高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》分类汇编附答案

【高中数学】数学《推理与证明》复习知识要点
一、选择题
1．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。

2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的
A．甲辰年B．乙巳年C．丙午年D．丁未年
【答案】C
【解析】
【分析】
按照题中规则依次从年列举到年，可得出答案。

【详解】
根据规则，年是己亥年，年是庚子年，年是辛丑年，年是壬寅年，年是癸卯年，年是甲辰年，年是乙巳年，年是丙午年，故选：C。

【点睛】
本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。

2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（）打碎了玻璃．
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】
【分析】
假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．
【详解】
假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，
假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，
假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，
假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，
所以是丁打碎了玻璃；
故选：D
【点睛】
本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．
3．若数列{}n a 是等差数列，则数列12n n a a a b n
++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12n n c c c d n ++⋯+=
B ．12n n c c c d n
⋅⋅⋯⋅=
C ．n d =
D ．n d =【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．
【详解】
解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n n a a a a d n -++⋯++=，
∴数列12112
n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列 Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，
则()112121111n n n n n c c c c c q c q c q --⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅ ∴1
21
n n d c q -= ∴
n d =
故选：D ．
【点睛】 本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．
4．在平面直角坐标系中,方程1x y a b
+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．
1x y z a b c ++= B ．1x y z ab bc ca ++= C ．1xy yz zx ab bc ca
++= D ．1ax by cz ++=
【答案】A
【解析】
【分析】 平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是
1x y z a b c ++=. 【详解】
由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y z a b c
++=，故选A. 【点睛】
平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .
5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．
A ．2n
B ．22n n -+
C ．2(1)(2)(3)n n n n ----
D ．325104n n n -+- 【答案】B
【解析】
【分析】
分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可.
【详解】
由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.
即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-.
累加可得()()()21222224 (2222)
2n n n n f n n -+-=++++-=-+
+=. 故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.
6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：
记n S为每个序列中最后一列数之和，则6S为（）
A．147 B．294 C．882 D．1764【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S的值.
【详解】
依题意列表如下：
上列乘6上列乘5上列乘2
163060
1
2
31530
1
3
21020
1 43
2
15
2
15
1 56
5
612
1
6
1510
所以6603020151210147
S=+++++=.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.
7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )
A ．各月的平均最低气温都在0℃以上
B ．七月的平均温差比一月的平均温差大
C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．
【考点】
统计图
【易错警示】
解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．
8．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】A
【解析】
【分析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.
【详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，
丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；
假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，
所以可以断定值班人是甲.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.
9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.
【详解】
第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.
故选：B.
【点睛】
本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.
10．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想
甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取
同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取
同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取
同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取
结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对
那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（）
A．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学
B．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学
C．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学
D．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学
【答案】D
【解析】
【分析】
推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.
【详解】
根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，
曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学
（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.
故选：D.
【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.
11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）
A．8种B．10种C．12种D．14种
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.
【详解】
张毅同学不同的选课方法如下:
()1物理A层1班，生物B层3班,政治3班;
()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;
()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;
()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;
()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班;
()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班;
()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班;
()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班;
()9物理A层4班,生物B层3班,政治1班;
()10物理A层4班,生物B层2班,政治1班;
共10种.
故选:B
【点睛】
本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.
12．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
====
=“穿墙术”，则n=（）
A．35B．48C．63D．80
【答案】C
【解析】
【分析】
n=⨯+=即可.
通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763
【详解】
因为====
==，==
n=.
所以===63
故选：C.
【点睛】
归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
13．已知()()2739n
f n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( )
A ．30
B ．9
C ．36
D ．6
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可.
【详解】
由()(27)39n f n n =+⋅+，得(1)36f =， (2)336f =⨯，(3)1036f =⨯，
(4)3436f =⨯，由此猜想36m =.
下面用数学归纳法证明：
(1)当1n =时，显然成立。

(2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即
()(27)39k f k k =+⋅+能被36整除；
当1n k =+时,
1[2(1)7]39k k +++⋅+
13(27)391823k k k +⎡⎤=+⋅+-+⨯⎣⎦
()
13(27)391831k k k -⎡⎤=+⋅++-⎣⎦ 131k --Q 是2的倍数，
()
11831k -∴-能被36整除，
∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有()(27)39n f n n =+⋅+能被36整除，
m 的最大值为36.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题.
14．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
B ．猜想数列111,,122334
⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=
D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
【答案】C
【解析】
【分析】
根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可.
【详解】
对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；
对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；
对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理；
对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ．
【点睛】
该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.
15．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( )
A ．3 971
B ．3 972
C ．3 973
D ．3 974 【答案】D
【解析】
【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=
个数，运算即可得解． 【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…
则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，
则前n 组共1+2+3+…+n ()
12
n n +=个数， 设第2019个数在第n 组中，
则
()
()
1
2019
2
1
2019
2
n n
n n
⎧+
≥
⎪⎪
⎨
-
⎪
⎪⎩＜
，
解得n＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，
故选：D．
【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n项和公式，属中档题．
16．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科曲线．若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是（）．（取lg20.3010,lg30.4771
==）A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律得到n次构造后，曲线的长度为
1
444
333
n n
n
l a a
-
⎛⎫⎛⎫
=⨯=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，建立不
等式
4
100
3
n
a a
⎛⎫
≥
⎪
⎝⎭
，利用对数运算求解.
【详解】
设原线段长为a，经过n次构造后，曲线的长度为n l，
则经过1次构造后，曲线的长度为
1
4
4
33 a a
l=⨯=，
经过2次构造后，曲线的长度为
2
2
14
44
333
a
l a
⎛⎫
=⨯⨯⨯= ⎪
⎝⎭
，
经过3次构造后，曲线的长度为
3
3
114
444
3333
a
l a
⎛⎫
=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪
⎝⎭
，
依次类推，
经过n次构造后，曲线的长度为
1
444
333
n n
n
l a a
-
⎛⎫⎛⎫
=⨯=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
若要科赫曲线的长度达到原来的100倍， 则41003n
a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
， 所以43lg10022log 10016.01342lg 2lg320.30100.4771lg 3
n ≥=
===-⨯-， 所以至少需要通过构造的次数是17.
故选：C
【点睛】 本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
17．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）
A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++
B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝
⎭ D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案.
【详解】
根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，
从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，
就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，
故选D.
【点睛】
该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.
18．三角形的面积为1()2
S a b c r =
++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =
B ．13V Sh =
C ．1()3V ab bc ca h =
++，（h 为四面体的高） D ．()123413
V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）
【答案】D
【解析】
【分析】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.
【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13
=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．
【点睛】
本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
19．0=，则0x y ==，假设为( ) A ．,x y 都不为0
B ．,x y 不都为0
C ．,x y 都不为0，且x y ≠
D ．,x y 至少有一个为0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.
【详解】 0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.
【点睛】
本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.
20．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，
[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '
+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ） A ．cos sin x x --
B ．cos sin x x -
C ．sin cos x x +
D ．cos sin x x -+ 【答案】A
【解析】
【分析】
根据归纳推理进行求解即可．
【详解】
解：由题意知：()sin cos f x x x =-， 1()()cos sin f x f x x x '==+，
[]1'
2()()sin cos f x f x x x ==-+，
[]'23()()cos sin f x f x x x ==--，
[]'34()()sin cos f x f x x x ==-，
L
照此规律，可知： []'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，
故选：A.
【点睛】
本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．。