．B．C．D．
11．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，
末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（）A．33% B．49% C．62% D．88% 12．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（）①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值②DC1⊥D1M
③∠AMD1的最大值为90°④AM+MD1的最小值为2．
A．①②B．①②③ C．③④D．②③④
二、填空题
13．设A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，A∩B=B，则a的取值范围是．
14．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．
15．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．
16．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________
17．如果椭圆
+
=1弦被点A （1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．
18．给出下列命题：
①把函数y=sin （x ﹣
）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin （2x ﹣）；
②若α，β是第一象限角且α＜β，则cos α＞cos β；
③x=﹣
是函数y=cos （2x+π）的一条对称轴；
④函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣
）相同；
⑤y=2sin （2x ﹣
）在是增函数；
则正确命题的序号 ．
三、解答题
19．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．
20．（本小题满分12分）
数列{}n b 满足：122n n b b +=+，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .
21．（本小题满分12分）一直线被两直线12:460,:3560l x y l x y ++=--=截得线段的中点是P 点, 当P 点为()0,0时, 求此直线方程.
22．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且
AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．
23．已知等差数列{a n }，满足a 3=7，a 5+a 7=26． （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n ；
（Ⅱ）令b n =
（n ∈N *
），求数列{b n }的前n 项和S n ．
24．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
新密市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，
∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，
对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，
但5个以上的交点不能实现．
故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．
2．【答案】B
【解析】
3．【答案】C
【解析】解：=tan（49°+11°）=tan60°=，
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，
即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．
5．【答案】D
【解析】由定积分知识可得，故选D。

6．【答案】B
【解析】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．
7．【答案】
C
【解析】【专题】排列组合．
【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有
种取法，由此可得结论．
【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红
色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C．
【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）
∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立
即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立
∵1﹣3x2≥0成立
∴a＞0
故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．9．【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得=||||cos＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
==．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．10．【答案】C
【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．
11．【答案】B
【解析】
12．【答案】A
【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积
为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值，故①正确．
②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．
③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．
因此只有①②正确．
故选：A．
二、填空题
13．【答案】a≤0或a≥3．
【解析】解：∵A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=B，
∴B⊆A，
则有a+1≤1或a≥3，
解得：a≤0或a≥3，
故答案为：a≤0或a≥3．
14．【答案】甲．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
15．【答案】（，0）．
【解析】解：y′=﹣，
∴斜率k=y′|x=3=﹣2，
∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3），
整理得：y=﹣2x+9，
令y=0，解得：x=，
故答案为：．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．
16．【答案】
【解析】【知识点】抛物线双曲线
【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;
双曲线的两条渐近线方程为：
所以
故答案为：
17．【答案】x+4y﹣5=0．
【解析】解：设这条弦与椭圆+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），
由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，
把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x2+4y2=36，
得，
①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
∴k==﹣，
∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1），
即为x+4y﹣5=0，
由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0．
故答案为：x+4y﹣5=0．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．
18．【答案】
【解析】解：对于①，把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得
到函数y=sin（2x﹣），故①正确．
对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=，故②错误．
对于③，当x=﹣时，2x+π=π，函数y=cos（2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函
数y=cos（2x+π）的一条对称轴，故③正确．
对于④，函数y=4sin（2x+）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2）=4cos（2x﹣），
故函数y=4sin （
2x+）与函数y=4cos （2x
﹣）相同，故④正确．
对于⑤，在上，2x
﹣∈，函数y=2sin （2x
﹣
）在上没有单调性，故⑤错误，
故答案为：①③④．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A ，
由正弦定理得
，则，
∴
，得
cosA=
，
由余弦定理得，
cosA=
=
，
∴
=，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，
cosA=，
又0＜A ＜π，∴
sinA=
=，
∴△ABC 的面积
S=
=
=
．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
20．【答案】（1）122n n b +=-；（2）222(4)n n S n n +=-++． 【解析】
试题分析：（1）已知递推公式122n n b b +=+，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得n b ，变形形式为12()n n b x b x ++=+；（2）由（1）可知122(2)n
n n n a a b n --==-≥，这是数列{}n a 的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+
211()a a a +-+求得．
试题解析：（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵12
22
n n b b ++=+，
又121224b a a +=-+=，
∴2312(21)
(2222)22222221
n
n
n n a n n n +-=++++-+=
-+=-- .
∴224(12)(22)
2(4)122
n n n n n S n n +-+=
-=-++-. 考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 21．【答案】1
6
y x =-． 【解析】
试题分析：设所求直线与两直线12,l l 分别交于()()1122,,,A x y B x y ,根据因为()()1122,,,A x y B x y 分别在直线
12,l l 上，列出方程组，求解11,x y 的值，即可求解直线的方程. 1
考点：直线方程的求解. 22．【答案】证明见解析．【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵a 5+a 7=26 ∴a 6=13
，
，
∴a n =a 3+（n ﹣3）d=2n+1； （Ⅱ）由（1
）可知，
∴
．
24．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由114n n n n
a a a a ++-=
+得22
14n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）
∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得n a =． （6分）
（Ⅱ）∵
111
2
n n a a +==+， （9分）
∴数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和为
1111
1)1)2222
+++= ． （12分）。