第04讲 一元二次不等式及简单不等式(解析版)

第 4 讲：一元二次不等式及简单不等式
一、课程标准
1、通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．
3、通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并会解一元二次不等式
二、基础知识回顾
1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
（1）.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
b 2－4a
c ＜0. （2）一元二次不等式ax 2
＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，
b 2
－4ac ＜0.
3、．简单分式不等式
(1)f (x )
g (x )≥0⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )
g (x )≥0，g (x )≠0. (2)f (x )
g (x )>0⇔f (x )g (x )>0.
三、自主热身、归纳总结
1、不等式2560x x +->的解集是（ ）
A ．{}23x x x -或
B ．{}
23x x -<< C ．{}61x x x -或
D ．{}
61x x -<<
【答案】C
【解析】因为2560x x +->，所以(1)(6)01x x x -+>∴>或6x <-，故选C 。

2、若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫
=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭
，则A B =（ ） A.[2,2)- B.(]1,1-
C.()11-，
D.()1
2-， 【答案】C
【解析】由题意，{}2|
0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭
，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x ⋂=-<<，故答案为C 。

3、对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a （x ﹣a ）（x +1）＞0的解集可能为（ ） A ．∅ B ．（﹣1，a ）
C ．（a ，﹣1）
D ．（﹣∞，﹣1）（a ，+∞）
【答案】ABCD ．
【解析】对于a （x ﹣a ）（x +1）＞0，
当a ＞0时，y ＝a （x ﹣a ）（x +1）开口向上，与x 轴的交点为a ，﹣1， 故不等式的解集为x ∈（﹣∞，﹣1，）∪（a ，+∞）； 当a ＜0时，y ＝a （x ﹣a ）（x +1）开口向下， 若a ＝﹣1，不等式解集为∅；
若﹣1＜a ＜0，不等式的解集为（﹣1，a ），
若a ＜﹣1，不等式的解集为（a ，﹣1）， 综上，ABCD 都成立，
4、若不等式ax 2
＋bx ＋2>0的解为－12<x <1
3，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________.
【答案】(－2,3)
【解析】 由题意，知－12和1
3是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a <0，
所以⎩⎨⎧
－12＋13＝－b a
－12×13＝2
a
，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－12
b ＝－2
. 则不等式2x 2＋bx ＋a <0即2x 2－2x －12<0，其解集为{x |－2<x <3}. 5、不等式x －1
2x ＋1≤0的解集为________. 【答案】(－1
2，1]
【解析】原不等式等价于⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1
2x ＋1≤0
2x ＋1≠0(*)
由(*)解得－1
2<x ≤1.
6、若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________. 【答案】 2
【解析】 根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去.故m ＝2.
7、.设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋1， x ≥0
1， x <0，则满足不等于f (1－x 2
)>f (2x )的x 的取值范围是________. 【答案】 (－1，2－1)
【解析】 x ≥0时，f (x )＝x 2＋1，易知其在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，x <0时，f (x )＝1，所以f (x )≥1.
由不等式f (1－x 2)>f (2x )可得，⎩⎪⎨⎪⎧
2x <1－x 2f 1－x 2
>1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x <1－x 21－x 2>0，∴⎩⎨⎧
－1－2<x <－1＋2
－1<x <1
， 即－1<x <－1＋ 2.所以x 的取值范围是(－1，2－1).
8、已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬
⎫x ⎪⎪
12x －1≤0，B ＝{}
x | x 2
－x －6<0，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,3) B ．(－2,2) C ．(－2,2] D ．[－2,2]
【答案】：选C
【解析】因为A ＝{}x |x ≤2，B ＝{}x |－2<x <3，所以A ∩B ＝{}x |－2<x ≤2＝(]－2，2. 9、对于任意实数x ，不等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(－4,0]
【解析】：当m ＝0时，mx 2
＋mx －1＝－1<0，不等式恒成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪
⎧
m <0，Δ＝m 2
＋4m <0，
解得－4<m <0.综上，m 的取值范围是(－4,0]．
10、若{}1,∈-x m 是不等式2230--≤x x 成立的充分不必要条件，则实数m 的范围是________． 【答案】31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
【解析】不等式可转化为()()1230x x +-≤，解得312x -≤≤
，由于{}1,∈-x m 是3
12
x -≤≤的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到31,2m ⎛
⎤∈- ⎥⎝
⎦． 11、已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式
2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．
【答案】(0，1)．
【解析】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数，()00f ∴=，(]1,0x ∴∈-时，()2
211
24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝
⎭，
()f x ∴在(]1,0-上单调递减，()f x 为奇函数，()f x ∴在[)0,1上单调递减，()f x ∴在()1,1-上单调
递减，由()()2110f m f m -+-<得：()()()22
111f m f m f m -<--=-，22111
11111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩
，解得：
01m <<，即m 的取值范围为：()0,1，本题正确结果：()0,1．
二、例题选讲
考点一、一元二次不等式及简单不等式的解法 例1、求下列不等式的解集： (1)－x 2＋8x －3>0；(2) x
-12x+1≤0
【答案】（1）(-1
2,1]（2）(-1
2,1].
【解析】(1)因为Δ＝82－4×
(－1)×(－3)＝52>0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}.
（2）方法一:x -1
2x+1
≤0等价于{x -1≤0,2x +1>0,
①或{x
-1≥0,
2x +1<0.
②
解①得-1
2<x ≤1,解②得x ∈⌀, 所以原不等式的解集为(-1
2,1].
方法二:不等式x -1
2x+1
≤0⇔{(x -1)(2x +1)≤0,2x +1≠0,
所以由二次不等式知{-12≤x ≤1,x ≠−12,
所以-12
<x ≤1. 所以原不等式的解集为(-1
2,1].
变式1、解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4.
[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤4
3，
所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬
⎫x ⎪⎪
－2≤x ≤43.
(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2－x －2＞0，x 2
－x －6≤0 ⇔⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －2x ＋1＞0，x －3
x ＋2≤0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 方法总结： 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).求出对应的一元二次方程的根.
(3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 考点2、含参不等式的讨论
例2、求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集 【解析】原不等式可化为12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.
当a ＞0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫
a 3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫
－a 4，＋∞. 变式1、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.
解题过程：若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1
a 或x >1. 若a >0，原不等式等价于(x －1
a )(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1
a )(x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1
a <x <1； ③当0<a <1时，1
a >1， 解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .
综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1
a 或x >1}；
当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1
a
<x <1}.
变式2、解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )。

【解析】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0. ①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.
②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫
x －2a (x ＋1)≥0，
解得x ≥2
a 或x ≤－1.
③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫
x －2a (x ＋1)≤0.
当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2
a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2
a ≤x ≤－1.
综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬
⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；
当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨
⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫
2a ≤x ≤－1；
当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧
⎭⎬
⎫x |－1≤x ≤2a .
变式3、关于x 的一元二次不等式x 2﹣6x +a ≤0（a ∈Z ）的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】ABC ．
【解析】设f （x ）＝x 2﹣6x +a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示；
若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则
{f(2)≤0
f(1)＞0，即{
4−12+a≤0
1−6+a＞0，
解得5＜a≤8，又a∈Z，
所以a＝6，7，8．
故选：ABC．
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
考点三、恒成立问题
例3、若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，2]B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
[答案] C
[解析]当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0对一切x∈R恒成立．
当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧
a －2<0，
Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]．
变式1、若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围。

【解析】由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.
由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
g (－1)＝(x －2)×
(－1)＋x 2－4x ＋4＞0，g (1)＝(x －2)＋x 2
－4x ＋4＞0，
解得x ＜1或x ＞3.
故x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 变式2、函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.
(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，
∴实数a 的取值范围是[－6,2]． (2)对于任意x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立． 即x 2＋ax ＋3－a ≥0对任意x ∈[－2,2]恒成立， 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a .
则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0
，
－a
2<－2，
g (－2)＝7－3a ≥0
或③⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
－a
2>2，
g (2)＝7＋a ≥0.
解①得－6≤a ≤2， 解②得a ∈∅， 解③得－7≤a <－6.
综上可知，实数a 的取值范围为[－7,2]．
变式3、已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
【答案】C
【解析】把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，
解不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3. 方法总结：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
(3)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(4)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .
五、优化提升与真题演练
1、设全集{}2
1,2,3,4,5},3,{4|0U A x x x x N ==≤∈-+，则U C A = （ ）
A ．{}1,2,3
B ．{}3,4,5
C ．{}4,5
D ．{}
0|3x x x <>或
【答案】C
【解析】解法1：2
{|430,}{|13,}A x x x x N x x x N =-+≤∈=≤≤∈，故U C A = {}4,5，所以选C.
解法2：将1,2,3,4,5x =分别代入2430x x -+≤检验，可得1,2,3A ∈，故U C A = {}4,5，所以选C. 2、若集合{|32}A x x a =≥-，{|(1)()0}B x x a x a =-+-≥，A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,2]-∞
C ．4,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】因为{|32}A x x a =- {|1}B x x a x a =-或，A B R ⋃=，所以321a a --，解得43
a 。

3、关于x 的不等式ax ＋
b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(1,2)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【答案】C
【解析】关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，∴a >0，且－b
a ＝1，∴关于x 的不等式(ax ＋
b )(x －2)<0
可化为⎝⎛⎭⎫
x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C. 4、若不等式x 2
＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤
0，12恒成立，则a 的最小值是( )
A.0
B.－2
C.－5
2 D.－3
【答案】C
【解析】由于x ∈⎝⎛⎦⎤
0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立， 则a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤
0，12时恒成立，
令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤
0，12，
易知g (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝⎛⎦⎤
0，12上是增函数.
∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝⎛⎭⎫
12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－5
2.
5、对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2) D.(－2，2]
【答案】D
【解析】当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立； 当a －2≠0，即a ≠2时，
则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2
－4×
（a －2）×（－4）<0， 解得－2<a <2.
综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 6、已知函数，如果不等式
的解集为
，那么不等式
的解集
为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】由的解集是
，则
故有
，即.
由
解得
或
故不等式的解集是，故选A 。

7、不等式(x ＋3)(1－x )≥0的解集为________． 【答案】{x |－3≤x ≤1}
【解析】(x ＋3)(1－x )≥0⇔(x ＋3)(x －1)≤0，解得－3≤x ≤1，所以不等式的解集为{x |－3≤x ≤1}． 8、已知不等式ax 2
－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－1
2，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集为________．
【答案】(2,3)
【解析】由题意知－12，－1
3是方程ax 2－bx －1＝0的两根，
所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧
－12＋⎝⎛⎭⎫
－13＝b
a ，
－12×⎝⎛⎭⎫
－13＝－1a .
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－6，
b ＝5，
不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．
9、若不等式2kx 2
＋kx －3
8<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．
【答案】(－3,0]
【解析】当k ＝0时，显然成立；
当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －3
8<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧
k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0.
综上，满足不等式2kx 2
＋kx －3
8<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．
10．(一题两空)设函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，若不等式f (x )<0的解集是(1,5)，则f (x )＝________；若对于任意x ∈[1,3]，不等式f (x )≤2＋t 有解，则实数t 的取值范围为________． 【答案】2x 2－12x ＋10 [－10，＋∞)
【解析】由题意知1和5是方程2x 2
＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝6，c
2＝5，解得b ＝
－12，c ＝10，所以f (x )＝2x 2－12x ＋10.不等式f (x )≤2＋t 在x ∈[1,3]时有解，等价于2x 2－12x ＋8≤t 在x ∈[1,3]时有解，只要t ≥(2x 2－12x ＋8)min 即可，不妨设g (x )＝2x 2－12x ＋8，x ∈[1,3]，则g (x )在[1,3]上单调递减，所以g (x )≥g (3)＝－10，所以t ≥－10.
11、设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围。

【解析】要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即mx 2－mx ＋m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g (x )＝mx 2
－mx ＋m －6＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4m －6，x ∈[1,3]．
当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜6
7； 当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.
综上所述，实数m 的取值范围是⎝⎛
⎭⎫－∞，67.
法二：因为x 2
－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4＞0，
又因为mx 2
－mx ＋m －6＜0，所以m ＜6
x 2
－x ＋1.
因为函数y ＝6
x 2
－x ＋1＝6⎝⎛
⎭⎫x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜6
7即可． 所以实数m 的取值范围是⎝⎛
⎭⎫－∞，67.。