数域的判定资料

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题目：数域的判定
研究问题：数域
方法：定义法
例题：
例1•证明两个数域之交是一个数域
设A和B是两个数域，若存在两个数x,y € A A B,且y工0,
则由于x,y € A,x/y € A;x,y € B,x/y € B,所以x/y € A A B.即A A B是一个数域.
例2.证明两个数域“之并”未必是数域.
如：
A={x|x=a+b V2,a,b € Q}
B={x|x=a+b V3,a,b € Q}
看它们的并集中分别取A、B中一个元素相加，看还在并集里吗？事实证明是不一定的，所以
两个数域“之并”未必是数域
例3.判断下列说法是否正确。

(1 )自然数集N及整数集Z都不是数域。

解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元a*a (-1 ) =1不满足这一条。

(2)奇数集不是数域。

解：对的
例5.设A为数域P上的n阶矩阵，数a为A的n重特征值，证明A=aE为数量矩阵
由已知，存在可逆矩阵Q满足QA-1AQ = diag(a,a,...,a) = aE
所以 A = Q(aE)Q A-1 = aQQA-1 = aE
此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除例6.设A是数域P上的n阶矩阵，数a为A的n 重特征值，如果A在P上相似于对角矩阵，证明A=aE为数量矩阵
由于A可对角化，故A的最小多项式无重根(这是个定理)
又由于a为A的n重特征根,故A有n个初等因子,都为入-a
故A的若当标准型为diag(a,a,...,a)
故存在可逆矩阵P使得P A(-1)AP=diag(a,a,...,a)=aE (此也为定理)
故A=PaEPA(-1)=aE
例7.设A是数域P上一个N*N阶矩阵，证明A与AAT相似
设x1 x2 .xn为A的特征值a1,a2,...,an 对应的特征向量，记X=[x1,x2,...,xn] 其是可逆的
则有XA(-1)AX=diag(a1,a2,...,an)
又有X'A'X'A(-1)=diag(a1,a2,...,an)
故有X'A'X'人(-1)=X A(-1)AX
进而有(XX')A'(XX')A(-1)=A
故有A和A'相似
例8.设A是数域F上的n阶方阵，并且有n个特征值.证明，存在数域F上的可逆矩阵T使得
TA-1AT为上三角矩阵.
证明：
设入1,...,入s为A的所有不同的实特征根，且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似, 即存在可逆实矩阵P使得PA(-1)AP=J,其中，
J1 入i 1
J2入i
J= .Ji=.1
Jn 为Jordan 标准型,而入i ,i=1,2,...,s 由于入i都为实数，所以J为上三角形实矩阵］
又由QR分解原理，矩阵P可以分解为TS,其中T为正交矩阵,S为上三角形矩阵，则有
pA(-1)AP=SA(-1)TA(-1)ATS=J, 即TA(-1)AT=SJSA(-1)
由于S,J,SA(-1)均为上三角形矩阵，故结论成立.
证毕.
例9.设V是有理数域上的线性空间，V的维数是n, A与B是V的线性变换，B可对角化，A
B-BA=A,证：存在正整数m使得A的m次幕是零变换
证明：对B的任何一个特征向量X,设BX =入X,即X是B的属于特征值入的特征向量.
由AB-BA = A, 有ABX-BAX = AX,故入AX-BAX = AX, B(AX)=( 入-1)AX.
若AX非零，则AX是B的属于特征值入-1的特征向量.
重复上述过程，若A2X非零，则A2X是B的属于特征值入-2的特征向量.
此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除依此类推，直至第n次：若(A5)X非零，则(A A n)X 是B的属于特征值入-n的特征向量.
但V的维数为n, B不可能有n+1个特征值入,入-1,…，入-n.
所以对某个k w n,有(AAk)X = 0, 从而也有(AAn)X = 0.
由B可对角化，其特征向量构成V的一组基.
AAn在V的一组基上都取0,所以AAn = 0.
例10.设A为数域P上的线性空间V的线性变换，证明：
①A可逆则A无0特征值；
②A可逆，则A- 1与A有相同的特征向量，若入0为A的特征值，则入0-1为A- —1的特征值证明：(1)用反证法。

若入=0是特征值，E是对应的特征向量，那么：
A E =入三=0
于是，一方面：AA(-1)[A E ]=AA(-1)[0]=0
另一方面：AA(-1)[A E ]=[AA(-1)A] E = E^ 0
这就得出矛盾。

因此，A可逆则A无0特征值。

(2 )设三是入0对应的特征向量，那么：A三=入0E
两边作用AA(-1)得：AA(-1)[A E ]=AA(-1)入0 E
入0AA(-1) E =E
AA(-1) E =(1/ 入0) E
即:入0-1为A- —1的特征值
注意事项及反思：数域是高等代数中多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、欧式空间、双线性函数等都是在一定数域的基础上建立起来的，所以做题时一定要注意是哪种数
域。