山东省滕州市育才中学2021-2022学年中考数学全真模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，有如下五个结论①AE⊥AF；
②EF：AF=2：1；③AF2=FH•FE；④∠AFE=∠DAE+∠CFE ⑤ FB：FC=HB：EC．则正确的结论有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．已知平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为( )
A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5
3．如图，是由几个相同的小正方形搭成几何体的左视图，这几个几何体的摆搭方式可能是( )
A．B．C．D．
4．
1
3
-的绝对值是（）
A．3B．3-C．1
3
D．
1
3
-
5．-5的相反数是（）
A．5 B．1
5
C5D．
1
5
-
6．如图，将函数y＝1
2
（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平
移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）
A．y＝1
2
（x﹣2）2-2 B．y＝
1
2
（x﹣2）2+7
C．y＝1
2
（x﹣2）2-5 D．y＝
1
2
（x﹣2）2+4
7．如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（）
A．B．C．D．
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列四个结论：
①4a+c＜0；②m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；③关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0没有实数根；④ak4+bk2＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为常数）．其中正确结论的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
10．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得（ ）
A ．168（1﹣x ）2＝108
B ．168（1﹣x 2）＝108
C ．168（1﹣2x ）＝108
D ．168（1+x ）2＝108
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1＋S 2等_________．
12．分解因式：22
x y -=_______________. 13．化简：+3
=_____． 14．分解因式：2x y 4y -= ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （1﹣a ，0），C （1+a ，0）（a ＞0），点P 在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是______．
16．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l 1的两棵古树A 、B 之间的距离，他们在河这边沿着与AB 平行的直线l 2上取C 、D 两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l 1、l 2之间的距离为50m ，则古树A 、B 之间的距离为_____m ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）阅读下列材料：
数学课上老师布置一道作图题：
已知：直线l 和l 外一点P ．
求作：过点P的直线m，使得m∥l．
小东的作法如下：
作法：如图2，
（1）在直线l上任取点A，连接PA；
（2）以点A为圓心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C；
（3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D；
（4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m．
老师说：“小东的作法是正确的．”
请回答：小东的作图依据是________．
18．（8分）在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．用树状图或列表法求出小王去的概率；小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
19．（8分）(1)解方程组
310
21 x y
x y
+=⎧
⎨
-=⎩
(2)若点A是平面直角坐标系中坐标轴上的点，( 1 )中的解 ,
x y分别为点B的横、纵坐标,求AB的最小值及AB取得最小值时点A的坐标.
20．（8分）某景区在同一线路上顺次有三个景点A，B，C，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离景点A的路程s（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．甲的速度是______米/分钟；当20≤t≤30时，求乙离景点A的路程s与t的函数表达式；乙出发后多长时间与甲在途中相遇？若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？
21．（8分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，点C的对应点C′恰好落在CB的延长线上，边AB交边C′D′于点E．
（1）求证：BC＝BC′；
（2）若AB＝2，BC＝1，求AE的长．
22．（10分）已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点．
(1)如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．
①∠AEM=∠FEM；②点F是AB的中点；
(2)如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使，请判断△EFC的形状，并说明理由；
(3)如图3，若E是OD上的动点(不与O，D重合)，连接CE，过E点作EF⊥CE，交AB于点F，当时，请猜想的值(请直接写出结论)．
23．（12分）先化简再求值：a b
a
-
÷（a﹣
2
2ab b
a
-
），其中a＝2cos30°+1，b＝tan45°．
24．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．求证：∠CBP=∠ADB．若OA=2，AB=1，求线段BP的长.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解析】
由旋转性质得到△AFB≌△AED，再根据相似三角对应边的比等于相似比，即可分别求得各选项正确与否.
【详解】
解：由题意知，△AFB≌△AED
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°.
∴AE⊥AF，故此选项①正确；
∴∠AFE=∠AEF=∠DAE+∠CFE，故④正确；
∵△AEF是等腰直角三角形，有2：1，故此选项②正确；
∵△AEF与△AHF不相似，
∴AF2=FH·FE不正确.故此选项③错误，
∵HB//EC，
∴△FBH∽△FCE，
∴FB:FC=HB:EC，故此选项⑤正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练地应用旋转的性质以及相似三角形的性质是解决问题的关键.
2、A
【解析】
分析：根据点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，得到4＝|2a＋2|，即可解答．
详解：∵点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，
∴4＝|2a＋2|，a＋2≠3，
解得：a＝−3，
故选A．
点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x轴和y轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数．3、A
【解析】
根据左视图的概念得出各选项几何体的左视图即可判断．
【详解】
解：A选项几何体的左视图为
；
B选项几何体的左视图为
；
C选项几何体的左视图为
；
D选项几何体的左视图为
；
故选：A．
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握左视图的概念．
4、C
【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义即可解决．
【详解】 在数轴上，点13-到原点的距离是13， 所以，13-的绝对值是
13， 故选C ．
【点睛】
错因分析 容易题，失分原因：未掌握绝对值的概念.
5、A
【解析】
由相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知-5的相反数是5.
故选A.
6、D
【解析】
∵函数()21212y x =
-+的图象过点A （1，m ），B （4，n ）， ∴m =()211212-+=32，n =()214212
-+=3， ∴A （1，32
），B （4，3）， 过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则C （4，
32
）， ∴AC =4﹣1=3，
∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC •AA ′=3AA ′=9，
∴AA ′=3，即将函数()21212y x =-+的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是()21242
y x =
-+． 故选D ．
7、D
【解析】
本题关键是正确分析出所剪时的虚线与正方形纸片的边平行.
【详解】
要想得到平面图形(4)，需要注意(4)中内部的矩形与原来的正方形纸片的边平行，故剪时，虚线也与正方形纸片的边平行，所以D 是正确答案，故本题正确答案为D 选项.
【点睛】
本题考查了平面图形在实际生活中的应用，有良好的空间想象能力过动手能力是解题关键.
8、D
【解析】
①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1，由图象可得左交点的横坐标大于﹣3，小于﹣2， 所以﹣2b a
=﹣1，可得b=2a ， 当x=﹣3时，y ＜0，
即9a ﹣3b+c ＜0，
9a ﹣6a+c ＜0，
3a+c ＜0，
∵a ＜0，
∴4a+c ＜0，
所以①选项结论正确；
②∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a ﹣b+c 的值最大，
即把x=m （m≠﹣1）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，
∴am 2+bm ＜a ﹣b ，
m （am+b ）+b ＜a ，
所以此选项结论不正确；
③ax 2+（b ﹣1）x+c=0，
△=（b ﹣1）2﹣4ac ，
∵a ＜0，c ＞0，
∴ac ＜0，
∴﹣4ac ＞0，
∵（b ﹣1）2≥0，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0有实数根；
④由图象得：当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵当k为常数时，0≤k2≤k2+1，
∴当x=k2的值大于x=k2+1的函数值，
即ak4+bk2+c＞a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
ak4+bk2＞a（k2+1）2+b（k2+1），
所以此选项结论不正确；
所以正确结论的个数是1个，
故选D．
9、A
【解析】
根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．
【详解】
解：原几何体的主视图是：
．
视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可．
故取走的正方体是①．
故选A．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图,中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.
10、A
【解析】
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解．
【详解】
设每次降价的百分率为x，
根据题意得：168（1-x）2=1．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、2π
【解析】 试题解析：2222121111ππππ228228
AC BC S AC S BC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 所以()
22212111πππ162π888S S AC BC AB +=+==⨯=． 故答案为2π．
12、 (x +y )(x -y )
【解析】
直接利用平方差公式因式分解即可，即原式=(x +y )(x -y )，故答案为(x +y )(x -y ).
13、
【解析】
试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并，可得原式=2
+=3． 14、()()y x 2x 2+-．
【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式y 后继续应用平方差公式分解即可：()
()()22x y 4y y x 4y x 2x 2-=-=+-． 考点：提公因式法和应用公式法因式分解．
15、1
【解析】
首先证明AB=AC=a ，根据条件可知PA=AB=AC=a ，求出⊙D 上到点A 的最大距离即可解决问题．
【详解】
∵A （1，0），B （1﹣a ，0），C （1+a ，0）（a ＞0），
∴AB=1﹣（1﹣a ）=a ，CA=a+1﹣1=a ，
∴AB=AC ，
∵∠BPC=90°，
∴PA=AB=AC=a ，
如图延长AD 交⊙D 于P′，此时AP′最大，
∵A （1，0），D （4，4），
∴AD=5，
∴AP′=5+1=1，
∴a 的最大值为1．
故答案为1．
【点睛】
圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径．
16、（50﹣5033
）． 【解析】
过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ．则AM ＝BN ．通过解直角△ACM 和△BCN 分别求得CM 、CN 的长度，则易得MN ＝AB ．
【详解】
解：如图，过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ，
则AB ＝MN ，AM ＝BN ．
在直角△ACM ，∵∠ACM ＝45°，AM ＝50m ，
∴CM ＝AM ＝50m ．
∵在直角△BCN 中，∠BCN ＝∠ACB ＋∠ACD ＝60°，BN ＝50m ，
∴CN ＝60BN tan 3503（m ），
∴MN＝CM−CN＝50−503
3
（m）．
则AB＝MN＝（50−503
3
）m．
故答案是：（50−503
3
）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
三、解答题（共8题，共72分）
17、内错角相等，两直线平行
【解析】
根据内错角相等，两直线平行即可判断．
【详解】
∵∠EPA=∠CAP，∴m∥l（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18、（1）1
2
；（2）规则是公平的；
【解析】
试题分析：（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．
试题解析：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，
所以P（小王）=3
4
；
（2）不公平，理由如下：
∵P（小王）=3
4
，P（小李）=
1
4
，
3
4
≠
1
4
，
∴规则不公平．
点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19、（1）31x y =⎧⎨
=⎩；（2）当A 坐标为()3 , 0时，AB 取得最小值为1. 【解析】
（1）用加减消元法解二元一次方程组；（2）利用（1）确定出B 的坐标，进而得到AB 取得最小值时A 的坐标，以及AB 的最小值．
【详解】
解：（1）31021x y x y +=⎧⎨-=⎩
①② ①2⨯+②得：721x =
解得：3x =
把3x =代入②得1y =，
则方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩
(2 )由题意得:()3, 1B ,
当A 坐标为()3 , 0时，AB 取得最小值为1.
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则及数形结合思想解题是解本题的关键．
20、（1）60；（2）s ＝10t －6000；（3）乙出发5分钟和1分钟时与甲在途中相遇；（4）乙从景点B 步行到景点C 的速度是2米/分钟．
【解析】
（1）观察图像得出路程和时间，即可解决问题．
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）分两种情况讨论即可；
（4）设乙从B 步行到C 的速度是x 米/分钟，根据当甲到达景点C 时，乙与景点C 的路程为360米，所用的时间为（90-60）分钟，列方程求解即可．
【详解】
（1）甲的速度为540090
=60米/分钟．
（2）当20≤t≤1时，设s=mt＋n，由题意得：
200
303000
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
300
6000
m
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
，所以s=10t－6000；
（3）①当20≤t≤1时，60t=10t－6000，解得：t=25，25－20=5；
②当1≤t≤60时，60t=100，解得：t=50，50－20=1．
综上所述：乙出发5分钟和1分钟时与甲在途中相遇．
（4）设乙从B步行到C的速度是x米/分钟，由题意得：
5400－100－（90－60）x=360
解得：x=2．
答：乙从景点B步行到景点C的速度是2米/分钟．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、行程问题等知识，解题的关键是理解题意，读懂图像信息，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考常考题型．
21、（1）证明见解析；（2）AE=5
4
．
【解析】
（1）连结AC、AC′，根据矩形的性质得到∠ABC＝90°，即AB⊥CC′，根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到AD＝BC，∠D＝∠ABC′＝90°，根据旋转的性质得到BC′＝AD′，AD＝AD′，证得BC′＝AD′，根据全等三角形的性质得到BE＝D′E，设AE＝x，则D′E＝2﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：：（1）连结AC、AC′，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，即AB⊥CC′，
∵将矩形ABCD 绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，
∴AC＝AC′，
∴BC＝BC′；
（2）∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠ABC′＝90°，
∵BC＝BC′，
∴BC′＝AD′，
∵将矩形ABCD 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，
∴AD＝AD′，
∴BC′＝AD′，
在△AD′E 与△C′BE中
∴△AD′E≌△C′BE，
∴BE＝D′E，
设AE＝x，则D′E＝2﹣x，
在Rt△AD′E 中，∠D′＝90°，
由勾定理，得x2﹣（2﹣x）2＝1，
解得x＝，
∴AE＝．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）△EFC是等腰直角三角形．理由见解析；（3）．
【解析】
试题分析：(1)①过点E作EG⊥BC，垂足为G，根据ASA证明△CEG≌△FEM得CE=FE，再根据SAS证明
△ABE≌△CBE 得AE=CE，在△AEF中根据等腰三角形“三线合一”即可证明结论成立；②设AM=x，则AF=2x，在Rt△DEN中，∠EDN=45°，DE=DN=x，DO=2DE=2x，BD=2DO=4x．在Rt△ABD中，∠ADB=45°，AB=BD·sin45°=4x，又AF=2x，从而AF=AB，得到点F是AB的中点．；(2)过点E作EM⊥AB，垂足为M，延长ME交CD于点N，过点E作EG⊥BC，垂足为G．则△AEM≌△CEG(HL)，再证明△AME≌△FME(SAS)，从而可得△EFC是等腰直角三角形．(3)方法同第(2)小题．过点E作EM⊥AB，垂足为M，延长ME交CD于点N，过点E作EG⊥BC，垂足为G．则△AEM≌△CEG(HL)，再证明△AEM≌△FEM (ASA)，得AM=FM，设AM=x，则AF=2x，DN =x，DE=x，BD=x，AB=x，=2x:x=．
试题解析：(1)①过点E作EG⊥BC，垂足为G，则四边形MBGE为正方形，ME=GE，∠MFG=90°，即
∠MEF+∠FEG=90°，又∠CEG+∠FEG=90°，∴∠CEG=∠FEM．又GE=ME，∠EGC=∠EMF=90°，
∴△CEG≌△FEM．∴CE=FE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE．∴AE=CE，又CE=FE，∴AE=FE，又EM⊥AB，∴∠AEM=∠FEM．
②设AM=x，∵AE=FE，又EM⊥AB，∴AM=FM=x，∴AF=2x，由四边形AMND为矩形知，DN=AM=x，在Rt△DEN 中，∠EDN=45°，∴DE=DN=x，∴DO=2DE=2x，∴BD=2DO=4x．在Rt△ABD中，∠ADB=45°，
∴AB=BD·sin45°=4x·=4x，又AF=2x，∴AF=AB，∴点F是AB的中点．
(2)△EFC是等腰直角三角形．过点E作EM⊥AB，垂足为M，延长ME交CD于点N，过点E作EG⊥BC，垂足为G．则△AEM≌△CEG(HL)，∴∠AEM=∠CEG，设AM=x，则DN=AM=x，DE =x，DO=3DE=3x，
BD=2DO=6x．∴AB=6x，又，∴AF=2x，又AM=x，∴AM=MF=x，∴△AME≌△FME(SAS)，∴AE=FE，∠AEM=∠FEM，又AE=CE，∠AEM=∠CEG，∴FE=CE，∠FEM=∠CEG，又∠MEG=90°，∴∠MEF+∠FEG=90°，∴∠CEG+∠FEG=90°，即∠CEF=90°，又FE=CE，∴△EFC是等腰直角三角形．
(3)过点E作EM⊥AB，垂足为M，延长ME交CD于点N，过点E作EG⊥BC，垂足为G．则△AEM≌△CEG(HL)，∴∠AEM=∠CEG．∵EF⊥CE，∴∠FEC =90°，∴∠CEG+∠FEG=90°．又∠MEG =90°，∴∠MEF+∠FEG=90°，∴∠CEG=∠MEF，∵∠CEG =∠AEF，∴∠AEF=∠MEF，∴△AEM≌△FEM (ASA)，∴AM=FM．设AM=x，则AF=2x，DN =x，DE=x，∴BD=x．∴AB=x．∴=2x:x=．
考点：四边形综合题.
23、
1
a b
-
3
【解析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值得出a和b的值，代入计算可得．【详解】
原式＝a b
a
-
÷(
2
a
a
﹣
2
2ab b
a
-
)
＝
22
2
a b a ab b a a
--+
÷
＝()2•a b a a a b -- ＝1a b
-， 当a ＝2cos30°
+1＝2×32+1＝3+1，b ＝tan45°＝1时， 原式1311=+-＝33
． 【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式，也考查了特殊锐角的三角函数值．
24、（1）证明见解析；（2）BP=1.
【解析】
分析：（1）连接OB ，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；
（2）证明△AOP ∽△ABD ，然后利用相似比求BP 的长．
详（1）证明：连接OB ，如图，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC 为切线，
∴OB ⊥BC ，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB ，
∴∠A=∠OBA ，
∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，
∴∠P+∠A=90°，
∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴AP AO
AD AB
=，即
12
41
BP
+
=，
∴BP=1．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．。