1995考研数三真题及解析

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) ⑴设 f(x)二—，则 f ⑺(x)二
.
1 +x
⑵设 z =xyf C), f (u)可导,则 xZ x yZy =
.
x (3)设 f (In x) =1 x ,则 f (x)二
.
1 0 0、
⑷设A = ：2 2 0 ,A 用是A 的伴随矩阵，则(AJ 」= ______________ .
⑸设X 1,X 3」f,X 5是来自正态总体N(」f 2
)的简单随机样本，其中参数丿和二2未
1 n
n
知，记X X i Q 2八(X i -X)2,则假设H 。

： —0的t 检验使用统计量 n i 二
y
t = _____ .
、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只
(1) 设f (x)为可导函数，且满足条件 四
(1,f(1))处的切线斜率为()
1
(A) 2 (B) -1 (C) (D) -2 (2) 下列广义积分发散的是()
1
1 dx (B) .j 2
dx 寸1 —x
■be 2
-be 1
e 」dx(D) .2 -dx (C) 0 0 2
xln x ⑶设矩阵A m n 的秩为r(A) =m ::: n , E m 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是()
(A) A 的任意m 个行向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足BA = 0,则B = 0
(D) A 通过初等行变换，必可以化为(E m ,0)的形式
(4)设随机变量X 和Y 独立同分布，记U =X -Y,V =X ，Y ,则随机变量U 与V 必
有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
f(1)-f(1-x)
=-1，则曲线y = f (x)在点
2x 1
1
(A)工—— J
sin x 丄
2
-
(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零(D)相关系数为零
⑸设随即变量X 服从正态分布N(*2),则随匚的增大，概率Pfx 一」1()
(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定 三、 (本题满分62分)_cosx), xcO
x
设f(x)=2 1, x =0,试讨论f (x)在x=0处的连续性和可导性.
1 x
2 四、 (本题满分6-分C ost dt, x>0
.x
已知连续函数f(x)满足条件f (x)二:
-e 2x ,求 f (x).
、0 13 丿 五、 (本题满分6分)
将函数y =1 n(1 - x -2x 2)展成x 的幕级数，并指出其收敛区间. 六、 (本题满分5分)
:: ::
(x 2 ,y 2)
计算 min{x, y}e 4 )dxdy.
七、 (本题满分6分)
设某产品的需求函数为Q 二Q(p),收益函数为R 二pQ ,其中p 为产品价格,Q 为需求量(产品的产量),Q(p)为单调减函数.如果当价格为p °,对应产量为Q 0时，边 际收益
dR
二a 0 ,收益对价格的边际效应dR
dp
E p 二 b 1.求 p 。

和 Q. 八、(本题满分6分)
设f (x)、g(x)在区间[-a, a] (a - 0)上连续,g(x)为偶函数,且f (x)满足条件 f(x) f (-x)二
A (A 为常数).
a
a
(1) 证明飞 f (x)g(x)dx 二 A 0 g(x)dx ；
⑵利用(1)的结论计算定积分J±|sinx arctane x dx.
2
九、（本题满分9分）
已知向量组（I ） ： 1, ： 2^ 3 ；（儿）宀，〉2, >3,〉4 ；（川）>1, >2,〉3,〉
dR
dQ
Q=Q
二c ：：：0 ,需求对价格的弹性
5,如果各向量组
的秩
分别为r（I）二r（ll） =3,r（lll）=4.
证明:向量组>1, >2, >3, >5 -爲的秩为4.
十、（本题满分10分）
已知二次型 f （%, x2,x3）=4x；-3xf 4%x2 -4^X3 8x2x3.
（1）写出二次型f的矩阵表达式；
（2）用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
十、（本题满分8分）
假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，
经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了
n（n 一2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：
（1）全部能出厂的概率；
⑵其中恰好有两台不能出厂的概率1 ;
⑶其中至少有两台不能出厂的概率二.
十二、（本题满分8分）
已知随机变量X和Y的联合概率密度为
X4xy, 0_x_1,0_y_1, f（x'y）=i0y其他，y
求X和Y联合分布函数F（x,y）.
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
(1) 【答案】DY
(1+X )T
【解析】由于心)」"2 _1 =2(1 • x)」一1,
1+x 1 +x
f (x)=2 (-1)(1 X )3
f (x) =2 (一1)(一2)(1 x)",IH, 所以 f (n)(x) =2 (-1)n n!(1 x)』。

=2(-1)
烈.
(1 x)n 1
⑵【答案】2xyf 丫
l x 丿
【解析】根据复合函数求导法则，
z^ yf - xyf ' 一占=yf y . x 1 x y
所以 ssxyf 「“「xy f 「 y = (f(x))的导数为 y = ：
(f(x)) f (x).
(3) 【答案】x e x C
【解析】在f (In x) = 1 • x 中令In x =t ,贝U f (t^1 e t ，从而
【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题，它是根据具体情况和问题的 要求，首先提出原假设H 。

,再由样本提供的信息，通过适当的方法来判断对总体所 作的假设H 。

是否成立.
首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值 J 的假设检验问 题.据此类型应该选取t 检验的统计量是
【相关知识点】
)0
1 (Xu
1
(4)【答案】一
10
【解析】由
1 0 0
2 4
一一
*
而 A|= 2 2 0 =10 , /
厂
所以A
则 10 (5)【答案】x ：n=r ) Q
t
t
x
e dt =t e C=
f (x) = x e C .
A
-J A
，有A A S A 社
0、 0 .
5>
=2xyf
/E
1
dx
r
丄
J sin x
dx 收敛的充要条件是两个反常积分 1
=+oO 2 0
1
1 而且L —— J sin x
1 1 [ x
由于广义积分 0一 dx=ln tan —
°sinx l : 丄dx ,
sin x
1
1
1
一 dx 与0 ------- dx 都收敛.
_ sin x 0
sin x
X - ％
X
t
0 -
X ______
经过化简得t= — yn(n -1). Q N
【相关知识点】假设检验的一般步骤： (1) 确定所要检验的基本假设H o ；
(2) 选择检验的统计量，并要求知道其在一定条件下的分布；
(3) 对确定的显著性水平 二查相应的概率分布，得临界值,从而确定否定域; (4) 由样本计算统计量，并判断其是否落入否定域，从而对假设H 。

作出拒绝还是接 受的判断.
、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)
故应选(A).
注：对于本题选项(A),由于当x =0时sin x =0,故在积分区间［-1,1］中x 二0是瑕点, 1
1 反
常积分」——
-si nx
一1
(X i -X)2
n(n -1) i j
【解析】因f ⑴
lim X —0
f (1 Lx) - f (1)
所以应选(D). =2lim ^_0
X 一「X lim f (1 — X )- f ⑴ f (1) —时戎匸x m 0 x
f(1)— f(1—x) _ 2 2x
-x (2)【答案】 (A)
【解析】 由计算知 且泊松积分 ：
/dx = 1
1
[I dx = arcs in x 二 J 1 _x 2
：
：1 门 1
—dx =—— 2iln 2x lnx •二
T ,
=兀
1 2 —|n2‘ dx 应分解为两个反常积分之和：
1
1
1
1
即 ---- dx 发散，故
一dx 发散.
10
sinx
'-1 sinx
1 1 1
在此不可误以为 —是奇函数，于是 'dx=O ,从而得出它是收敛的错误结
si nx 、」si nx 论.
⑶【答案】(C)
【解析】r(A)二m 表示A 中有m 个列向量线性无关，有m 阶子式不等于零，并不
是任意的，因此(A)、(B)均不正确.
经初等变换可把A 化成标准形，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只
f O 1 0)
用一种不一定能化为标准形•例如
，只用初等行变换就不能化成(E 2,0)
(001,
的形式，故(D)不正确•
关于(C),由BA =0知r(B) r(A)乞m ,又r(A)二m ,从而r(B)乞0,按定义又有
r(B) _ 0,于是 r(B) =0,即卩 B =0 .故应选(C).
⑷【答案】(D)
【解析】Cov(U,V)二 Cov(X -Y,X Y).
二 Cov(X,X Y) -Cov(Y,X Y)
-Cov(X,X) Cov(X,Y) -Cov(Y,X) -Cov(Y,Y) =DX - DY .
由于X 和Y 同分布，因此DX 二DY ，于是有Cov(U,V) = 0.
所以U 与V 的相关系数也为零，应选(D). 【相关知识点】协方差的性质：
Cov(aX,bY)二 abCov(X,Y)；
Cov(X 「X 2,Y) =Cov(X 1,Y) Cov(X 2,Y).
由相关系数的计算公式 —Cov(X,Y)
V D ^T D Y
(5) 【答案】(C)
【解析】由于xL NC点2),将此正态分布标准化，故N 0,1 ,
a
计算看出概率p{x 一艸＜CJ }的值与er 大小无关.所以本题应选(C). 三、(本题满分6分)
【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题
•一般要用
连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和 四、(本题满分6分)
【解析】首先，在变上限定积分中引入新变
量
3x
t
f dt =3 f(s)ds . 0 3 0
X
“
代入题设函数f(x)所满足的关系式，得f (X )=3.° f (s)ds e
在上式中令X = 0得f (0) =1，将上式两端对x 求导数得
f (x) =3f (x) 2e 2x .
由此可见f (X)是一阶线性方程f (x) -3f(x) =2e 2x 满足初始条件f (0) =1的特解. 用e"同
乘方程两端，得f(x)e^X =2「,积分即得f(x)二Ce 3x -2e 2x . 由f (0) =1可确定常数C =3,于是,所求的函数是f (x) = 3e 3x -2e 2x . 五、(本题满分6分)
【解析】由1-x-2x~(1-2x)(1 x)知
右导数.
故 f (0 0)=
2 1 x 2
2 = lim —22— -1,
X x X,2 _ X P- x
cosx 2 =lim 1,
X ■
1
连续t 2dt -1
即 f (0) = f _(0) =0 lim f (x) =lim 2(^ cosx)
f c6St 2dt
问3)=网 —
瓯紀业f )在XQ
x-0
7*2 x
f x r x)_f (0)
p(1_cosx)—1
f (0) = lim
cOsI 2dt 年 lim x 2一1 ----
_ =制：
——H?m
严X
才
1
= lim 」
7 2(1 _cOsx)-x 2 7 2sin x-2?^ 2
々( ，故mg 在 x x 3。

处可导X 且r(03X 20. pm
1
4
X
—7
COSX-1)
0.
6x s=3,于是
ln(1 一x - 2x2) = ln(1 一2x) In(1 x).
2 3 n
因为 In(1 x) =x x
(_i )n
|||,
2 3 n 其收敛区间为(
-1,1)； 2 3 n
又 In (1_2x)=(—2x)—^^ •旦 M)n1^^ III,
2 3 n 其收敛区间为-1,】• I 2 2丿 于是有 In(1 _x_2x 2) =「(—1)
/ 」二L
其收敛区间为-1,1
.
I
2 2丿 【相关知识点】收敛区间：若幕级数 2、n (_“n1 (-2x)n
n n 1 n
八 2x n n 丄 是开区间(-R,R);若其收敛半径是
Q Q a n x n 的收敛半径是正数R ,则其收敛区间 n =S ■::，则收敛区间是(-"'，=).
六、(本题满分5分) 【解析】方法一：本题中二重积分的积分区域D 是全平面,设a 0, D a ・：(x,y)|-a 乞 x _ a, —a _ y _ a ：
, 则当a —」时，
有D a —；
D .从而 I = min{x, y}e'x y )dxdy lim i imin{x, y}e'x y )dxdy.
亠二 j^D a 注意当 x - y 时,min{ x, y} = x ;当 x y 时,min{ x, y}二 y .于是 ! imin{ x, y}e" y)
D a
a y _£x 2 +v 2) dxdy dy xe‘ y )dx dx ye
.a . a . a . a 且 a x {2 2、
1 dx ye 4x y )dy = - dx e ■-a '-a
2 '-a '-a 1』 e , 由于__e"dx ，
从而可得
a x -(x 2 y 2) 2 2
1
d(x +y ) =; L(e 2」
a
" e dx. -a a 2
1
b dx 2
''□DO 同理可得
方法
a 4x 2 -a 2) a 2
e x dx -a
a x
衣叫汁0-
和鮎 t=42x lim
---
--------- 2:2 a _?:-
a y 丄 x 2 4y 2 ) y H
lim dy xe 4 )dx
亠 2、
2 ■ “'2 二
、2 __ 2 .
设R 0，则圆域D R 」.(x, y) | x 2 y^ R 2 当R > ::时也趋于全平面，从
a im^dx^ye
e'dt 二- '、二
2、2 .
HzC
( 2 2 )
( 2 2 )
I
min{x,y}e'x y )dxdy lim
min{x, y}e'x y )dxdy.
R D R
引入极坐标系 x 二rcosdy 二rsi ，贝U
-
5 一
当 0 与
2 二 时,mi n{ x, y} = y = r si nr ;
4 4
5:： 当
时,min{ x, y} = x = r COST .
4
4
于是 iimin{x,y}e'x y )dxdy
D R
/
R 2
工
2
丁
R 2 j2
2
二
R 2
=o'
sinrd o r e dr 亠 i 4
cos^d o r e dr 亠 i 5
二sin vd o r e dr R 2 4 - 2-
r e dr °4si n 4
cosrd 【亠 15-s in rd) - -2.2 。

0 IL 0
4 T 0
R
2 r 2
R r 2
r e dr = . 2 lim rd (e )
':e’dr —昭 【解析】本题的关键
在于p 和Q 之间存在函数关系，因此R = pQ 既可看作
p 的函
数也可看作Q 的函数，由此分别求出箒及焙并将它们与弹性已卩咄器联系 起来,进而求得问题的解.
【解析】(1)由要证的结论可知，应将左端积分化成'-0,a 1上的积分，即
a
a
〜f (x)g(x)dx 二」(x)g(x)dx ° f (x)g(x)dx.
R r 2
e#dr. 由此可得I = -2迈lim _ - =2 lim re"
R >：：
七、(本题满分6分)
〜dr …"U
2 2
由Q 二Q(p)是单调减函数知 这表明题设 存在反函数
E p 二b 1应理解为
p =
P(Q)且生 1 dQ
dR = pQ^ = p
齐。

,从而需求对价格的弹性E p 詰齐0,
E p =-E p=b>1.又由Q=Q(p)是单调减函数知
dQ
•由收益R = pQ 对Q 求导，有
—dp 十 p . . . 1 . dQ ，「dQ p _p dQ
P o (1-丄)a ,得 p o ab . Q dp
b b -1
dR
从而一
dQ
由收益R = pQ 对p 求导，有
dR
dQ
p dQ Q p Q(1
) dp
dp
Q dp c = Q 0(1 -
b) = c ,于是 Q 0 .
P *
1
一 b
p(V —),
E
p
= Q(「E p ),
dR
从而 dp
八、(本题满分6分)
再将a f (x)g(x)dx 作适当的变量代换化为在l.0,a 1上的定积分. 、 a 0 a
方法一：由于 f (x)g(x)dx = i f(x)g(x)dx 亠 I f (x)g(x)dx,
■ _a . a "0
在 f (x) g(x)dx 中令 x - -t ,则由 x: -a > 0，得 t: a —； 0，且 ■ _a
0 a a
』f(x)g(x)dx 二 a f(—t)g(-t)d(-t)二 0 f (_t)g(t)dt 二 0 f (_x)g(x)dx,
a
a
厂 - a
所以.」(x)g(x)dx = 0〔f (x) f (_x) 】g(x)dx 二 A 0 g(x)dx.
a
方法二：在」(x)g(x)dx 中令 x ~ -t,则由 x: -a — a ，得 t: a — a,且
用(1)中结果计算题目中的定积分.
、 r x J!
方法一：取 f (x) =arctane , g(x) = sinx ,a = — .
2
由于 f (x) f(-x)=arctane x arctane 」满足
x —x “ e
—e
arctane x arctane»
2x
2x =
0 ,
1+e 1+e
故 arctane x arctane^ = A .
以下同方法 九、(本题满分9分)
【解析】因为r(I)二r(ll) =3,所以 m3线性无关,而
：
-1<'2<'3/'4
线性相关, 因此=4可由〉
1
」2」3线性表出，设为〉^l/ 1 l^ 2 lr 3.
a
_a
a
a
」(x)g(x)dx =-j a f (-t)g(-t)d(-t)=』f(-t)g(t)dt 二 0 f(-x)g(x)dx .
a
1 -
所以 f (x)g(x)dx =2 |
a a
』f (x)g(x)dx 』f(-x)g(x)dx
1 a A a a
=2(X ) f(—x)lg(x)dx = 2 」g(x)dx=A 0 g(x)dx.
⑵令f(x)=arctane x ,g(x) = sinx ,可以验证f (x)和g(x)符合(1)中条件，从而可以
_a -a JI
JI
令 x =0,得 2arctan1 = A= A
，即 f(x) f(-x)
.于是有
2
2
JI
兀
2 '
sinx ,a = —，于是
2
x
1
f (x) f (-x) = arctane arctan 二
e 2
1
H
(这里利用了对任何 x 0 ,有arcta nx ，arctan )
p n |sinx arctane x
dx=］『|sinx dx =
方法二：取 f(x) = arctane x
,g(x)二
JI
2
sin xdx =—
2 0 2
若 匕8 +k 2a 2 +33 + k 4(G 5 —口4)= 0,
即(k 1 -■1飞4)、；1 * (k 2 -■l 2k 4)、；2 ' (k 3 -'13k 4)'S ' = 0, 由于r ⑴I) =4，所以做5片3,5线性无关•故必有
I
I k ? - l 2*4 = 0,
k^ —3
X 4= 0,
解出k 4 =0*3 204炜亠0,匕=0.
于是>1, >2,〉3,〉5 -〉4线性无关,即其秩为4. 十、(本题满分10分)
由(E-A)x=O 得基础解系X i =(2,0,-1几即属于'=1的特征向量. 由(6E-A)x=0得基础解系X 2=(1,5,2)T
,即属于■ =6的特征向量.
由(~6E -A)x =0得基础解系X 3 =(1,-1,2)丁，即属于怎--6的特征向量. 【解析】(1)因为〈庄必)对应的矩阵为
0 2 2
4 -2 4
故f (X 「X 2,X 3)的矩阵表示为
(2)由A 的特征方程
-2 4 , 3J _0
f (X 1,X 2,X 3)= x T Ax = (X 1,X 2,X 3)2
'-2
-2门〕 X 2 . "4 -2 2
AE —A -10 ■ -4 _4
人 -2
—2 丸—4 2 -4 +
-4
乂 -1)('2 -
6) -2 2
=0, -2
■ -4 _4
4
-3上X 3」 2-2九 0 九-1
得到A 的特征值为1 =1,，2 =6, '3 ~ -6.
对于实对称矩阵，特征值不同特征向量已正交，故只须单位化,有
11 5 , X 1 那么令Q 二
1/2」1
二肅碑=肃」7^2」 X 3 1
y 1
'也「次型化为标准形
書3勺5殛丁 J 6
丁 2 2 2
f“1,X 2,X 3)=x Ax =y 上y 6y^6y 3.
1 、(本题满分8分)
经正交变换|X 2 j 'X
3 J
【解析】对于新生产的每台仪器，设事件A表示“仪器需要进一步调试” ，B表示“仪器能出厂”，则A二“仪器能直接出厂” ，AB= “仪器经调试后能出厂”.且B =A U AB, A与AB互不相容，应用加法公式与乘法公式，且由条件概率公式
P(B| A) =P (AB)= P(AB) =P(B| A) P(A),
P(A)
有P B i； = P A P A P B|A]=0.7 0.3 0.8 =0.94.
设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X服从二项分布B n,0.94 .由
二项分
布的概率计算公式，可得所求概率为
⑴二p^x 二n '-0.94n；
(2) 一：二P〈X 二n— 2 .；=C；0.94n，0.062;
(3) v -P〈X 乞n— 2；=1-P〈X = n— 1?-P〈X = n；=1—0.06 n 0.94心-0.94“【相关知识点】二项分布的概率计算公式：
若Y - B( n,p),则P〈丫二k—C：p k(1-p)nJ\k =0,1,川，n.
十二、(本题满分8分)
【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).
当(x,y) D i 时,F(x,y) =0,
其中D i 二{(x, y) x 0或y ：： 0}.
当(x,y) D4,即x 1 且y 1 时,F(x,y)=1.
4 X
当(x,y) D 时，即0-x-1,0-y-1 时,
x y x 2 2 2
F (x, y) = J0.0 4stdtds= 2sy ds = x y .
当(x,y)，D2,即0 _x —1,y 1 时，
x y x 1 x -
F (x, y) = J0 0 4stdtds= j0 dsj04stdt =[ 2sds = x .
当(x, y) E D3,即x >1,0 兰y 兰1 时，与D-类似，有F(x, y^y2. 乂“或‘ *0,
x^y2, 0Ex^1,0 兰y 兰1,
综上分析，(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=^y2, 1 ：：： x,0 f
x , 0 兰x 兰1,1 C y,
1, 1 ：： x,1 ：： y.。