第16讲 二阶电路分析

(4)能量转换关系
U0
uc i
0
tm
t
0 < t < tm uc减小 ，i 增加。
+ R L C +
t > tm uc减小 ，i 减小.
R L
C -
非振荡放电 过阻尼
L 2. R 2 C
s
特征根为一对共轭复根
R R 1 ± ( )2 2L 2L LC
R 令 2L
2
1 R - ( )2 2 2 0 LC 2 L
(t=0) +
R
C
+ uL -
u R iR
duC i C dt
i
-
us (t ) (t )
L
uL L di dt
d 2 uC duC LC RC uC u S (t ) 2 dt dt d 2uC R duC 1 uC 1 (t ) L dt LC LC dt 2
uC
0

U0
0 U 0 e t
i
+
2- 2
-
t
uL

0 U 0 e t
能量转换关系 0<t<
uC减小，i 增大
< t < -
uC减小，i 减小
- < t <
|uC |增大，i 减小
L吸，C释
+
C R L C + -
L释，C释
R L C + -
衰减因子 固有振荡角频率
（阻尼振荡角频率） 0 无阻尼振荡角频率
s ±j
uC解的形式：
uC A1 e s 1t A2 e s 2 t e t ( A1 e j t A2 e j t )
uC A1 e s 1t A2 e s 2 t e t ( A1 e j t A2 e j t )
0 t uc U 0e sin( t )
i C
duC (C C )U 0 e t sin t dt 1 ( LC 2 LC 2 )U 0 e t sin t L 1 2 ( LC 0 )U 0 e t sin t L
s 2t s1 t
s1 2 e ( ) s2 e
（3）电感：
e
( s2 s 1 ) t
s1 2 ln( ) s2 2t m t s 2 s1
t<tm，电感吸收能量，建立磁场； t＞tm，电感释放能量，磁场渐渐衰减，趋向消失。 整个过程完毕时，uc=0，i=0，uL=0，电容储存的初始能量全部 被电阻消耗。t=2tm时，|uL|达到最大值。
L释，C吸
R L
U0
uc uC i
0 U 0 e t

+
2-
0

-
2
t
衰减振荡 欠阻尼

0 U 0 e t
特例 R = 0
0
1 LC
0
，
s 1, 2 ± 0 j

2
uC U 0 sin( 0 t
U0 i sin 0 t 0L
第16讲
二阶电路分析
结
束
预习: 正弦激励下一阶电路的响应
du i C C dt
uc Ae st 设
特征方程为
s 1, 2 LCs 2 RCs 1 0 R ± R2 4L / C R R 1 ( )2 2L 2L LC 2L
s 1, 2
∴
R R 2 1 ±( ) 2L 2L LC
仅与电路参数和结构有关
解出
A1 U 0 A2 U 0
uC U 0 (1 t )e t duC U 0 t i C te dt L di uL L U 0 e t (1 t ) dt
临界非振荡放电 （临界阻尼）
二、 二阶电路的阶跃响应
u R uC u L u S

2
) uL
等幅振荡 无阻尼
+ C
L
t
-
3.
R2
L C
s 1 , s 2 相等的实根
R s s1 s2 2L
uC e t ( A1 A2 t )
由初始条件
uC (0 ) U 0 A1 U 0
duC (0 ) 0 A1 ( ) A2 0 dt
式中 A 1
s2 U0 s 2 s1
s1 A2 U0 s 2 s1
e j t cos t j sin t e j t cos t j sin t
s1 ，s2 共轭
A1 ，A2 也共轭
uC e t ( A 1 e j t A 2 e j t )
2 0
特征方程
s 2s 0
2
的特征根s1、s2有四种情况
齐次解为
uCh K1e K 2e
s1t
s2t
由于阶跃信号（t）在t>0时等于常数1, 故其特解也是常数, 代 入动态方程得特解为
uCp 1
s1t
g (t ) uC (t ) 1 K1e K 2e
(1) 过阻尼(0) (2) 临界阻尼(=0)
2
s2t
将初始值代入上式, 可得各种情况下的阶跃响应
s1, 2
2 0
s1 s2
2 s1, 2 j 0 2
(3) 欠阻尼(衰减振荡, < 0) (4) 等幅振荡(=0)
s1, 2 j0
0 uc U 0e t sin( t ) 2
U 0 t i e sin( t) L
di 1 u L L U 0 ( e t sint e t cos t ) dt
0 U 0 e t ( sint cos t ) 0 0 0 U 0 e t sin( t )
实数
虚数
e t [( A1 A 2 ) cos t j( A1 A 2 ) sin t ]
e
t
[ A cos t B sin t ]
Ke t sin(t )
uC e t [ A cos t B sin t ]
由初始条件
A1e s1 t A2 e s 2 t uc
根据初始条件可得：
U s I0 / c 0 2 A1 s 2 s1
U 0 s1 I 0 / c A2 s1 s 2
根的性质不同，响应的变化规律也不同 L A 1e s 1t A 2 e s 2 t R2 二个不等负实根 uC C L R2 二个相等负实根 uC ( A 1 A 2 t ) e s t C
GCL并联电路为RLC串联电路的对偶电路, 略讲. 小结:
线性电路经典法解二阶过渡过程包括以下几步： (1)换路后(0+)电路列写微分方程 (2)求特征根，由根的性质写出固有响应（积分常数待定） (3)求强迫响应（稳态响应）
(4)全解=固有响应+强迫响应
(5)将初值f(0+)和f （0+)代入全解，定积分常数求响应 (6)讨论物理过程，画出波形
L R2 C 二 个共 轭复 根
uC Ke e
t
t
sin( t )
( A sin t B cos t )
1.
A 1 e s 1t A 2 e s 2 t uC
s2 A1 U0 s 2 s1
1
L 2 R C
(t=0)
s 1 , s 2 不等的负实根
∴电容在整个过程中一直释放储存的电能，因此称为非振荡放 电，或过阻尼放电。 （2）电流： 从0 i(∞)=0 ∴其中必然有一个最大值
di 0 dt
ln( s 2 / s1 ) tm s1 s 2
由 duL / dt 可确定uL为极小值的时间 t
se
2 1
s 1t
2 s 2 e s 2t 0
0 uC U 0 e t sin( t )
duC U 0 t i C e sin t dt L 0 di uL L U 0e t sin( t ) dt uC零点： t = -，2- ... n- ， uC 极值点为i零点。 i 零点： t =0, ，2 ... n ， i 极值点为uL零点。 u 零点： t = , +，2+ ... n+ uc L
uC (0 ) U 0 A U 0
duC ( 0 ) 0 A B 0 dt
d uC e t [ A cos t B sin t ] dt e t [Asin t Bcos t ]
A U0 B U0 t uC e U 0 (cos t sin t ) 0 t 或 uC e U 0 ( cos t sin t ) 0 0
U0
uc
i
tm 2tm uL
0< t < tm t>0 i>0 i 增加, uL>0 t = tm 时i 最大 t > tm i 减小, uL <0 t t = 2tm 时 uL 极小 t > 2tm uL 衰减加快
t=0+ i=0 , t= i=0
uL(0)=U0
（1）电容：
uc ,ic参考方向不同，但uc ,ic＞0，则C放出功率。
第16讲
重点掌握
二阶电路分析
二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应 学习方法 通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。
一、 二阶电路的零输入响应
1、典型二阶电路：RLC串联电路和GCL并联电路 在二阶电路中，给定的初始条件应有两个。 2、自由振荡（等幅振荡）
ƻ uL -
1/2CU2
1/2LI2
3、RLC串联电路的零输入响应 (t=0) uc
+ C
i
R
+ uL -
已知
L
uC(0+)=U0
i(0+)=0
求 uC(t) , i(t) , uL(t) .
d 2 uC di uL L LC dt dt 2
解
uC Ri uL
d 2 uC du LC RC C uC 0 dt 2 dt
uc
+ C
i
R
s1 A2 U0 s 2 s1
2
+ uL -
L
U0 s t s 1e s t ) uC ( s 2e s 2 s1
duc U0 s1t c es2t ) i(t) (e dt L(s2 s1)
di U0 s1t L s 2 e s 2t ) u L (t ) ( s1e dt s 2 s1
d 2uC R duC 1 uC 1 (t ) L dt LC LC dt 2 R , 1 令 0 2L LC d 2uC duC 2 2 2 0 uC 0 (t ) dt dt 2
初始值为
uC (0) 0 duC dt
t 0
iL (0) 0 C