单自由度及多自由度系统模态分析讲诉

单自由度及多自由度系统 模态分析
结构振动分析基本理论
• 振动分析的“理论路线”
空间模型 模态模型 响应模型
（质量、阻尼、 刚度）
（固有频率， 模态振型）
（频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成 • 在理论分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
• 将0i代入：
([ K ] [ 2 ][M ])[] {0}
• 解得n个线性无关非零矢量i的比例解，通常选择一定方法进行归 一化，称为模态振型（特征方程的特征向量）
[] [{1},{2 }, {n }]
• 模态振型具有正交性
i j 0, {i } [ M ]{ j } mi , i j i j 0, T {i } [ K ]{ j } ki , i j
单自由度系统脉冲响应函数
• 单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉 冲响应函数（脉冲响应函数）
mx cx kx (t )
单自由度系统脉冲响应函数
mx cx kx (t )
• 该式的解为
1 t e sin D t , t 0 x(t ) h(t ) mD 0, t 0
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比
• 令 r

r
{X }
r 1
n
kr 1 2 j 2 r
{r }{r }T {F}
• 令 Yr
1 kr 1 2 j 2 r
• 频响函数
{X } n [H ] Yr {r }{r }T {F } r 1
N N
ir jr H ij ( ) Yrir jr 2 k mr jcr r 1 r 1 r
(k 1,2,
, )
不同激励下频响函数表达式
• 瞬态激励f(t)下响应为x(t) ，一般可做傅里叶变换
F ( ) F[ f (t )]
X ( ) F[ x(t )]
系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换 之比
X ( ) H ( ) F ( )
• 随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只 能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率 谱与输入的自功率谱之比
线性系统的输入与输出关系
• 频响函数H()是h(t)的傅里叶变换。
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d




f (t )h( )d
jt
• 若系统的激励为 f (t ) Fe jt
x(t )


f (t )h( )d Fe
jt • 设特解 x e 代入上式得
([ K ] [ 2 ][M ])[] {0}
• 该方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零，即
|[ K ] [ 2 ][ M ]| 0
系统特征方程
• 解得的n个互异正根0i，称为无阻尼系统的固有频率（特征方 程的特征值）
多自由度系统的振动 ——无阻尼系统
• 从物理模型到模态模型转换，是方程解耦的数学变换过程
多自由度系统频响函数
n { r }{ r }T {F } {X } 2 r 1 mr j cr k r r 1 n
{ r }{ r }T {F } 2 kr 1 j 2 r r r


j ( t )
h( )d Fe



h( )e- j d
• 已知此时系统稳态输出为 x(t ) Xe jt H () Fe jt • 因此 H ( ) h( )e- j d

h(t ) H ( )
• 脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频 响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描 述系统固有特性。
1 1 [ H R ( )]2 H I ( ) 4 k 4 k
2 2
多自由度系统的振动 ——无阻尼系统
• 多自由度无阻尼系统的运动方程：
[M ]{x} [ K ]{x} { f (t )}
• 1、自由振动
[ M ]{x} [ K ]{x} {0}
[ M ]{x} [C ]{x} [ K ]{x} { f (t )}
• 模态坐标系中， n自由度系统的运动方程：
[mr ]{q} [cr ]{q} [kr ]{q} []T { f (t )} mi qi ci qi ki qi {i }T { f (t )}, i 1,2,3, ,n
[mr ] diag[m1 , m2 , [cr ] diag[c1 , c2 , [kr ] diag[k1 , k2 ,
mn ] mi {i }T [ M ]{i } cn ] ci {i }T [C ]{i } kn ] ki {i }T [ K ]{i }
T
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
• 多自由度粘性阻尼系统的运动方程：
[ M ]{x} [C ]{x} [ K ]{x} { f (t )}
• 其中
[C ] [ M ] [ K ]
• 进行坐标变换，设物理坐标系中矢量x在模态坐标系中的坐标为 qi , i 1, 2, , n ，则 n
{x} qr { r }
r 1
• 代入运动方程得
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1
H ( )
Gxf ( ) G ff ( )
单自由度系统频响函数曲线（1）
• 由频响函数表达式
H ( ) X 1 F k m 2 jc
• 可得频响函数复指数形式 1 1 H ( ) ei , k (1 2 )2 4 2 2
arctan
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1
• 左乘{s}T，考虑到模态振型的正交性，得
物理意义为：在j 点作用单位力时， 在i点引起的响应
频响函数与模态参数的关系
• 频响函数矩阵中任一行为
[ H i1 H i 2 H iN ] Yr [ir {r }T ]
r 1 N N
Yrir [1r 2 r
r 1 N
Nr ]
[1r 2 r
A jV 2 H A ( ) F F k m 2 jc
频 响 函 数
单自由度系统频响函数
• 频响函数的倒数称为阻抗
F • 位移阻抗： Z () k m 2 jc X
F k • 速度阻抗： ZV ( ) V c j m j
F k c • 加速度阻抗： Z A ( ) m 2 A j
jk0 t x ( t ) X ( )e k k T X ( ) 1 2 x(t )e jk0t dt T k T 2
系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值 与激励的幅值之比
X (k ) H (k ) F (k )
• 式中， D 1 2
• 若系统受到任意函数f(t)激励，则响应为（Duhamel积分）：
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d


单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
mx cx kx f (t )
• 设系统作用简谐激励 f (t ) Fe jt • 稳态位移响应： x Xe jt
2 1 2
幅频特性
• 式中 称为频率比
相频特性
单自由度系统频响函数曲线（2）
• 频响函数表示成复数形式：
H () H R () jH I ()
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• 其中
1 1 2 H ( ) k (1 2 )2 4 2 2
R
H I ( )
1 2 k (1 2 )2 4 2 2
jt • 稳态速度响应： x j Xe
• 稳态加速度响应： x ( j)2 Xe jt 2 Xe jt
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
( 2 m jc k ) X F
• 位移频响函数为稳态位移响应与激励幅值之比： X 1 H ( ) F k m 2 jc • 速度频响函数： V j X j HV ( ) F F k m 2 jc • 加速度频响函数：
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
( 2 ms jcs ks )Qs e jt {s }T {F}e jt T {s } {F} Qs 2 ms jcs ks
• 不考虑起始条件，可得位移响应：
{x} { X }e
jt
qr {r } Qr {r }e jt
ms qs cs qs ks qs {s }T { f (t )}
• • • • • ms——第s阶模态质量 ks——第s阶模态刚度 cs——第s阶模态阻尼系数 cs ms ks qs——第s阶模态坐标 jt 令 { f (t )} {F}e jt ，则 qs Qs e
X H ( )F
• 周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数 x(t)，都可写为傅里叶级数的形式
jk0t f ( t ) F ( )e k k T 1 jk0 t F ( ) 2 f ( t )e dt T k T 2
r 1 r 1
n
n
X1 X n n {r }T {r } 2 { X } Qr {r } 2 {F } r 1 mr j cr kr r 1 Xn
振动系统的空间模型和 模态模型间的转换
• 物理坐标系中，n自由度系统的运动方程：
实频特性
虚频特性
单自由度系统频响函数曲线（3）
1 1 2 H ( ) k (1 2 )2 4 2 2
R
H I ( )
1 2 k (1 2 )2 4 2 2
• 对于任一 ，根据上式可计算得到对应的一对 HR() 、 HI()值，从而得到复平面上的一条矢量。 从0变到∞， 矢端将画出变化过程的轨迹，该轨迹近似为一个圆。（ Nyquist图）