材料力学——1轴向拉伸与压缩

max 0 /2127.4/263.7MPa
127 .4 a (1cos 2a ) (1cos 60)95.5MPa 2 2
127 .4 a sin 2a sin6055.2MPa 2 2
0
0
例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉 应力为[]=100MPa ；许用剪应力为[]=50MPa ，并设杆的强
D
PD D PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA P B P C P D 0
N1 5P 8P 4P P 0
N1 2P
同理，求得AB、 BC、CD段内力分
N2
B
PB
C
PC C PC
D
PD
别为：
N2= –3P N3= 5P N4= P
轴力图如右图
N 2P +
N3
D
PD D PD
N4
5P
+ P x
– 3P
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
5kN 5kN
8kN
3kN
+
8kN
–
3kN
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
L x q O
自由端。 取左侧x 段为对象，内力N(x)为： q(x) x qL Nx
N – x
kL2 2
1 2 N ( x) kxdx kx 2 1 2 N ( x)max kL 2
x 0
O
§1–3 截面上的应力及强度条件
问题提出： P P 1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。 一、应力的概念 1. 定义：由外力引起的内力集度。 P P
5、杆的横向变形：
ac ac
ac ac ac
第一章
轴向拉伸和压缩
§1–1 轴向拉压的概念及实例
§1–2 内力、截面法、轴力及轴力图 §1–3 截面上的应力及强度条件
§1-4
§1-5
拉压杆的变形 弹性定律
拉压杆的弹性应变能
§1-6 拉压超静定问题及其处理方法 §1-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能
§1–1 轴向拉压的概念及实例
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
应力[]=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。
q
钢拉杆
8.5m
解： ① 整体平衡求支反力 q
HA
RA
钢拉杆
8.5m
RB
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
② 局部平衡求 轴力： q HC ③应力： RC
mC 0 N 26.3kN
HA
RA ④强度校核与结论： N
k
P P
P 0 a pa sina 0 cosa sina sin2a 2
a pa cos a 0 cos2a
k
a
k
a
a
Pa
a
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
k
a
当a = 0°时，( a )max 0 (横截面上存在最大正应力) 当a = 90°时， ( a ) min 0
P 则： pa a Aa
k P k P P
a
k Pa
a
k
Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。
A 由几何关系： cos a Aa
pa P P a cos a 0 cos a Aa A

A Aa cos a
代入上式，得：
斜截面上全应力： pa 0 cosa
斜截面上全应力： pa 0 cosa 分解： pa
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
例如： 截面法求N。 P 截开： A A 简图 代替： P A 平衡： N P
P
P
X 0
PN 0
PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
3. 轴力的正负规定: N 与外法线同向,为正轴力(拉力) N与外法线反向,为负轴力(压力) N N N N N>0 N<0
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定
义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示：
①平均应力：
P
M
A
ΔP pM ΔA
②全应力（总应力）：
Δ P dP pM lim dA Δ A0 Δ A
③全应力分解为： 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
| a |max 当a = ± 45°时，
0
2 当a = 0,90°时， | a |min 0
(45 °斜截面上剪应力达到最大)
补充： 1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面 上的应力情况，称为这点的应力状态。 2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的 无限小的几何体，常用的是正六面体。
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
二、
工 程 实 例
§1–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。

max
N 4P A d2
4 26.3 103 MPa 2 131 3.14 0.016
max
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
[例5] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力 为[]。
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 义 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 N P + x
强度计算提供依据。
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA N1 A PA B PB B PB C PC C PC
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
Saint-Venant原理与应力集中示意图 变形示意图： P a b c P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
7. 强度设计准则（Strength Design）：
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
N ( x) max max( ) A( x)
单元体的性质—a、平行面上，应力均布；
M
P

b、平行面上，应力相等。
3、拉压杆内一点M 的应力单元体:




4、拉压杆斜截面上的应力


取分离体如图3， a 逆时针为正；


a 绕研究对象顺时针转为正；
由分离体平衡得：
a
a
a 0 cos2a a a 0 sina cos
x
图3
0 a (1cos2a ) 2 或: 0 sin 2a a 2
例6 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应力， 并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。 解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：
P 410000 0 127 .4MPa 2 A 3.1410
N ( x) max max( ) A( x)
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。 5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 6. 应力集中（Stress Concentration）：
一、拉压杆的变形及应变 1、杆的纵向总变形：
a c
x
b d
dL L1 L
L
2、线应变：单位长度的线变形。
3、平均线应变：
dL L1 L L L
P
a´ c´
x dx
b´ d´
P
L1 4、x点处的纵向线应变：
6、x点处的横向线应变：
dx lim x 0 x
b´ d´
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 2. 拉伸应力： P

N(x)
N ( x) A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
度由胶合面控制,杆的横截面积为A= 4cm² ，试问:为使杆承受最