湖北省八校2015届高三数学第二次联考试卷 理

2 侧视图
俯视图
第4题图
2015届高三第二次联考 数学试题（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为R ，集合{
}{}
2
21,320x A x B x x x =≥=-+≤，则R A C B = A. {}
0x x ≤ B. {}
1x x
≤≤2 C. {}
012x x x ≤<>或
D. {}012x x x ≤<≥或
2. 若复数z 满足(1)42(z i i i +=-为虚数单位），则||z =
3. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为
C. 0
D. 4. 某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为 2的正三角形，则这个几何体的体积是
A. 32cm 3cm C. 3
33cm D. 33cm 5. 在等腰ABC ∆中，90,2,2,BAC AB AC BC BD ∠====3AC AE =，则AD BE ⋅的值为
A ．43-
B ．13-
C ．13
D ．4
3
6. 设不等式组0x y x y y ⎧+≤⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎩
M ，函数y =
x 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的概率为 A. 2π B. 4π C.8
π D. 16π
7. 下列说法正确的是
A. “0x <”是“ln(1)0x +<”的充要条件
B. “2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．
是“2,x ∃<2
320x x -+<” C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学
均被选出，则该班学生人数可能为60 D. 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若X 在(0,1)内取值的概
率为0.4，
则X 在(0,2)内取值的概率为0.8
8. 已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =
A.
83 B. 5
2
C. 3
D. 2 9. 已知函数21
3,10()132,01x g x x x x x ⎧- -<≤⎪
=+⎨⎪-+<≤⎩
，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等的
第3题图
实根，则实数m 的取值范围是
A ．9(,2][0,2]4-
- B ．11
(,2][0,2]4-- C ．9(,2][0,2)4-- D ．11
(,2][0,2)4
--
10.函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定
||
(,)||
A B k k A B AB ϕ-=
叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2
，则(,)A B ϕ> ②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =上不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞.以上正确命题的序号为 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一） 必考题（11—14题） 11. 已知二项式2
1()n
x x
+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是_ _.
12. 若实数,,a b c 满足232a b c ++=，则当2
2
2
23a b c ++取最小值时，249a b c ++的值为________.
13. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，将直线2
x y =
与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积
120()2
x
V dx =⎰π圆锥310
.1212
x =
=
ππ
据此类比：将
曲线2
(0)y x x =≥与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积______V =.
14.设数列{}n a 共有n 项*(3,)n n N ≥∈,且11n a a ==，对于每个*
(11,)i i n n N ≤≤-∈均有
11
{,1,3}3
i i a a +∈. （1）当3n =时，满足条件的所有数列{}n a 的个数为__________；
13
（2）当10n =时，满足条件的所有数列{}n a 的个数为_________.
(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的
题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）
15. （选修4—1：几何证明选讲）如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的
割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =30，2=AD ，1=PC ,
则圆O 的半径等于__________． 16. （选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为132x t
y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为22sin()4
π
ρθ=+
，则直线l 与曲线C 相交的弦长为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知函数()cos cos()3
f x x x π
=+
.
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1
(),4
f C =-2,a =且ABC ∆的面积为23，求边长c 的值.
18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足
113,1a b ==，
2252310,2.b S a b a +=-=
(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)令设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2.n T
19. （本小题满分12分）端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进
行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形,,,,SEE SFF SGG SHH ''''∆∆∆∆再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S EFGH -,其中,,,A B C D 重合于点O ，E 与E '重合，F 与F '重合，G 与G '重合，H 与H '重合（如图所示）. （Ⅰ）求证：平面SEG ⊥平面SFH ；
（Ⅱ）当5
2
AE =
时,求二面角E SH F --的余 弦值.
20.（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，
n 为奇数，
n 为偶数，
2,,n n n S c b ⎧⎪=⎨⎪⎩第20题图
A H
G ′ D S G B
E
H
O
G
F
第19题图
S
· ′
H ′
O P
A C
D
E
第15题图
·
得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．
（Ⅰ）求a 的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气
质量指数的平均值；
（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不
超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．
21. （本小题满分13分）如图，已知椭圆22
221(0),(2,0)x y a b A a b
+=>>是长轴的一个端点，弦
BC 过椭圆的中心O ，且0,2AC BC OC OB BC BA ⋅=-=-.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P 、Q 为椭圆上异于,A B 且不重合的两点，且PCQ ∠的平分线总是
垂直于x 轴，是否存在实数λ，使得PQ AB =λ，若存在，请求出λ最大值，若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分14分）已知函数2
2
1()ln ,(),,2
f x x mx
g x mx x m R =-=
+∈令()()()F x f x g x =+.
（Ⅰ）当1
2
m =
时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值； （Ⅲ）若2m =-，正实数12,x x 满足1212()()0F x F x x x ++=，证明：12x x +≥
湖北省 八校 2015届高三第二次联考
数学试题（理科）参考答案
1-5 CDABA 6-10 BDACB
11. 10 12. 5 13. 2π 14. （1）3 （2）3139 15. 7 16.
1. 解析：{|0},{|12},{|12}R A x x B x x C B x x x =≥=≤≤=<>或，
∴R A C B ={}012x x x ≤<>或
2. 解析：42(42)(1)
13,||1(1)(1)
i i i z i z i i i ---=
==-=++-第21题图
鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中学
3.
解析：289sin
sin
sin
sin 3
3
3
3
S π
ππ
π=++++= 4. 解析：由图知几何体的体积为11
(12)232
V =
⋅+⋅= 5. 解析：11
(),23
AD AB AC BE AE AB AC AB =+=-=-
2211114()()().23233
AD BE AB AC AC AB AC AB ∴⋅=
+⋅-=-=- 6. 解析：区域M 的面积为2，区域N 的面积为2π，由几何概型知所求概率为4
P π
=. 7. 解析：A 中应为必要不充分条件；B 中命题的否定为“2x ∃≥，2
320x x -+≥”；C 错；
D 对.
8. 解析：设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足为N ，则由2
3
NQ MF =及4MF p ==可得8.3
QF =
9. 解析：令()0g x mx m --=得()(1)g x m x =+，原方程有两个相异的实根等价于两函数
()y g x =与(1)y m x =+的图象有两个不同的交点.
当0m >时，易知临界位置为(1)y m x =+过点(0,2)和(1,0)，分别求出这两个位置的斜率
12k =和20k =，由图可知此时[0,2)m ∈
当0m <时，设过点(1,0)-向函数1
()3,(1,0]1
g x x x =
-∈-+的图象作切线的切点为00(,)x y ，则由函数的导数为2
1
()(1)g x x '=-
+得
0200
01(1)1131y x x y x ⎧-=⎪++⎪⎨⎪=-⎪+⎩
解得001332x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得切线的斜率为1
94k =-，而过点(1,0),(0,2)--的斜率为12k =-，由图知此时9(,2]4m ∈--
，9
(,
2][0,2)4
m ∴
∈--
10.解析：①错：(1,1),(2,5),|||7,(,)A B A B AB
k k A B ϕ=
-=∴=
< ②对：如1y =；③对：(,)2A B ϕ=
=
≤；
④错：1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
12111,(,)(,)
t A B A B ϕϕ==><恒成立，故1t ≤. 11.解析：由232n
=得5n =，2510315
51()
r
r
r
r r
r T C x
C x
x --+
⎛⎫==
⎪⎝⎭
，令10
31r -=得3r =，故含x 项的系数为3510C =．
12.解析：由柯西不等式得22222224(23)[))](1)a
b c a =
++≤++
++
2224223.63a b c ∴++≥
=此时,1a a b c ==∴
==又232a b c ++=，1
,24953
a b c a b c ∴===∴++=
13.解析：2
2
222
00
1
|2.2
V dy ydy y ππππ=
===⎰
⎰
14.解析：（1）当3=n 时，因为
211,1,33a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，321,1,33a a ⎧⎫
∈⎨⎬⎩⎭
， 所以21
,1,33a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，
211,1,33a ⎧⎫
∈⎨⎬⎩⎭
，所以213a =或12=a 或23a =
所以满足条件的所有数列{}n a 的个数为3个； (2)令1
(19)i i i
a b i a +=
≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a 满足条件 31010212912911a a a a b b b a a a a ⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅==，且1,1,33i b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
反之符合上述条件的9项数列{}n b ，可唯一确定一个符合条件的10项数列{}n a 记符合条件的数列{}n b 的个数为N ， 显然(19)i b i ≤≤中有k 个3，k 个
1
3
，92k -个1 当k 给定时，{}n b 的取法有99k
k
k C C -种，易得k 的可能值为0,1,2,3,4, 故1
1
2
2
3
3
4
4
9897969513139.N C C C C C C C C =++++=
所以满足条件的所有数列{}n a 的个数为3139个.
15.解析：Rt PAD ∆
中，2,4,AD PD PA =∴==由切割线定理得2,PA PC PB =⋅
21,PB ∴=⋅12,8PB BD ∴=∴=又由相交弦定理得,AD ED CD BD ⋅=⋅
12,ED ∴=所以直径为14，故半径为7.
16.解析：把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的极坐标方程化为普通
方程得22(1)(1)2x y -+-=
==
17.
解析：21()cos (cos cos
sin sin )cos 2332f x x x x x x π
π==11cos(2)234x π=++
…………………4分
（1）T π=； …………………6分 （2）111()cos(2),cos(2)1,.234433
f C C C C πππ
=
++=-∴+=-∴= …………………8分 13sin 23,8,2,4,24
ABC
S
ab C
ab ab a b ===∴==∴= …………………10分 由余弦定理得2222cos 12,c a b ab C c =+-=∴= …………………12分 18.解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则 由225
2310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩
所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． …………………4分 (Ⅱ)由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，
则即 …………………6分
21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++
32111111[(1)()()](222)3352121
n n n -=-+-++-++++-+ …………………9分
12(14)12114
n
n -=-+
+-22(41)213n n n =+-+ …………………12分 19.解：（Ⅰ）折后,,,A B C D 重合于一点,O ∴拼接成底面EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH 是正方形，故EG FH ⊥. …………………2分
在原平面图形中，等腰三角形SEE SGG ''∆∆,,SE SG ∴=.EG SO ∴⊥ ………………4分
又,,,SO FH SFH SO FH O ⊂⋂=EG ∴⊥平面SFH .
又EG ⊂平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . …………………6分
n 为奇数， n 为偶数， 12,(2)2,n n n n c -⎧⎪+=⎨⎪⎩
11
1,22,n n c n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩n 为奇数， n 为偶数，
（Ⅱ）法1：过O 作OM SH ⊥交SH 于M 点，连EM ,EO ⊥面SFH ,EO SH ∴⊥, SH ∴⊥面EMO ，EMO ∴∠为二面角E SH F --的平面角. …………………8分 当52AE =
时，即5,2OE =Rt SHO
中，5,SO OH SO SH OM SH
⋅==∴==Rt EMO
中，EM ==
,2cos .3
OM EMO EM ∠=== 所以所求二面角的余弦值为2.3
…………………12分 法2：由（Ⅰ）知,,EG FH EG SO ⊥⊥并可同理得到,HF SO ⊥故以O 为原点，分别以,,OF OG OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz - 在原平面图形中，5
,2
AE =则底面正方形EFGH 的对角线5EG =，555555
(,0,0),(0,,0),(0,,0),(,,0),(0,,0).222222
H E G HE OG ∴--=-=
在原平面图形中，可求得SE 在Rt SO E ∆
中，可求得5,SO =
5
(0,0,5),(,0,5),2
S SH ∴=-- …………………8分
设平面SEH 的一个法向量为(,,)n x y z =，
则550,2550,22
n SH x z n HE x y ⎧
⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩得,12y x z x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 令2x =，则(2,2,1)n =- …………………10分
EG ⊥平面SFH ，OG ∴是平面SFH 的一个法向量，设二面角E SH F --的大小为,θ
则2cos .3
n OG
n OG θ-=
=⋅∴二面角E SH F --的余弦值为2
,3 …………………12分
20.解：(Ⅰ)由题意，得(0.030.0320.010.008)101,a ++++⨯=解得0.02.a =…………………3分 50个样本中空气质量指数的平均值为0.150.2150.32250.3350.084525.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …………6分 （Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[]0,20内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则(2,0.3)B ξ
.ξ的可能取值为0，1，2，
0021224942(0)(0.3)(0.7),(1)(0.3)(0.7),100100P C P C ξξ==⨯=
==⨯=2
229(2)(0.3)100
P C ξ===
ξ∴的分布列为：
…………………8分 494290120.6100100100
E ξ=⨯
+⨯+⨯=.(或者20.30.6E ξ=⨯=)， …………………10分 故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为300.618⨯=天. … 12分 21.解：（I ）∵0,AC BC ⋅= ∴,90AC BC ACB ⊥∠=︒
又2,OC OB BC BA -=-即2BC AC =，∴△AOC 是等腰直角三角形 ……………2分 ∵(2,0),A ∴(1,1)C 而点C 在椭圆上，∴
22111,2,a a b +== ∴2
43
b =
∴所求椭圆方程为22
3144
x y += …………………4分
（II ）对于椭圆上两点P 、Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴
∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，设(0PC k k k =≠且1)k ≠±，则CQ k k =-，………6分 则PC 的直线方程1(1)(1)1y k x y k x -=-⇒=-+ ① QC 的直线方1(1)(1)1y k x y k x -=--⇒--+ ②
将①代入22
3144
x y +=得222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--= ③
∵(1,1)C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴22361
113p p k k x x k --⋅==+ ……………8分
以k -替换k ，得到22361
31
Q k k x k +-=+.
22222
6242()21131312123
1313p Q p Q PQ
p Q p Q k k k k y y k x x k k k k k k x x x x k k
--⋅--+
-++====
=----++
而1
,3
AB k =∴,PQ AB k k = ∴PQ ∥AB ，∴存在实数λ，使得PQ AB =λ ………………10分
||(
PQ x =
=
=
当
2219k k =
时即2
1,3k k ==时取等号，
又||10AB =max
λ==…………………… 13分 22.解：⑴21(),0,2f x lnx x x =->2
11()(0)x f x x x x x
-'=-=> ……………………2分
由()0,f x '>得210,x ->又0,x >所以01x <<．所以()f x 的单增区间为(0,1). ………4分
（2）方法一：令21
()()(1)(1)1,2
G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+
所以21(1)1
()(1)mx m x G x mx m x x
-+-+'=-+-=．
当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数，
又因为213
(1)11(1)120,22
G ln m m m =-⨯+-+=-+>
所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立． ………………………6分 当0m >时，2
1
()(1)(1)1
()m x x mx m x m G x x
x
-
+-+-+'==-
． 令()0,G x '=得1x m =
，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1
(,)x m
∈+∞时，()0G x '<． 因此函数()G x 在1(0,
)x m ∈是增函数，在1
(,)x m
∈+∞是减函数． 故函数()G x 的最大值为2111111
()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m =-⨯+-⨯+=- …………8分
令1()ln ,2h m m m =
-因为11
(1)0,(2)20,24
h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2． ……………10分
方法二：⑵由()1F x mx ≤-恒成立，得21
12lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立．
问题等价于2
1
12
lnx x m x x ++≥
+在(0,)+∞上恒成立．
令2
1
()12
lnx x h x x x ++=
+，只要max ()m h x ≥． ……………………6分
因为221
(1)()
2(),1()2
x x lnx h x x x +--'=+令()0,h x '=得102x lnx --=．
设1()2x x lnx ϕ=--，因为11
()02x x ϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，
不妨设1
02x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<．
所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．
所以0
00max
020*********()()11(1)22
x lnx x h x h x x x x x x +
++====++． …………………8分
因为111()20,(1)0242
ln ϕϕ=->=-< 所以01 1.2
x <<此时max 0112,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2 …… 10分 （3）当2m =-时，2(),0F x lnx x x x =++>
由1212()()0,F x F x x x ++=即22111222120lnx x x lnx x x x x ++++++=
从而212121212()()()x x x x x x ln x x +++=⋅-⋅ ……………………13分
令12,t x x =⋅则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t t
ϕ-'= 可知()t ϕ'在区间（0，1）上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增。

所以()(1)1,t ϕϕ≥= 所以21212()()1,x x x x +++≥
即12x x +成立. ………………………14分。