DFT的快速算法—FFT
实验二 DFT(FFT)的应用—利用FFT实现快速卷积
姓名：高铭遥 班级：16131701 学号：1120171450 成绩：实验二 DFT/FFT 的应用-利用FFT 实现快速卷积[实验目的]1．深刻理解DFT/FFT 的概念和性质，进一步掌握圆周卷积和线性卷积两者之间的关系。
2．掌握DFT/FFT 的应用。
理解FFT 在实现数字滤波（或快速卷积）中的重要作用，更好地利用FFT 进行数字信号处理。
[实验内容及要求]1．给定两个序列()[]2,1,1,2x n =，()[]1,1,1,1h n =--。
首先直接在时域计算两者的线性卷积；然后用FFT 快速计算二者的线性卷积，验证结果。
（1）线性卷积 程序代码：figure(1);N1=4; N2=4; xn=[2,1,1,2]; hn=[1,-1,-1,1];N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度 yn=conv(xn,hn);%线性卷积 x=0:N-1;stem(x,yn);title('线性卷积'); 运行结果：（2）FFT 卷积快速卷积 程序代码： figure(1); n=0:1:3; m=0:1:3;N1=length(n);%xn 的序列长度 N2=length(m);%hn 的序列长度 xn=[2,1,1,2]; hn=[1,-1,-1,1];姓名：高铭遥 班级：16131701 学号：1120171450 成绩：N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度XK=fft(xn,N);%xn 的离散傅里叶变换 HK=fft(hn,N);%hn 的离散傅里叶变换 YK=XK.*HK;yn=ifft(YK,N);%逆变换if all(imag(xn)==0)&&(all(imag(hn)==0))%实序列的循环卷积仍为实序列 yn=real(yn); endx=0:N-1;stem(x,yn);title('FFT 卷积'); 运行结果：结果分析：对比（1）和（2）直接线性卷积和FFT 快速卷积的结果可以验证，用FFT 线性卷积的结果是与直接卷积的结果相同的，FFT 可以实现快速卷积，提高运算速度。
FFT-快速傅里叶变换
p=6.283185306/n;
pr[1]=cos(p);
pi[1]=-sin(p);
if (l)
pi[1]=-pi[1];
for(i=2;i<=n-1;i++){
p=pr[i-1]*pr[1];
q=pi[i-1]*pi[1];
s=(pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);
注：亲测，这个版本无法运行，作者删改了重要内容[1] 请参考源码（2）
//快速傅立叶变换
// 入口参数：
// l: l=0, 傅立叶变换;l=1, 逆傅立叶变换
// il: il=0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il=1,计算模和幅角
// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，64，128，...,1024等
wi = wi*wpr + wtemp*wpi + wi;
}
mmax = istep;
}
}
在C++环境下的源码
bool FFT(complex<double> * TD, complex<double> * FD, int r)
{
//一维快速Fourier变换。
//complex<double> * TD ——指向时域数组的指针; complex<double> * FD ——指向频域数组的指针; r ——2的幂数，即迭代次数
// fr[]: l=0, 返回傅立叶变换的实部
// l=1, 返回逆傅立叶变换的实部
// fi[]: l=0, 返回傅立叶变换的虚部
快速傅里叶变换 FFT
因为
，所以：
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 X(k)又可表示为：
，以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示，称为蝶形运算符号。
从右图可知，要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号， 因为其运算量更大，所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上，DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中，虽然其中有N2个元素，但由于WN的周期
性，其中只有N个独立的值，即
，且
这N个值也有一些对称关系。总之，WN因子具有如 下所述周期性及对称性：
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量：需要N2次复数乘法，N(N－1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如：N＝1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出：
利用上述对称特性，可使DFT运算中有些项可以合 并，这样，可使乘法次数减少大约一半；利用WN 矩阵的对称性及周期性，可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT，N越小，运算量能够减少。 例如，对于四点的DFT，直接计算需要16次复数乘 法，根据上述特性可以有以下形5年，J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT，这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)
DFT与FFT的算法1
DFT与FFT的算法DFT是连续傅立叶变换的离散形式,其计算公式为X(k) =∑x(n)WnkN,k =0,1,…,N-1 n=0,1, …,N-1式中x(n)为输入信号的时域采样序列,X(k)为计算输出信号的频域采样序列,其中Wnk=j2πnk/N=cos(2πnk/N)-jsin(2πnk/N).从DFT的计算公式可看出对N点的DFT需计算N2个复数乘和N2个复数加运算.FFT是DFT的快速算法,其原理是将长序列DFT根据其内在的对称性和周期性分解为短序列的DFT之和.N点的DFT先分解为2个N/2点的DFT,每个N/2点的DFT又分解为N/4点的DFT.最小变换的点数即所谓FFT的“基数”.因此,基数为2的FFT最小变换是2点DFT(或称蝶形运算).在基数为2的N点FFT中,设N=2M,则总共可分成M级运算,每级中有N/2个蝶算,则N点FFT总共有(N/2)log2N个蝶算,而1个蝶算只需一个复数乘法,2个复数加法,因此对N点FFT需计算(N/2)log2N个复数乘法、Nlog2N个复数加法.DFT与FFT的比较(1)运算量一般来说,FFT比DFT运算量小得多,N点的FFT需要做(N/2)log2N次乘法运算,而N点DFT需要做N2次乘法运算,由此看来N点DFT运算量大约是FFT的2N/log2N倍,例如对1 024点的变换,DFT大约是FFT的200倍.然而实际应用时存在下列情况:①实际应用时DFT中的乘法可以是实数和复数相乘,原因是输入信号可以是实数,而FFT只能是复数和复数的乘法,原因是FFT是分级运算的,中间运算过程都是复数运算,由此来看DFT的运算量大约是FFT的Nlog2N倍,而不是2N/log2N倍.②实际应用时往往只关心整个频谱中的某一部分,甚至是只关心某些个别频点的谱线.DFT的特点是可按式(1)单独计算某一部分的谱线,而直接进行FFT的算法必须计算整个频谱后才能得到需要的那一部分频谱,实际上已造成了浪费.如果N点的变换中只关心其中的M个频点或称M条谱线,那么实际DFT的运算量大约是FFT的M/N·N/log2N倍,即Mlog2N倍.例如对1 024点的变换,只需关心10条谱线,那么直接用DFT和用FFT的运算量是相同的.因此,实际应用时DFT与FFT相比可能并没有那么慢,甚至有可能比FFT快.(2)点数或采样率的可选性对DFT来讲,其变换点数可任意选定,如实际应用时采样率已确定为1 000 Hz,如选变换点数为1 000点,那么每条谱线正好可落在整数频点上.FFT的变换点数必须是有规律的,如基数为2算法的FFT其点数必须是2M,如1 024点、4 096点等.在实际应用时为分析方便,采样率往往要定为变换点数的倍数,如2 048 Hz、8 192 Hz,以避免变换后的频谱落在复杂的带小数点的频点上.因此实际应用时FFT在变换点数选择或采样率选择上可能会带来局限性.(3)实时性DFT运算可以用采一点后立即进行相乘、累加运算的方法,即可以采一点算一点,从采样结束到DFT变换结束只需要一个点的运算时间.而FFT运算必须在全部点采集结束后才能开始进行计算,因此从某种角度讲DFT的实时性优于FFT.(4)数据内存开销对N点DFT来讲,如只需其中的M个频点,那么在计算时至少需2M个单元的数据内存,对N点FFT来讲则至少需2N个单元的数据内存,另外现有的FFT程序一般需要将系数放在数据内存区,因此需另选N个单元的数据内存,故DFT有可能比FFT 更节省数据内存.(5)程序的复杂性DFT计算程序非常简单而且可以非常方便地在非DFT专用芯片上实现,而FFT程序较为复杂.(6)动态范围或抗溢出性在定点运算的场合,DFT较FFT更容易实现多精度的运算,例如在TI公司的16位定点DSP处理器中,采用的数据和系数为16位,而相乘并累加的结果可设为双字节即32位,一般来讲设计合理的话不会产生计算溢出的现象,免去了复杂的溢出控制,同时输入输出信号可保持较好的动态范围.FFT在程序中有防溢出的措施,然而在定点运算的场合点数越多输入信号的动态范围越小.3结论在某些具体的应用场合,DFT与它的快速算法FFT相比可能更有优势,而FFT却存在某些局限性.在只需要求出部分频点的频率谱线时DFT的运算时间大为减少,所需的数据内存量也大为减小.DFT与FFT 相比还具有变换点数或采样率选择更灵活、实时性更好、更容易控制溢出和动态范围、运算编程简单、可方便地在非DSP芯片中编程实现等优点.因此在实际应用中可以从具体条件出发来比较、选择DFT 或FFT,而不应片面地由于FFT是所谓的DFT的快速算法而只选用FFT.DFT与FFT的算法[1]DFT是连续傅立叶变换的离散形式,其计算公式为X(k) =∑x(n)WnkN,k =0,1,…,N-1 n=0,1, …,N-1式中x(n)为输入信号的时域采样序列,X(k)为计算输出信号的频域采样序列,其中Wnk=j2πnk/N=cos(2πnk/N)-jsin(2πnk/N).从DFT的计算公式可看出对N点的DFT需计算N2个复数乘和N2个复数加运算.FFT是DFT的快速算法,其原理是将长序列DFT根据其内在的对称性和周期性分解为短序列的DFT之和.N点的DFT先分解为2个N/2点的DFT,每个N/2点的DFT又分解为N/4点的DFT.最小变换的点数即所谓FFT的“基数”.因此,基数为2的FFT最小变换是2点DFT(或称蝶形运算).在基数为2的N点FFT中,设N=2M,则总共可分成M级运算,每级中有N/2个蝶算,则N点FFT总共有(N/2)log2N个蝶算,而1个蝶算只需一个复数乘法,2个复数加法,因此对N点FFT需计算(N/2)log2N个复数乘法、Nlog2N个复数加法.。
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换的区别
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换的区别离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）都是数字信号处理中常用的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
虽然它们都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。
DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，它将N个时域采样点转换为N个频域采样点。
DFT的计算复杂度为O(N^2)，因此对于大规模的信号处理任务来说，计算时间会非常长。
而FFT是一种基于分治思想的算法，它将DFT的计算复杂度降低到O(NlogN)，因此计算速度非常快，特别适合于大规模信号处理任务。
DFT和FFT的计算方式也有所不同。
DFT的计算公式为：X[k] = sum(x[n] * exp(-j*2*pi*k*n/N))其中，x[n]表示时域采样点，X[k]表示频域采样点，N表示采样点数，k和n分别表示频域和时域的索引。
这个公式需要进行N^2次复数乘法和加法运算，因此计算复杂度很高。
FFT的计算方式则是将DFT的计算过程分解为多个子问题，然后递归地求解这些子问题。
具体来说，FFT将N个采样点分为两个子序列，分别进行DFT计算，然后将它们合并起来得到整个序列的DFT结果。
这个过程可以递归地进行下去，直到只剩下一个采样点为止。
由于FFT采用了分治思想，它的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT快得多。
DFT和FFT的应用场景也有所不同。
由于DFT的计算复杂度较高，因此它适合于小规模的信号处理任务，例如音频信号的处理。
而FFT则适合于大规模的信号处理任务，例如图像处理和视频处理。
此外，FFT还可以用于信号压缩、滤波和频域分析等领域。
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换虽然都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。
DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，计算复杂度较高，适合于小规模的信号处理任务；而FFT是一种基于分治思想的算法，计算速度非常快，适合于大规模的信号处理任务。
DFT算法原理、FFT的算法原理
DFT 算法原理快速傅氏变换（FFT ）是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设x(n)为N 项的复数序列，由DFT 变换，任一X （m ）的计算都需要N 次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N 项复数序列的X （m ）,即N 点DFT 变换大约就需要N2次运算。
当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT 中，利用WN 的周期性和对称性，把一个N 项序列（设N=2k,k 为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT 变换需要（N/2）2次运算，再用N 次运算把两个N/2点的DFT 变换组合成一个N 点的DFT 变换。
这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。
继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。
而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT 运算单元，那么N 点的DFT 变换就只需要Nlog2N 次的运算，N 在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT 的优越性。
、FFT 的算法原理FFT 算法的输出X(K)为自然顺序，但为了适应原位计算，其输入序列不是按x(n)的自然顺序排序，这种经过M-1次奇偶抽选后的排序为序列的倒序。
因此，在运算之前应先对序列x(n)进行倒序。
倒序的规律就是把顺序数的二进制位倒置，即可得到倒序值。
倒序数是在M 位二进制数最高位加一，逢2向右进位。
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
DFT的快速算法FFT
DFT的快速算法FFT快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种用于将信号从时域表示转换为频域表示的算法。
它通过减少计算复杂度从而提高了傅里叶变换的效率。
DFT（离散傅里叶变换）是FFT的数学基础，而FFT是DFT的一种实现。
DFT是一种将一个连续信号的周期性变换分解为一系列离散和周期性的正弦和余弦函数的技术。
它提供了时域和频域之间的转换关系，使得我们可以在频域中分析信号的频率成分。
然而，DFT的计算复杂度为O(N^2)，其中N是信号的长度。
对于较大的信号，计算时间将会非常昂贵。
FFT是一种基于DFT的快速算法，它通过分治策略将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
FFT采用了蝶形算法的思想，将一个N点DFT划分为多个规模较小的DFT，然后将它们重新组合以得到结果。
FFT的核心思想是利用信号的周期性质。
在信号的离散采样中，如果能够将输入序列分解为奇数位置和偶数位置上的序列，那么可以利用这种结构进行计算优化。
FFT算法通过将序列进行递归分解直到长度为1，然后再迭代地将解合并在一起，最终得到频域表示。
FFT算法可以分为迭代FFT和递归FFT两种形式。
迭代FFT（Cooley-Tukey算法）将DFT分解为较小的DFT，然后再合并为原始的DFT。
而递归FFT（又称Cooley-Tukey递归FFT）将DFT划分为两个较小的DFT，然后通过递归地应用FFT将它们合并为原始的DFT。
迭代FFT算法通过迭代地应用蝶形运算来计算DFT。
它需要预先计算旋转因子和蝶形运算的顺序，以确保正确的运算顺序和结果。
迭代FFT算法更适用于长度为2的幂次的序列。
递归FFT算法通过递归地将序列分解为两个较小的DFT，并利用旋转因子进行合并。
它适用于任意长度的序列，并且可以通过改变递归深度来改变计算复杂度。
然而，递归FFT算法可能需要更多的内存和递归开销。
FFT算法具有广泛的应用，包括信号处理、图像处理、数据压缩、解析几何等领域。
DFT的快速算法—FFT
DFT的快速算法—FFTDFT（离散傅里叶变换）是一种常见的信号处理和频谱分析方法。
它将时域上的离散信号转换为频域上的复数序列。
然而，传统的DFT算法的计算复杂度为O(N^2)，当信号长度N较大时，计算量非常大，不适用于实时应用或大规模数据处理。
为了解决这个问题，Cooley和Tukey于1965年提出了快速傅里叶变换（FFT）算法，将计算复杂度降低到O(NlogN)。
FFT算法的基本思想是将DFT的计算任务分解成较小规模的子问题，然后通过重复使用这些子问题的解来得到原问题的解。
它利用了傅里叶变换的对称性和周期性的特点，采用了递归和分治的策略。
具体而言，FFT 算法将长度为N的DFT分解成两个长度为N/2的DFT，并通过一些运算将这两个子问题的解合并成原问题的解。
FFT算法的核心是蝶形运算，它的计算复杂度为O(N)。
蝶形运算将两个输入信号按照指定的规则进行运算，并将结果输出。
在FFT算法中，蝶形运算是基于旋转因子的乘法和加减运算。
每个蝶形运算需要两个复数相乘和两个复数相加减，总共需要4个浮点运算。
通过将整个信号划分成多个蝶形运算的组合，FFT算法可以高效地计算出DFT的结果。
FFT算法的具体步骤如下：1.将输入信号切分成长度为N/2的两个子信号。
2.对这两个子信号进行FFT变换，得到它们的频谱。
3.根据旋转因子的乘法和加减运算，将这两个子信号的频谱合并成原始信号的频谱。
4.递归地应用FFT算法，直到切分得到的子信号长度为15.将最终得到的频谱按照一定的顺序排列，得到DFT的结果。
FFT算法具有以下几个优点：1. 计算复杂度低：FFT算法的计算复杂度为O(NlogN)，相比于传统的DFT算法的O(N^2)，计算量大大减少，特别适用于大规模信号处理和频谱分析。
2.高效实现：FFT算法利用了信号的对称性和周期性，通过重复使用子问题解来计算原问题的解，计算过程简洁高效。
3.应用广泛：FFT算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、音视频编码、通信系统等领域，为这些领域的算法和应用提供了基础支持。
DFT算法原理、FFT的算法原理
DFT 算法原理快速傅氏变换（FFT ）是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设x(n)为N 项的复数序列，由DFT 变换，任一X （m ）的计算都需要N 次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N 项复数序列的X （m ）,即N 点DFT 变换大约就需要N2次运算。
当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT 中，利用WN 的周期性和对称性，把一个N 项序列（设N=2k,k 为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT 变换需要（N/2）2次运算，再用N 次运算把两个N/2点的DFT 变换组合成一个N 点的DFT 变换。
这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。
继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。
而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT 运算单元，那么N 点的DFT 变换就只需要Nlog2N 次的运算，N 在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT 的优越性。
、FFT的算法原理FFT 算法的输出X(K)为自然顺序，但为了适应原位计算，其输入序列不是按x(n)的自然顺序排序，这种经过M-1次奇偶抽选后的排序为序列的倒序。
因此，在运算之前应先对序列x(n)进行倒序。
倒序的规律就是把顺序数的二进制位倒置，即可得到倒序值。
倒序数是在M 位二进制数最高位加一，逢2向右进位。
快速傅里叶变换FFT及其应用
快速傅里叶变换FFT 及其应用摘要: FFT(Fast Fourier transform)技术是快速傅里叶变换,它是离散傅里叶的快速算法,随着大规模集成器件的问世以及计算机技术的迅速发展,FFT 技术已应用于现代科学技术的各个领域。
本文首先简单介绍了FFT 的原理，还介绍了FFT 在数字图像处理、机床噪声分析、数据采集、现代雷达、机车故障检测记录等领域的应用。
关键词:DFT ；FFT ；应用；1. 快速傅里叶变换FFT 简介1.1离散傅里叶变换(DFT)在信号处理中，DFT 的计算具有举足轻重的地位，信号的相关、滤波、谱估计等等都可通过DFT 来实现。
然而，由DFT 的定义式可以看出，求一个N 点的DFF 要N 2次复数乘法和N(N-1)次负数加法。
当N 很大时，其计算量是相当大。
傅立叶变换是信号分析和处理的重要工具。
离散时间信号*(n)的连续傅立叶变换定义为:式中()j X e ω是一个连续函数，不能直接在计算机上做数字运算。
为了在计算机上实现频谱分析，必须对x(n)的频谱作离散近似。
有限长离散信号x(n), n=0, 1, .......,N-1的离散傅立叶变换(DFT)定义为：式中()exp -2/N ,n=0,1,........N-1N W j π=。
其反变换定义为:将DFT 变换的定义式写成矩阵形式，得到X=Ax 。
其中DFT 的变换矩阵A 为1.2快速傅里叶变换(FFT)快速傅里叶变换(FFT)是1965年J. W. Cooley 和J. W Tukey 巧妙地利用造了DFT 的快速算法，即快速离散傅里叶变换(FFT)。
在以后的几十年中，FFT 算法有了进一步的发展，目前较常用的是基2算法和分裂基算法。
在讨论图像的数学变换时，我们把图像看成具有两个变量x, y 的函数。
首先引入二维连续函数的傅里叶变换，设f(x,y)是两个独立变量x ，y 的函数，且满足()++--,<0f x y dxdy ∞∞∞∞⎰⎰, 则定义:()++-2(ux+vy)--(u,v) = ,j F f x y e dxdy π∞∞∞∞⎰⎰为f(x,Y)的傅立叶变换。
fftt
由完整的FFT流图可见：从左到右计算下一级蝶式运算时，仅需要用到 本级的数据而不需要前一级的数据。例如在实施第二级蝶式运算时，仅
需要第一级蝶式运算的结果，而不需要用到原来的输入数据 x(n)。据此
就可在数据输入到存储器以后，每一级运算的结果存储在同一组存储单 元中。直到最后输出，中间无需其他存储器。 利用同一存储单元存放蝶式运算输入和输出数据的方法称为原位运算。 原位运算可节省存储单元，降低FFT硬件实现的设备成本，从而使得 FFT算法简单、快速、高效。
X 1 (k )
N / 2 1 n 0
x (n)W
1
kn N /2
N k 0,1,..., 1 2
X 2 (k )
N / 2 1 n 0
kn x2 (n)WN / 2
N k 0,1,..., 1 2
这是 X (k )( k 0,1,...N / 2 1) 前N/2点DFT
N / 4 1 l 0 k x1 (2l 1)WN /( 2l 1) 2
X 1 (k )
N / 4 1
l 0 N / 4 1
2 x1 (2l )WN kl2 /
kl k x3 (l )WN / 4 WN / 2 l 0
N / 4 1 l 0
kl x4 (l )WN / 4
0 WN /2 0 WN
X (0) X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)
X4(1) X5(0) X5(1) X6(0)
1 WN /2
1 WN
X2(2) X2(3)
WN2
3 WN
0 WN
X6(1)
离散傅里叶变换(dft)与快速傅里叶变换(fft)的matlab实现
离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）是信号处理领域中常用的数学工具，可以用于信号的频域分析、滤波、压缩等应用。
以下是MATLAB中实现DFT和FFT的示例代码：
1. 实现DFT
n = 100; 信号长度
x = linspace(0, 2*pi, n); 信号采样点
y = sin(2*pi/n*x); 信号
f = dft(y, 2^0); DFT
f_shifted = f(2:end); 频域结果向左平移2^0
plot(x, y, 'o', x, f_shifted, '-'); 绘制信号和频域结果
xlabel('Time');
ylabel('Amplitude');
2. 实现FFT
n = 100; 信号长度
x = linspace(0, 2*pi, n); 信号采样点
y = sin(2*pi/n*x); 信号
fft_result = fft(y, n); FFT
fft_result_shifted = fft_result(2:end); FFT结果向左平移1个周期
plot(x, y, 'o', x, fft_result_shifted, '-'); 绘制信号和频域结果
xlabel('Time');
ylabel('Amplitude');
在上述代码中，DFT和FFT的参数n分别表示信号长度和基函数长度。
注意，在MATLAB中，FFT默认使用基函数长度为信号长度的一半，因此需要通过调整参数n来实现FFT的基函数长度。
DFT算法原理、FFT的算法原理
FFT算法的输出X(K)为自然顺序，但为了适应原位计算，其输入序列不是按x(n)的自然顺序排序，这种经过M-1次奇偶抽选后的排序为序列的倒序。因此，在运算之前应先对序列x(n)进行倒序。倒序的规律就是把顺序数的二进制位倒置，即可得到倒序值。倒序数是在M位二进制数最高位加一，逢2向右进位。M位二进制数最高位的权值为N/2，且从左到右二进制位的权值依次为你N/4，N/8，…，2，1。因此，最高位加一相当于十进制运算J+N/2。（J表示当前倒序数的十进制数值）
● fft和ifft：一维快速傅里叶变换和一维快速傅里叶逆变换函数。调用各式如下：
Xk=fft(xn,N)采用FFT算法计算时域序列向量xn的N点DFT。缺省N时fft函数自动按x的长度计算x的DFT，返回xn的N点DFT向量Xk。当N为2的整数次幂时，fft按基2FFT算法计算，否则用混合基算法。
k=0:31;%以下为绘图部分
subplot(2,1,1);stem(k,x1m,'.');grid on
xlabel('k');ylabel('幅度')
subplot(2,1,2);stem(k,ph1,'.');grid on
xlabel('k');ylabel('相位')
运行结果如图所示。
矩形序列的32点DFT
[摘要]：离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速化。最后就该项目做了总结。
[关键词]DFT算法 Matlab语言 频域采样DFT应用
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2
由8点DIT-FFT运算流图可以发现，第L级共有2L-1个 不同的旋转因子。 N=23=8时的各级旋转因子表示如下: 0 L=1时 WNp WN
L=2时 L=3时
0 2 WNp WN , WNp WN
0 1 2 3 WNp WN ,WNp WN ,WNp WN ,WNp WN
倒 二进制数 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
序 十进制数 J 0 4 2 6 1 5 3 7
X (0), X (1), X (2), X (7)
12
由8点DIT-FFT运算流图可见，N=2M时，其DIT-FFT运算流图 由M级蝶形构成，每级有N/2个蝶形。因此，每级需要N/2 次复数乘法运算和N次复数加法运算，M级蝶形所需复数乘 法次数CM(2)和复数加法次数CA(2)分别为
CM (2) N N M log2 N 2 2
CA (2) NM N log 2 N
N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。同一级中，每个 蝶形的两个输入数据只对计算本蝶形有用，而且每个蝶形的输入、输出数 据节点又同在一条水平线上，这就意味着计算完一个蝶形后，所得输出数 据可立即存入原输入数据所占用的存储单元。这样，经过M级运算后，原 来存放输入序列数据的N个存储单元(A(0),A(1),…,A(N-1))中便依次存放 X(k)的N个值。这种利用同一存储单元存储蝶形计算输入、输出数据的方 法称为原位（址）计算。 • 节约内存单元，降低设备成本
0 WN 0 WN 0 WN
2 WN
X (0) X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)
20
W N0
0 WN 0 WN 0 WN
fft算法原理
fft算法原理介绍
-----------------------------------------------------------------------------------------------FFT（快速傅里叶变换，Fast Fourier Transform）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。
它通过将一个N点的序列分解为多个较小的子序列，并利用傅里叶变换的对称性质，在减少运算量的同时实现了快速计算。
以下是FFT算法的基本原理：
1、递归分解：FFT算法使用了分治的思想，将一个长度为N的序列分解为两个长度为N/2的子序列。
这一步骤被递归地应用于子序列，直到序列长度为1。
2、计算蝶形操作：在每一层递归中，FFT算法执行蝶形操作，将相邻的频域系数进行组合。
蝶形操作涉及到复数乘法和加法运算。
3、组合结果：在递归过程的每一层，将计算得到的频域系数按照一定规则进行组合，最终得到完整的频域表示。
4、反转位操作：最后一步是对频域结果进行反转位操作，以恢复
正确顺序的频域系数。
通过以上的分解、计算和组合操作，FFT算法能够高效地计算出离散傅里叶变换的结果。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，相比于直接计算DFT的时间复杂度O(N^2)，具有更高效的计算性能。
它在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用，能够快速分析和处理频域信息。
6.6 快速傅里叶变换
10 W 10 W 1 0 x 0 W 1 2 3 1 -1 x 1 W W W W 12 W 14 W -16 x 2 W 1 31 -16 9 W W W W W x 3
m N
1 WNN 1
m N m 对称性 WN WN
N m m WN 与 WN 关于实轴对称
WN
WN
m
m
N 2
m WN
N 2
m W 与 N 关于原点对称
减少一半工作量
4
例如N=4时 ：
X 0 W 00 10 X 1 W X 2 W 20 30 X 3 W
6.6 快速傅里叶变换（FFT）
DFT的快速算法FFT的思路
1、DFT的重要意义 解决了数字信号处理的基本问题（时频域均离散和有 限），给计算机编程提供了实用算法。使FS、FT、DFS、 DTFT都可以用计算机数值计算。 2、DFT的问题 难以实时快速，不能用于自动控制、同声传译、自动 追踪。只能用于数据的事后处理或系统模拟研究。 3、DFT计算速度提高：1965年，库利和图基总结并发展了 前人的研究成果,提出了一种快捷通用的DFT算法——快速 傅里叶变换FFT。
1
6.6.1 减少DFT运算量的基本途径 1. 有限长序列 x(n)进行一次DFT运算所需的运算量。
长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
nk X ( k ) DFT[ x( n)] x( n)W N n 0 N 1
k 0,1,, N 1
一般，x(n)和WNnk都是复数，因此，每计算一个X(k)值，要 进行N次复数相乘，和N-1次复数相加， X(k)一共有N个点，故 完成全部DFT运算，需要 复数乘法次数：N 2 运算量与N2 成正比 复数加法次数：N(N-1)≈ N2
DFT的快速算法FFT
DFT的快速算法FFT离散傅里叶变换（DFT）是一种在信号处理和图像处理中经常使用的数学工具，用于将时域信号转换为频域信号。
然而，直接计算DFT的复杂度为O(n^2)，在大规模信号处理和实时应用中会面临性能瓶颈。
为了解决这个问题，被提出了快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法是一种基于分治思想和对称性质的高效算法，能够将DFT的复杂度降低到O(nlogn)，大大提高了计算效率。
FFT算法的核心思想是将一个长度为N的DFT问题分解为多个长度为N/2的子问题，并通过递归地将这些子问题继续分解为更小的子问题。
接着，通过组合这些子问题的结果来构建原始问题的最终结果。
具体来说，FFT算法的步骤如下：1. 将长度为N的输入序列分为偶数索引和奇数索引的两个子序列，分别记为X_even和X_odd。
2. 对X_even和X_odd分别进行DFT，得到两个中间结果Y_even和Y_odd。
3. 根据中间结果Y_even和Y_odd，构造长度为N的输出序列Y。
举个例子来说明，假设我们有一个长度为8的输入序列X，其中X=[x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7]。
首先，我们将X分成两个子序列X_even = [x0, x2, x4, x6]和X_odd = [x1, x3, x5, x7]。
然后，对X_even和X_odd分别进行DFT，得到两个中间结果Y_even 和Y_odd。
最后，根据中间结果Y_even和Y_odd，构造长度为8的输出序列Y。
FFT算法的关键在于将子问题的计算结果组合起来。
具体而言，根据FFT算法的定义，我们可以得到以下关系：Y(k) = Y_even(k) + W_N^k * Y_odd(k)，其中W_N^k是单位根e^(-2πik/N)。
这个关系表示，在求解Y的第k个元素时，我们可以利用Y_even的第k个元素、Y_odd的第k个元素以及单位根W_N^k来构造。
通过递归地应用这个关系，我们可以将整个DFT问题分解为多个规模更小的子问题，直到问题规模降到最小的情况。
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观察完整的FFT流图能发现有两个特点：倒码 观察完整的FFT流图能发现有两个特点：倒码和原位运算 倒码和 ① 倒码 倒码即码位倒置：是指将原二进制数的码位倒过来 按从低位到高位排 列。 N=8时，序号 用三位二进制表示正常码为“100”，而其倒码 如：N=8时，序号 “4” 用三位二进制表示正常码为“100”，而其倒码 为 “001” ，变成了序号 “1” 。 顺序与倒码顺序对照表
FT 其中 X3(k) = D [x3(l)] = X4 (k) = D [x4 (l)] = FT
N / 4− 1 l =0
∑x (l)W
3 l =0 4
kl N/ 4
N / 4− 1
∑x (l)W
kl N/ 4
对 X2 (k)也可进行同样的分解：
k X2 (k) = X5 (k) +WN / 2 X6 (k) k X2 (k + N / 4) = X5 (k) −WN / 2 X6 (k) N / 4− 1 X5 (k) = D [x5 (l)] = ∑x5 (l)Wkl/ 4 FT N
1
DFT的快速算法（FFT） DFT的快速算法（FFT）综述 的快速算法
DFT的运算量 DFT的运算量
X(k) = D [x(n)] = ∑x(n)Wnk FT N
n=0
N− 1
(k = 0,1 L N −1 , , )
复 乘 N2次 复 加 N × N −1 ≈ N2次 数 ： ， 数 ： （ ）
§4 DFT的快速算法——FFT DFT的快速算法 的快速算法——FFT
时域抽取基-2FFT算法 DIT-FFT） 时域抽取基-2FFT算法（DIT-FFT） 算法（ 频域抽取基-2FFT算法 DIF-FFT） 算法（ 频域抽取基-2FFT算法（DIF-FFT） 的快速算法（IFFT） 逆 DFT 的快速算法（IFFT） N为合数的 FFT 算法 （混合基） 混合基）
② 原位运算 由完整的FFT流图可见：从左到右计算下一级蝶式运算时 由完整的FFT流图可见：从左到右计算下一级蝶式运算时， 从左到右计算下一级蝶式运算时， 仅需要用到本级的数据而不需要前一级的数据。例如在实 仅需要用到本级的数据而不需要前一级的数据。例如在实 施第二级蝶式运算时，仅需要第一级蝶式运算的结果，而不 x(n 需要用到原来的输入数据 ) 。据此就可在数据输入到存储 器以后，每一级运算的结果存储在同一组存储单元中。直到 最后输出，中间无需其他存储器。 利用同一存储单元存放蝶式运算输入和输出数据的方法称为 原位运算。原位运算可节省存储单元，降低FFT硬件实现的 原位运算。原位运算可节省存储单元，降低FFT硬件实现的 设备成本，从而使得FFT算法简单 快速、高效。 算法简单、 设备成本，从而使得FFT算法简单、快速、高效。 DIT-FFT算法其他形式的流图 DIT-FFT算法其他形式的流图 由信号流图理论知道：只要保证各节点所连接的支路及其 由信号流图理论知道：只要保证各节点所连接的支路及其 传输系数不变，无论各节点相对位置如何排列， 传输系数不变，无论各节点相对位置如何排列，所得到的 流图等效，DFT的结果相同 的结果相同。 流图等效，DFT的结果相同。
版权所有 违者必究
第三章第2讲 2
DFT的快速算法（FFT） DFT的快速算法（FFT）综述 的快速算法
FFT的算法分类 FFT的算法分类 FFT算法首先由Cooly-Tuky提出了基 2FFT算法 FFT算法首先由Cooly-Tuky提出了基－2FFT算法，它对 算法，它对 DFT的发展起到了极大推进作用。随后又出现了混合基 DFT的发展起到了极大推进作用。随后又出现了混合基 算法。 算法。 算法作介绍，内容包括：FFT的基本 本节仅对基 2FFT算法 本节仅对基－2FFT算法作介绍，内容包括：FFT的基本 思想、时域与频域抽取的基－2FFT算法及其程序实现 算法及其程序实现。 思想、时域与频域抽取的基－2FFT算法及其程序实现。 基-2 FFT算法（DIT-FFT） FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 指要求长度N 指要求长度N满足 N = 2M M为整数），若不满足可将 （ 序列补零延长，使其满足长度要求。 时域抽取与频域抽取 时 抽 FFT 法 D ation - In - Tim ， 称 IT - FFT） e 简 D 按 域 取 算 （ ecim 频 抽 FFT算 （ ecim 法 D ation - In - Freqency， 称 IF- FFT） 简 D 按 域 取
时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
这样又一次的分解得到4 N/4点DFT，见下图。 这样又一次的分解得到4个N/4点DFT，见下图。
依次类推：经过 依次类推：经过M-1次分解后，可将N点DFT分解成N/2 经过M 次分解后，可将N DFT分解成 分解成N/2 个两点DFT。 个两点DFT。
时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
对于X (k)(k = N / 2,LN −1)后N/2点的DFT N/2点
k k QWN +N / 2 = −WN N k ∴X(k + ) = X1(k) −WN X2 (k) 2
N k = 0,1 ,..., −1 2
2 2
如：若N 1024，直接计算DFT与采用FFT运算量之比约为 如：若N＝1024，直接计算DFT与采用FFT运算量之比约为 205，“快速”得以充分体现。 205，“快速”得以充分体现。
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第三章第2讲 12
时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
显然，可采用蝶式运算图 显然，可采用蝶式运算图来表示上述前N/2和后N/2两式 ， 蝶式运算图来表示上述前N/2和后N/2两式 如下图所示：
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第三章第2讲
6
时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
例如N=8时的DFT,可以分解为两个N/2=4点 例如N=8时的DFT,可以分解为两个N/2=4点DFT, 如下图：
顺序 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111 倒码 000 100 010 110 001 101 011 000 第三章第2讲 倒码顺序 0 4 2 6 1 5 3 7 13
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时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
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第三章第2讲 3
时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
算法的推导 时域抽取算法是按 时域抽取算法是按 n的奇偶把时间序列 x(n) 分解为两个长 为N/2点的序列，即： N/2点的序列，即：
x1(r) = x(2r) x2 (r) = x(2r +1 )
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k = 0,1 N / 2 −1 ,...,
第三章第2讲
时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
x 上式中X1(k)和 2(k)分别为 x1(n)和 2(n)的N/2点DFT，即： N/2点DFT，即： X
X1(k) =
N / 2−1 n=0
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第三章第2讲 14
时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
x 例如将N=8时基－2DIT-FFT信号流图中与 例如将N=8时基－2DIT-FFT信号流图中与 x(4)、 (6)水平相连 ) 的所有节点分别同与 x(1 x(3) 、 水平相连的所有节点对调，保 持其余节点位置不变，得到新形式的信号流图。 N=8 时输入是正序、输出是倒码的DIT-FFT运算流图 时输入是正序、输出是倒码的DIT-FFT运算流图
N N 复 乘 算 数= ⋅ M = log 2 N 数 运 次 2 2 复 加 算 数= N ⋅ M = N log2 N 数 运 次
若N足够大，通过直接计算DFT与采用FFT计算其运算量 足够大，通过直接计算DFT与采用 与采用FFT计算其运算量 之比为： 之比为：
N + N(N −1) 2N N2 ≈3 ≈ N (N / 2) log 2 N 2 log 2 N + N log 2 N 2 N log 2 N
版权所有 违者必究
第三章第2讲
7
时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
Q 同理： N = 2 , ∴N/2仍可能是偶数,可以进一步把每个N/2 N/2仍可能是偶数,可以进一步把每个N/2 点的序列再按其奇偶部分分解为两个N/4的子序列。 点的序列再按其奇偶部分分解为两个N/4的子序列。
版权所有 违者必究
第三章第2讲 10
典型例题
例： 试画出N=8时的完整的基-2 DIT-FFT运算流图。 试画出N=8时的完整的基 DIT-FFT运算流图。
版权所有 违者必究
第三章第2讲
11
时域抽取基－2FFT算法 DIT-FFT） 算法（ 时域抽取基－2FFT算法（DIT-FFT）
运算量 由有关算法的讨论知：当 N = 2M时，总共应有M级分解， 时，总共应有M 每级有N/2个“蝶式运算”。每个“蝶式运算”需一次复数 每级有N/2个“蝶式运算”。每个“蝶式运算”需一次复数 乘、两次复数加运算，这样M 乘、两次复数加运算，这样M级总共需要的运算量为：
减少DFT运算量的方法 减少DFT运算量的方法 ①将长度N变短。例如若将长度变为N/2，则运算量变成： 将长度N变短。例如若将长度变为N/2，则运算量变成： 复 乘 N2 / 4次 复 加 ≈ N2 / 4次 数 ： ， 数 ： Wnk的性质 ②利用 N n (n+rN) 周期性： 周期性： WN = WN n −n * 共轭对称性： 共轭对称性： WN = (WN ) 可约性： 可约性： W rn = W n rN N