2018-2019学年福建省龙岩中学中城中学八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2018-2019学年福建省龙岩中学中城中学八年级（上）期
中数学试卷
1.下列等式成立的是()
A. a2+a3=a5
B. a3−a2=a
C. a2⋅a3=a6
D. (a2)3=a6
2.计算2x2⋅(−3x3)的结果是()
A. 6x5
B. 2x6
C. −2x6
D. −6x5
3.下列四个图形中，是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
4.如果正n边形的每个内角都等于135°，则n的值为()
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
5.已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是()
A. 12cm
B. 16cm
C. 16cm或20cm
D. 20cm
6.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图
所示，则在该车牌的部分号码为()
A. E9362
B. E9365
C. E6395
D. E6392
7.如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不能使△
ABC≌△ABD的是()
A. AC=AD
B. BC=BD
C. ∠C=∠D
D. ∠ABC=∠ABD
8.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一
点，则下列选项正确的是()
A. PQ≤5
B. PQ<5
C. PQ≥5
D. PQ>5
9.如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=
9，AB=12，则BC的长是()
A. 10
B. 10.8
C. 12
D. 15
10.如图，在边长为3的等边△ABC中，N是AB上一点，
M是BC延长线上一点，连接MN交AC于点E，若ND⊥
AC，AN=CM，则DE的长为()
A. 1
3
B. 3
2
C. 1
2
D. 2
3
11.已知A(a,2)与B(−3,2)关于y轴对称，则a=______．
xy2)=______．
12.计算(−3xy)⋅(1
3
13.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD
交AC于点D，AD=2，BC=9，则△BDC的面积是
______．
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB
于D点，AB=4，则BD的长是______．
15.如图，△ABC中，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，EF交BC于点F，且AC=6，
BC=9.则△AFC的周长为______．
16.如图，已知△ABC的面积为12cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD
于D，则△ADC的面积为______cm2．
17.将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，如
图所示，请你用三种不同的方法分别在图甲、图乙、图丙中再将两个空白的小正方形涂上阴影，使它成为轴对称图形．
18.计算：
(1)(a2b)2⋅(ab2)；
(2)1
xy⋅(x−2y)．
2
19.正多边形的一个内角等于144°，这个多边形是几边形？它的对角线条数是多少？
20.如图，已知等腰△ABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成
12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长．
21.如图，在△ABC中，AD=AE，点D、E在边BC上，且BD=
CE.求证：AB=AC．
22.已知：如图，AB=AC=CD，AD=BD，试求∠BAC的度数．
23.如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，BC=EF，AB=DE．
(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是
______；
(2)在你添加的条件后，证明△ABC≌△DEF．
24.如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，CE=DE．
(1)求证：AE=BD．
(2)试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论．
25.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点(D与B、C均不重合)，AD=AE，
∠DAE=60°，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a2+a3=a5，不是同类项不能合并，故本选项错误；
B、a3−a2=a，不是同类项不能合并，故本选项错误；
C、a2⋅a3=a5，故本选项错误；
D、(a2)3=a6，故本选项正确．
故选：D．
根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：原式=2×(−3)x2+3=−6x5，
故选：D．
根据单项式乘单项式，可得答案．
本题考查了单项式乘单项式，熟记单项式的乘法并根据法则计算是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
【解析】解：∵正n边形的一个内角是135°，
∴该正n边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
=8，
∴边数n=360°
45∘
故选：C．
根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数n．
本题主要考查多边形内角与外角，解答本题的关键是运用多边形的外角和为360°．5.【答案】D
【解析】解：当腰长为4cm时，4+4=8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8cm时，符合三边关系，其周长为8+8+4=20cm．
故该三角形的周长为20cm．
故选：D．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称，则该汽车的号码是E6395．
故选C．
利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【解析】解：A、∵在△ABC和△ABD中
{AC=AD
∠CAB=∠DAB AB=AB
∴△ABC≌△ABD(SAS)，正确，故本选项错误；
B、根据BC=BD，AB=AB和∠CAB=∠DAB不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；
C、∵在△ABC和△ABD中
{∠C=∠D
∠CAB=∠DAB AB=AB
∴△ABC≌△ABD(AAS)，正确，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△ABD中
{∠CAB=∠DAB AB=AB
∠DBA=∠CBA
∴△ABC≌△ABD(ASA)，正确，故本选项错误；
故选：B．
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，已知有∠DAB=∠CAB和隐含条件AB= AB，看看再添加的条件和以上两个条件是否符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．
【解答】
解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥5．
故选C．
9.【答案】B
【解析】解：∵S△ACB=1
2CB⋅AD=1
2
AB⋅CE，
∴1
2×BC×10=1
2
×12×9，
解得：BC=10.8，故选：B．
利用三角形的面积可得1
2CB⋅AD=1
2
AB⋅CE，再代入数据即可．
此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握三角形的面积公式．10.【答案】B
【解析】解：过N作NF//BC交AC于F，如图所示：
∵NF//BC，△ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠NFE=∠MCE，∠ANF=∠B=60°，∠AFN=∠ACB= 60°，∠A=60°，AC=3，
∴△ANF是等边三角形，
∴AN=NF=AF，
∵ND⊥AC，
∴AD=DF，
∵AN=CM，
∴NF=CM，
在△NFE和△MCE中，
{∠NFE=∠MCE ∠NEF=∠MEC NF=CM
，
∴△NFE≌△MCE(AAS)，∴FE=CE，
∵AD=DF，
∴DE=AD+CE=1
2AC=1
2
×3=3
2
，
故选：B．
过N作NF//BC交AC于F，证△ANF是等边三角形，得AN=NF=AF，再证△NFE≌△MCE(AAS)，得FE=CE，进而求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和判定、平行线的性质等知识，证明△NFE≌△MCE是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知：
A(a,2)与B(−3,2)关于y轴对称，则a=3．
平面内两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．
主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.【答案】−x2y3
【解析】解：(−3xy)⋅(1
3
xy2)
=(−3×1
3
)⋅(x⋅x)⋅(y⋅y2)
=−x2y3，
故答案为：−x2y3．
根据单项式乘单项式的运算法则计算．
本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
13.【答案】9
【解析】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，
∴DE=AD=2，
∴△BDC的面积=1
2BC⋅DE=1
2
×9×2=9．
故答案为：9．
过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=1
2
AB=2，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴AD=1
2
AC=1，
∴BD=AB−AD=3，
故答案为：3．
根据直角三角形的性质求出AC，根据同角的余角相等得到∠ACD=∠B=30°，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
15.【答案】15
【解析】解：∵EF是边AB的垂直平分线，
∴FA=FB，
∴△AFC的周长=AC+CF+FA=AC+CF+FB=AC+BC=6+9=15，
故答案为：15．
根据线段垂直平分线的性质得到FA=FB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：延长BD交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，
{∠BAD=∠EAD
AD=AD
∠ADB=∠ADE=90°
，
∴△ABD≌△AED(ASA)，
∴BD=DE，
∴S△ABD=S△AED，S△BDC=S△CDE，
∴△ADC的面积=S△ADE−S△CDE=1
2(S△ABE−S△BCE)=1
2
S△ABC=1
2
×12=6(cm2)，
故答案为：6．
延长BD交AC于E，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，根据全等三角形的性质得到BD=DE，由三角形的面积公式即可得到△ADC的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：如图所示：
【解析】根据轴对称的性质画出图形即可．
本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=a 4b 2⋅(ab 2)
=a 4+1b 2+2
=a 5b 4；
(2)原式=12xy ⋅x −12xy ⋅2y
=12x 2y −xy 2．
【解析】(1)先计算积的乘方，幂的乘方，然后再利用单项式乘单项式运算法则进行计算；
(2)利用单项式乘多项式的运算法则进行计算．
本题考查幂的混合运算，整式的乘法运算，理解幂的乘方(a m )n =a mn ，积的乘方(ab)n =a n b n 和单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的运算法则是解题关键，
19.【答案】解：360°÷(180°−144°)=10，
即这个多边形是10边形，
对角线的总条数是：10×(10−3)÷2=35(条)．
【解析】一个多边形的每个内角都等于144°，则每个外角是36°.根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数，再根据多边形的对角线的条数的计算公式n(n−3)2计算即可．
本题考查了多边形内角与外角的关系，多边形的对角线，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
20.【答案】解：AB =AC ，BD 为腰AC 上的中线，设AD =DC =x ，BC =y ，
根据题意得{x +2x =12y +x =21或{x +2x =21y +x =12
， 解得{x =4y =17或{x =7y =5
， 当x =4，y =17时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系，舍去；
当x =7，y =5时，等腰三角形的三边为14，14，5，
答：这个等腰三角形的底边BC 长是5．
【解析】如图，AB =AC ，BD 为腰AC 上的中线，设AD =DC =x ，BC =y ，根据三
角形周长得{x +2x =12y +x =21或{x +2x =21y +x =12
，然后分别解方程组后求出三角形的三边，最后利用三角形三边的关系确定三角形的底边长．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
21.【答案】证明：∵AD =AE ，
∴∠ADE =∠AED ，
∴∠ADB =∠AEC ，
在△ABD 和△ACE 中，
{AD =AE ∠ADB =∠AEC BD =CE
，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AB =AC ．
【解析】由等腰三角形的性质得∠ADE =∠AED ，则∠ADB =∠AEC ，再证△ABD≌△ACE(SAS)，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明△ABD≌△ACE 是解题的关键．
22.【答案】解：∵AB =AC
∴∠B =∠C ，
∵BD =AD ，CD =AC ，
∴∠B =∠BAD ，∠ADC =∠DAC =2∠B ，
在△ACD 中，
∵∠ADC =∠DAC =2∠B ，∠C =∠B ，
∴5∠B =180°
解得∠B =36°，
∴∠BAC=3∠B=108°．
【解析】由等腰三角形的概念得△ABC，△ADB，△ADC是等腰三角形，再根据角之间的关系求得∠BAC的度数．
此题考查了等腰三角形性质，解决此题的关键是熟练掌握运用等腰三角形的性质，注意数形结合的解题思想．
23.【答案】∠B=∠E或AC=DF
【解析】解：(1)∠B=∠E或AC=DF，
(2)证明：当∠B=∠E时
在△ABC和△DEF中{BC=EF ∠B=∠E AB=DE
，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
(1)要证△ABC≌△DEF，已有条件BC=EF，AB=DE，两条边相等，故添加∠B=∠E 或AC=DF，可分别运用SAS，SSS可证明全等；
(2)利用三角形的全等判定方法证明利用两边且夹角对应相等得出△ABC≌△DEF．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意HL定理只应用于判断直角三角形的全等．
24.【答案】(1)证明：∵AC⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ACE和Rt△BED中，
{AC=BE
CE=DE，
∴Rt△ACE≌Rt△BED(HL)，
∴AE=BD；
(2)解：CE⊥DE，证明如下：
∵Rt△ACE≌Rt△BED，
∴∠AEC=∠D，
∵∠D+∠BED=90°，
∴∠AEC+∠BED=90°，
∴∠CED=180°−90°=90°，
∴CE⊥DE．
【解析】(1)证Rt△ACE≌Rt△BED(HL)，即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得∠AEC=∠D，再证∠CED=90°，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明Rt△ACE≌Rt△BED是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{AB=AC
∠BAD=∠CAE AD=AE
，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∴四边形ADCE的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+2AD，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，∵AB=AC，
∴BD=1
2BC=1
2
×2=1．
【解析】(1)由于AB=AC，AD=AE，所以只需证∠BAD=∠CAE即可得结论；(2)根据全等三角形的性质可得AB=BC=AC=2，将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理以及垂线段最短原理，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形
的对应边相等，对应角相等．。