高考数学精炼17 理

2014高考数学（理）轻松突破120分17
知识点、方法题号
三角公式的简单应用2、3、6、7、9、11
三角公式的逆用与变形用1、4、8
综合问题5、10
一、选择题
1.化简cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°的值为( A )
(A)(B)(C)-(D)-
解析:cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°=
cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°=
cos(15°+45°)=cos 60°=.
故选A.
2.已知tan=3,则tan α的值为( A )
(A)(B)-(C)(D)-
解析:法一∵tan==3,
∴tan α=.
法二tan α=tan=
=
=.
故选A.
3.已知cos+sin α=,则sin的值
是( C )
(A)-(B)
(C)-(D)
解析: cos+sin α= sin α+cos α=⇒sin =,所以sin=-sin=-.故选C.
4.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α、β∈,则cos(α-β)的值等于( D )
(A)-(B)(C)-(D)
解析:∵α、β∈,∴α+β∈(0,π),
∴sin α===,
sin(α+β)===.
∴cos β=cos[(α+β)-α]=
cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=
×+×=,
∴sin β===,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=
×+×=.故选D.
5.已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin等于( B )
(A)-(B)-(C)(D)
解析:由a⊥b得a·b=0,即4sin+4cos α-=0,
于是sin+cos α=,
因此sin α+cos α+cos α=,
即sin α+cos α=,
故sin=,所以sin=,
于是sin=-sin=-.故选B.
6.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,则tan Atan B的值为( B )
(A)(B)(C)(D)
解析:由C=120°得A+B=60°,
于是tan(A+B)==,
即=,所以tan Atan B=.故选B.
二、填空题
7.如图所示,点B在以PA为直径的圆周上,点C在线段AB上,已知PA=5,PB=3,PC=,设∠APB=α,∠APC=β,α、β均为锐角,则角β的值为.
解析:因为点B在以PA为直径的圆周上,
所以∠ABP=90°,
所以cos α==,sin α=,
即tan α=,
因为cos∠CPB=cos(α-β)===,
所以sin(α-β)=,
即tan (α-β)=,
所以tan β=tan [α-(α-β)]==1,
又β∈,所以β=.
答案:
8.已知角α、β的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,α、β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是-,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是,则cos α= . 解析:依题设得,
cos β=-,∵0<β<π,
∴<β<π,sin β=,
又∵sin(α+β)=>0,0<α<π,
∴<α+β<π,
cos(α+β)=-.
∴cos α=cos[(α+β)-β]=
cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=
-×+×=
.
答案:
9.已知sin=,则cos= .
解析:cos=2cos2-1,
又cos=sin=,
所以cos=-.
答案:-
三、解答题
10.已知函数f(x)=sin cos x-sin x·cos(π+x).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)在△ABC中,若A为锐角,且f(A)=1,BC=2,B=,求AC边的长. 解:(1)f(x)=sin cos x-sin x·cos(π+x)
=cos2x+sin xcos x
=cos2x+sin 2x
=(sin 2x+cos 2x+1)
=sin+.
令-+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调增区间为(-+kπ,+kπ),k∈Z,
同理可得函数f(x)的单调减区间为(+kπ,+kπ),k∈Z.
(2)因为f(A)=1,
所以sin+=1,
所以sin=.
因为A为锐角,
所以<2A+<,
所以2A+=,
所以A=.
在△ABC中,由正弦定理得,
=,即=,
解得AC=.
11.已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<.
(1)求tan 2α的值;
(2)求β.
解:(1)由cos α=,0<α<,得
sin α===.
∴tan α==×=4,
于是tan 2α==
=-.
(2)由0<β<α<,得0<α-β<,
∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)===.
由β=α-(α-β),得
cos β=cos[α-(α-β)]=
cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=
×+×=,
所以β=.。