机器人动力学PPT课件

根据力、力矩平衡原理 有:
称5-1为牛顿方程，5-2为欧拉方程。
5-1 5-2
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其中Ii为杆i绕其质心的惯性张量
10
2、 拉格朗日方程
牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉方 程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静力学问题求解 。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基于系统能量的概 念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并具 有显式结构，物理意义比较明确。
m1l1212

1 2
I
2
yy1 1
Ek 2

1 2
m2 (d2212

d22 )

1 2
I
yy
2
2l12
I yy1 I yy2

m2d
2 2
)12

1 2
m2d22
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(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
pc1 [l1c1 l1s1 0]T
1
▲牛顿—欧拉运动方程 ▲拉格朗日动力学 ▲关节空间与操作空间动力学
2
前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进 行的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器 人的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人 的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等 因案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学 是考虑上述因素，研究机器人运动与关节力(力矩)间的 动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动 力学方程。机器人动力学要解决两类问题：
操作运动之间的关系．由式(4)和(5)，得(6) ：
F M x (q)x Ux (q, q) Gx (q) ……4
J T (q)F
……5
J T (q)[M x (q)x U x (q, q) Gx (q)]
……6 式(6)反映了输入关节力与机器人运动之间的关系。
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思考题1 什么是拉格朗日函数
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(1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩 建立连杆D-H坐标系如上图所示，关节变量为θ 1+π/2为
求解方便，此处取关节变量为θ 1和d2，关节驱动力矩τ l和 力f2。
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(2)系统动能 由式(1)，分别得
Eki

1 2
mi
T
ci
ci

1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1

1 2
dt q q q
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[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量 分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯 量矩阵为：
Ixx1 0 0
1 I1


0
I yy1
i

0 0 Izz1
Ixx2 0 0
2 I2


0
I yy2
i

0 0 Izz2
M x (q)
……操作空间中的惯性矩阵
Ux (q, q)
……离心力和哥氏力矢量
Gx (q)
……重力矢量
F ……广义操作力矢量
x ……机器人末 端位姿向2量5
由上一章可知，广义操作力和关节力之间的关系为：
J T (q)F
操作空间与关节空间之间的速度与加速度的关系：
x J (q)q
x J (q)q J (q)q J (q)q ar (q, q)
动力学正问题和逆问题。
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动力学正问题是——根据关节驱动力矩或力，计算机器 人的运动(关节位移、速度和加速度)；
动力学逆问题是——已知轨迹对应的关节位移、速度和加 速度，求出所需要的关节力矩或力。
不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素 时，n 自由度机器人动力方程为n个二阶耦合非线性微分方程 。方程中包括惯性力/力矩、哥氏力/力矩、离心力/力矩及重 力/力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人 动力学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange) 方法、牛顿一欧拉(Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凯恩 (Kane)、旋量对偶数、罗伯逊一魏登堡(Roberson— Wittenburg)等方法。
Eki

1 2
mi
T
ci
ci

1 2
i Ti i
Iiii
系统的动能为n个连杆的动能之和，即：
n
Ek Eki i 1
Ek
(q,
q)

1 2
qT
D(q)q
12
q 由于
和
ci
是i关i节变量
和关节速度
的
函数q，因此，从上式可知，机器人的动能是关
节变量和关节速度的标量函数，记为 ，可
则：
E p1 m1gT pc1 m1gl1s1
E p2 m2gT pc2 m2gd2s1
总势能为：
E p g(m1l1 m2d2 )s1
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(4)偏导数
Ek q

(m1l12

I
yy1
I yy2 m2d2

m2d22
)1

Ek q
0

m2d212
n
Epi Epi i 1
它是q的标量函数。
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4．拉格朗日方程 系统的拉格朗日方程为：
d L L
dt q q
上式又称为拉格朗日—欧拉方程，简称L—E方程。式
中， 是n个关节的驱动力或力矩矢量，上式可写成：
d Ek Ek Ep
D(q)

m1l12

I yy1
I 0
yy 2

m2
d
2 2
0
m2

H
(q,
q)

2mm2d2d221d122

G(q)

(m1l1
m2d2 m2 gs1
)
gc1

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式(3)为机器人在关节空间中的动力学方程封闭 形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节变 量、速度和加速度之间的函数关系。对于n个关节的
(1) 拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动 能Ek与总的势能Ep之差，即:
L(q, q) Ek (q, q) Ep (q)
q [q1 q2 q [q1 q2
qn ] 表示动能与势能的广义坐标 qn ] 相应的广义速度
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(2) 机器人系统动能 在机器人中，连杆是运动部件，连杆i的动能Eki为连 杆质心线速度引起的动能和连杆角速度产生的动能之 和，即:
I yy1

I yy2

m2
d
2 2
)1

2m2d21d2

m2d2 m2d212 m2 gs1
g (m1l1

m2
d
2
)c1


…2
22
3、关节空间与操作空间动力学 (1)关节空间动力学方程
将式2写成矩阵形式：
D(q)q H (q, q) G(q) …3
式中
比较关节空间与操作空间动力学方程，可以得到： D(q) J T (q)M x (q)J (q)
H (q, q) J T (q)U x (q, q) J T (q) 9q)ar (q, q)
G(q) J T (q)Gx (q)
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3．关节力矩—操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的
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研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最 优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中需根 据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负载大小 进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算 设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和 路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要 以机器人动力学模型为基础。
机器人，D(q是)n×n正定对称矩阵，是q的函数，称
为机器人惯性矩阵；H (q,是q)n×1的离心力和哥氏力向
量； G是(qn)×1重力矢量，与机器人的形位q有关。
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2．操作空间动力学方程 与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，操
x 作力F与末端加速度 之间的关系可表示为：
F M x (q)x Ux (q, q) Gx (q)

Ep q


g
(m1l1 m2 gm2 s1
d2
)c1

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(5)拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日方
程，得到平面RP机器人的动 力学方程的封闭形式：
d Ek Ek Ep
dt q q q
拉格朗日方程


1

2


(m1l12
作用在杆i的 力和力矩
6
根据力、力矩平衡原理有
7
5.2 机器人动力学正问题 机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩
作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器人 手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方法 有牛顿—欧拉法和拉格朗日法等。
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1、牛顿—欧拉法方 程
在考虑速度与加速 度影响的情况下，作用在 机器人手臂杆i上的力和 力矩如右图所示。其中 vci和ωi分别为杆i质心的 平移速度向量和此杆的角 速度向量。
5
5.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂上 的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各关 节力矩与接触力的关系。
下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi为杆 件i-1对杆i的作用力，-ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i-1Ni为 杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对杆i的作用力矩，ci 为杆i质心。
？简述用拉格朗日方法建立 机器人动力学方程的步骤。
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表示E成k (q：, q)
Ek
(q,
q)

1 2
qT
D(q)q
式中， D(q是)nxn阶的机器人惯性矩阵
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3．机器人系统势能
设连杆i的势能为 ，Ep连i 杆i的质心在O坐标系中的位置矢 量为 ，重pc力i 加速度矢量在坐标系中为g，则：
Epi mi gT pci
机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即：