北师大版八年级数学上册《为什么要证明》示范公开课教学课件
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1 为什么要证明
上图是静态的没有循环帧的图片，你看到的静止的图片是不是在动呢？据心理医生说，图片与心理承受力有关，你的心理承受力越强，图片运动越慢.美国曾经以此作为犯罪嫌疑人的心理测试，据说犯罪嫌疑人看到的图片是高速运动的.
是静还是动？
图中有几个黑点？
下面两个图形中中间两个圆的大小一样吗？
图1
图2
a
b
(2)如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长l m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？
能放进一颗核桃吗？
能放进一个拳头吗？
别太信任你的眼睛和直觉哟！
建立“数学模型”!
解：设地球赤道的周长为c，半径为r1，铁丝所围成的圆的半径为r2，则：
【分析】先利用完全平方公式将代数式化简，然后判断代数式是否为4的倍数.
为什么要证明
要判断一个数学结论的正确性，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．
检验数学结论常用的方法：
教科书第164页习题7.1 第1、2、3 题
C
4.甲、乙、丙、丁四人商量周末出游.甲说：“乙去，我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.“丙说：“无论丁去不去，我都去.“丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去.“以下结论可能正确的是( ) A.甲一个人去了 B.乙、丙两个人去了C.甲、丙、丁三个人去了 D.四个人都去了
观察得到的结论并不可靠. 要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理证明.
数学的结论必须经过严格的论证！
观察得到的结论可靠吗？
(1) 当n=0，1，2，3，4，5时，代数式 n2－n+11的值是质数吗？
6
7
8
9
10
11
41
53
67
83
101
121
(2) 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB， AC的中点，连接DE，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.
位置关系：
DE∥BC
数量关系：
解：通过测量得出：
C
5.一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后 将3盏电灯都开亮.(填“能”或“不能”)
不能
6.当n为正整数时，(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数吗？说说你的理由.
解：是.理由如下：原式=n2+2n+1-(n2-2n+1)=4n，则结果一定为4的n倍，故当n为正整数时，(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数.
【分析】结合质数的概念，并通过取特值，即可得到答案.
1.某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人ห้องสมุดไป่ตู้为如图乙的形状.若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿( )
A.甲需要的材料多 B.乙需要的材料多C.甲、乙需要的材料一样多 D.不确定
解：当n=1时，n2+3n+1=12+3×1+1=5，是质数；当n=2时，n2+3n+1=22+3×2+1=11，是质数；当n=3时，n2+3n+1=32+3×3+1=19，是质数；当n=4时，n2+3n+1=42+3×4+1=29，是质数；当n=5时，n2+3n+1=52+3×5+1=41，是质数；当n=6时，n2+3n+1=62+3×6+1=55，不是质数；所以当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数.
你能否得到结论：对于所有自然数n，代数式n2－n+11的值都是质数？
11
11
13
17
23
31
n
n2－n+11
0
1
2
3
4
5
对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值不一定都是质数.
当n为自然数时，n2-n+11的值一定是质数吗？找数值代入，验证你的结论.
n
n2－n+11
实验验证：举反例验证：推理论证：
常用方法：
a
b
c
d
线段b与线段d在同一条直线上.
例1 (1)图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下.
线段a与线段b的长度相等.
例1 (2)图中两条线段a与b的长度相等吗？
a
b
例2 当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？
C
2.下列推理正确的是( ) A．若a∥b，b∥c，则a∥c. B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c. C．因为∠AOB＝∠BOC，所以两角是对顶角. D．因为两角的和是180°，所以两角互为邻补角.
A
3.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判.则第二局的输者是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
眼见未必真实哦！
不敢相信图中的横线是平行的，不过它们就是平行线！
你觉得观察得到的结论正确吗？
以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！
(1)图1中两条线段a，b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.
实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？
实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.
在上面问题中，你是怎么判断一个结论是否正确的？检验数学结论常用的方法有哪些？
上图是静态的没有循环帧的图片，你看到的静止的图片是不是在动呢？据心理医生说，图片与心理承受力有关，你的心理承受力越强，图片运动越慢.美国曾经以此作为犯罪嫌疑人的心理测试，据说犯罪嫌疑人看到的图片是高速运动的.
是静还是动？
图中有几个黑点？
下面两个图形中中间两个圆的大小一样吗？
图1
图2
a
b
(2)如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长l m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？
能放进一颗核桃吗？
能放进一个拳头吗？
别太信任你的眼睛和直觉哟！
建立“数学模型”!
解：设地球赤道的周长为c，半径为r1，铁丝所围成的圆的半径为r2，则：
【分析】先利用完全平方公式将代数式化简，然后判断代数式是否为4的倍数.
为什么要证明
要判断一个数学结论的正确性，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．
检验数学结论常用的方法：
教科书第164页习题7.1 第1、2、3 题
C
4.甲、乙、丙、丁四人商量周末出游.甲说：“乙去，我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.“丙说：“无论丁去不去，我都去.“丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去.“以下结论可能正确的是( ) A.甲一个人去了 B.乙、丙两个人去了C.甲、丙、丁三个人去了 D.四个人都去了
观察得到的结论并不可靠. 要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理证明.
数学的结论必须经过严格的论证！
观察得到的结论可靠吗？
(1) 当n=0，1，2，3，4，5时，代数式 n2－n+11的值是质数吗？
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101
121
(2) 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB， AC的中点，连接DE，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.
位置关系：
DE∥BC
数量关系：
解：通过测量得出：
C
5.一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后 将3盏电灯都开亮.(填“能”或“不能”)
不能
6.当n为正整数时，(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数吗？说说你的理由.
解：是.理由如下：原式=n2+2n+1-(n2-2n+1)=4n，则结果一定为4的n倍，故当n为正整数时，(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数.
【分析】结合质数的概念，并通过取特值，即可得到答案.
1.某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人ห้องสมุดไป่ตู้为如图乙的形状.若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿( )
A.甲需要的材料多 B.乙需要的材料多C.甲、乙需要的材料一样多 D.不确定
解：当n=1时，n2+3n+1=12+3×1+1=5，是质数；当n=2时，n2+3n+1=22+3×2+1=11，是质数；当n=3时，n2+3n+1=32+3×3+1=19，是质数；当n=4时，n2+3n+1=42+3×4+1=29，是质数；当n=5时，n2+3n+1=52+3×5+1=41，是质数；当n=6时，n2+3n+1=62+3×6+1=55，不是质数；所以当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数.
你能否得到结论：对于所有自然数n，代数式n2－n+11的值都是质数？
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n
n2－n+11
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对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值不一定都是质数.
当n为自然数时，n2-n+11的值一定是质数吗？找数值代入，验证你的结论.
n
n2－n+11
实验验证：举反例验证：推理论证：
常用方法：
a
b
c
d
线段b与线段d在同一条直线上.
例1 (1)图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下.
线段a与线段b的长度相等.
例1 (2)图中两条线段a与b的长度相等吗？
a
b
例2 当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？
C
2.下列推理正确的是( ) A．若a∥b，b∥c，则a∥c. B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c. C．因为∠AOB＝∠BOC，所以两角是对顶角. D．因为两角的和是180°，所以两角互为邻补角.
A
3.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判.则第二局的输者是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
眼见未必真实哦！
不敢相信图中的横线是平行的，不过它们就是平行线！
你觉得观察得到的结论正确吗？
以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！
(1)图1中两条线段a，b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.
实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？
实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.
在上面问题中，你是怎么判断一个结论是否正确的？检验数学结论常用的方法有哪些？