频响函数

y
x
梁受迫振动的基本方程：
())()(0x x t F EIu u
m IV -⋅=+δ 当受恒定力作用时，)(1)(t F t F ⋅-= 当受冲击载荷时，)()(t F t F δ⋅-= 设∑∑==n
bn n
bn n t q l
x
n t q x t x u )(sin
)()(),(πφ，代入基本方程，两边同乘m φ，在整段梁上积分，得：
⎰⎰∑⎰∑--=⋅⋅+⋅⋅l
m l n
bn IV n
m l
n
bn n m
dx
x x x F dx t q x x EI dx t q
x x m 0
00
)
(0
)()())()(()())()(()(φδφφφφ
考虑到振型的正交性，上式可化简为：
)()()(00
2
4
4402
x F dx x q l EI n dx x q m n l
n bn l n
bn φφπφ⋅-=+⋅⎰⎰ ，即： l
x n ml F
dx x x F q q l
n n bn bn bn 00
2
02
sin
2)()
(πφφω⋅-
==
+⎰ 以零初始条件解此微分方程，得到：
)1(cos sin 202
-=
t l x n ml
F
q bn bn bn ωπω 进行Laplace 变换，
)1(sin 2)(2
202s
s s l x n ml F q L bn bn bn -+=
ωπω，而输入力： s
F
t F L t F L -
=⋅-=))(1())((
所以)
(sin
2)()()(22
ωωπω-=='bn bn n m l l x n F L q L H l x n m l l x n l x n H H bn n n πωωππωωsin )
(sin
2sin )()(220
⋅-=⋅'= ∑∑∑⋅-=⋅'==n bn
n n n n l x n m l l x n l x n H H H πωωππωωωsin )(sin
2sin )()()(220
或者，直接将化简后的方程两边Laplace 变换：
l
x n sml F
q q s bn bn bn 02
2sin 2πω⋅-
=+，可直接得到： )
(sin
2)()()(2
20ωωπω-=-=='bn bn
bn n
ml l x n s
F
q F L q L H 当载荷为冲击载荷时，也可直接将化简后的方程两边Laplace 变换：
l
x n ml F
q q s bn bn bn 02
2sin 2πω⋅-
=+，同样可以得到： )
(sin
2)()()(220
ωωπω-=-=='bn bn bn n m l l x n F q F L q L H 由此可以看出，频响函数仅仅同梁的性质有关，而与激励无关 考虑阻尼，类似单自由度系统：
∑∑∑⋅-⋅⋅+=⋅'==n bn bn n n n n l x n j m l l x n l x n H H H πωζωωππωωωsin )
2(sin
2sin )()()(220
下面讨论速度和加速度的频响函数： 由)1(cos sin 202
-=
t l x n ml
F q bn bn bn ωπω，得到：t l x n ml F
q bn bn bn ωπωsin sin 20-= 2
202201
sin 2sin 2)(bn
bn bn bn bn s l x n ml F s l x n ml F q
L ωπωωπω+-=+-= )(sin
2)()()(22
ωωωπω-⋅=-=='bn bn
bn n
ml j l x n s
F
q
F L q L H
∑∑∑⋅-⋅=⋅'==n
bn n
n
n
n l x n m l j
l x n l x
n H H H πωωωππωωωsin )
(sin
2sin )()()(22
同理，有阻尼时：
∑∑∑⋅-⋅⋅+⋅=⋅'==n bn
bn n n n n l x n j m l j
l x n l x n H H H πωζωωωππωωωsin )2(sin
2sin )()()(220
加速度：
t l
x n m l F
q
bn bn ωπcos sin 20-= 2
20sin 2)(bn
bn s s
l x n ml F q
L ωπ+-= )
(sin
2)()()(2
22
0ωωωπω--=-=='bn bn bn n
ml l x n s
F
q
F L q L H ∑∑∑⋅--=⋅'==n bn
n n n n l x n m l l x n l x n H H H πωωω
ππωωωsin )(sin
2sin )()()(222
0 同理，有阻尼时：
∑∑∑⋅-⋅⋅+-=⋅'==n bn
bn n n n n l x n j m l l x n l x n H H H πωζωωω
ππωωωsin )2(sin
2sin )()()(222
0 加入弹簧质量系统：
x
对于k 非常大的情况，可以近似认为弹簧质量系统为刚体，基本不影响桥的性质，
所以()()()∑∑⋅--==≈n bn
n n M l x n m l l x n H t F FT y FT H πωωωπωωsin )(sin
2)()(2
22
0 对于k 不是足够大可以认为弹簧质量系统为刚体的时候，由冲量定理，得：
()v q
M t F ⋅=⋅δ 此后弹簧质量系统和桥耦合振动
在某一固定位置0x ，()()M
t F q v δ⋅=0 车桥耦合系统的运动方程为：
())()(0x x t f EIu u
m IV -⋅=+δ ()0x u k kq q
M v v ⋅=+ 设∑∑==n
bn n
bn n t q l
x
n t q x t x u )(sin
)()(),(πφ，代入基本方程，两边同乘m φ，在整段梁上积分，得：
()⎰⎰∑⎰∑-=⋅⋅+⋅⋅l
m l n
bn IV n m l
n
bn n m
dx x x x t f dx t q x x EI dx t q
x x m 0
00
)(0
)()())()(()())()(()(φδφφφφ
考虑到振型的正交性，上式可化简为：
())()()(00
2
44402
x t f dx x q l EI n dx x q m n l
n bn l n
bn φφπφ⋅=+⋅⎰⎰ ，即： ()l
x n ml t f dx x x F q q l
n n bn bn bn 00
2
02
sin
2)()
(πφφω⋅=
=
+⎰ 其中，()Mg q
M t f v --= ，所以： ()l
x n ml Mg q M q q v bn bn bn 0
2
sin 2πω⋅+-
=+
又因为g q
v << ，所以上式可以改写为 l
x n ml Mg q q bn bn bn 02
sin 2πω⋅-
=+ 以零初始条件解此方程，得到：
)1(cos sin 202
-=
t l x n ml
Mg
q bn bn bn ωπω 于是：
()()∑-⋅=⋅=+n
bn bn v v v v v t ml
Mg
l x n x u q q
1cos 2sin 2
022022ωωπωωω 以()00=v q ，()()M
t F q
v δ⋅=0 为初始条件，解此方程，得到：
()()()
()
∑∑∑--+--⋅⋅=
n bn n bn bn
v bn v n v bn
v v v v l x n ml Mg t l x n ml Mg t l x n ml Mg t M t F t q 0
22
0222220
22
2sin 2cos sin 2cos sin 2sin πωωπωωωωωπωωωωδ
x
加入激励力，车桥耦合系统的运动方程为：
())()(0x x t f EIu u
m IV -⋅=+δ ()t F x u k kq q M v v ωsin 0⋅-⋅=+ 同上可得：
()l
x n ml t f dx x x F q q l
n n bn bn bn 00
2
02sin
2)()
(πφφω⋅=
=
+⎰ 其中，()t F q
M t f v ωsin --= ，所以： ()l
x n ml t F q M q q v bn bn bn 0
2
sin sin 2πωω⋅+-
=+
当弹簧刚度非常大时，可以认为
()t F x u k kq v ωsin 0⋅-≈⋅- 所以上式可以改写为
l
x n ml t F q q bn bn bn 02
sin sin 2πωω⋅-
=+ 以零初始条件解此方程：
()()
()
t l x n ml F
t l x n ml F t q bn bn Bn bn bn ωπωωωπωωωω
sin sin 2sin sin
202
202
2
---=
于是：
()()()
t M F l x n ml F t t l x n ml F t M
F
x u q q
n bn v n bn bn bn v v v v v ωπωωωωωπωωωωωωωωsin sin 2sin sin sin 2sin 0
22
22
02222022⋅----=⋅-⋅=+∑∑ 令：
()
(
)
∑=-=
-=n
n
bn v
n bn bn v n B B l x n m l F B l x n m l F A ,sin 2sin 20
22
22
22
2
2πωωωπωωωωω
则：
t M F B t A q q
n
bn n v v v ωωωsin sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=+∑
以零初始条件解此方程：
()
()
(
)(
)t
M F B A t M F B t A q v
n v v bn
v v n bn v n bn v bn n v ωωωωωωωωωωωωωωωsin sin sin 22222222⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-++--+-+--=∑∑
板振动的基本方程：
()()00224
,y y x x t F t
m D --⋅=∂∂+∇δω
ω
设()()()()∑∑∑∑==m
n
mn m
n
mn mn t q b
y
n a x m t q y x W t y x ππωsin sin
,,,，代入基本方程： ()()()()002
22224
,sin sin sin sin y y x x t F t q b y n a x m m t q b y n a x m b n a m D m n mn m n mn --=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∑∑∑∑δπππππ 两边同乘b
y
n a x m ππsin sin
，积分，得到： ()()t q ab b l a k D dxdy t q b y l b y n a x k a x m b n a m D kl a b
m n mn 4sin sin sin sin 2
22224002
22224⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎰⎰∑∑ππππππ
()()t q ab
m dxdy t q
b y l b y n a x k a x m m kl a b
m
n
mn 4
sin sin sin sin
00=⎰⎰∑∑ππππ ()()()b
y l a x k t F dxdy b y
l a x k y y x x t F a b
0000
00sin sin sin sin
,ππππδ=--⋅⎰⎰ 所以：
()()()b y l a x k t F ab t q m t q b l a k D kl kl
002
2222
4sin sin 4πππ=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ 令2
222242
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=b l a k m D kl πω得到 ()()()b
y l a x k t F ab m t q t q kl kl kl 002
sin sin 4
ππω=
+
直接对上式进行Laplace 变换，得到：
b
y l a x k ab m s F q q s kl kl kl 002
2sin sin 4ππω⋅-=+
)
(sin
sin
4)()()(220
0ωωππω-=-=='kl bn bn n ab m b y l a x k s F q F L q L H 所以频响函数为：
()∑∑
-=k
l
kl b y l a x k ab m b y l a x k H ππωωππωsin sin )
(sin sin
422
0 当记入阻尼时
()∑∑-⋅⋅+=k l kl
kl b y l a x k j ab m b y l a x k H ππωζωωππωsin sin )2(sin
sin
42
20
0 对于速度：
()∑∑-⋅⋅+⋅⋅=k l kl kl b y l a x k j ab m b y l a x k j H ππωζωωππωωsin sin )
2(sin
sin
42
20
0 同样，对于加速度：
()∑∑-⋅⋅+⋅-=k l kl kl b y l a x k j ab m b y l a x k H ππωζωωππωωsin sin )
2(sin sin
42
20
02。