高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移课时闯关

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和
平移课时闯关 理（含解析）人教版
一、选择题
1．(2012·高考安徽卷)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →
绕点O 按
逆时针方向旋转3π4
后得向量OQ →
，则点Q 的坐标是( )
A ．(－72，－2)
B ．(－72，2)
C ．(－46，－2)
D ．(－46，2) 解析：选A.画出草图(图略)，可知点Q 落在第三象限， 则可排除B 、D ，代入A ，
cos ∠QOP ＝6×－72＋8×－262＋82
＝－502100＝－2
2
， 所以∠QOP ＝3π
4.
代入C ，cos ∠QOP ＝6×－46＋8×－2
62＋82
＝
－246－16100≠－2
2
，故选A.
2．在△ABC 中，已知点A (2，－1)，B (－5,3)，点G (1，－2)在中线AD 上，且AG →＝2GD →，则点C 的坐标为( )
A ．(8，－6)
B ．(－6,8)
C ．(－8,6)
D ．(6，－8)
解析：选D.设中点D (x ，y )，AG →＝(－1，－1)，GD →
＝(x －1，y ＋2)．∴(－1，－1)＝2(x －1，y ＋2)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1＝2x －1－1＝2y ＋2
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
2y ＝－5
2
.∴C (6，－8)．
3．(2012·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →
＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →
＝－2，则λ＝( )
A.13
B.23
C.43
D ．2
解析：选B.设AB →＝a ，AC →
＝b ，
则由已知得a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，
并且AP →＝λa ，AQ →
＝(1－λ)b ，
所以BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)b －a ，CP →＝AP →－AC →
＝λa －b ，
所以BQ →·CP →
＝[(1－λ)b －a ]·(λa －b )
＝[λ(1－λ)＋1]a ·b －λa 2－(1－λ)b 2
＝－λ－4(1－λ)
＝3λ－4＝－2，所以λ＝2
3
.
4．(2013·兰州一中调研)已知O 是平面上的一定点，在△ABC 中，动点P 满足条件O P →
＝O A →＋λ(A B →＋A C →
)(其中λ∈[0，＋∞))，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A ．内心
B ．重心
C ．垂心
D ．外心
解析：选B.O P →－O A →＝λ(A B →＋A C →
)． 即A P →＝λ(A B →＋A C →
)．
设BC 的中点为M .则A B →＋A C →＝2AM →，∴A P →＝2λAM →. 又∵λ>0，∴P 在直线AM 上，过重心．
5．函数f (x )＝cos x (x ∈R )的图象按向量(m,0)平移后，得到函数y ＝－f ′(x )的图象(f ′(x )为f (x )的导数)，则m 的值可以为( )
A.π2
B ．π
C ．－π
D ．－π
2
解析：选A.∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x .
∴y ＝－f ′(x )＝sin x ＝cos(x －π
2
)，
即y ＝cos x 的图象按向量(m,0)平移后得到y ＝cos(x －π2)的图象，∴m ＝π
2
.
二、填空题
6．已知函数y ＝1－x
1＋x
，按a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，则a
＝________.
解析：y ＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1，按a ＝(1,1)平移，则将已知函数化为y ＝2
x
.
答案：(1,1)
7．(2013·河北石家庄模拟)F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，且⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是函数F (x )的单
调递增区间，将F (x )的图象按向量a ＝(π，0)平移得到一个新函数G (x )的图象，则它的单调递减区间必定是________．
解析：由题意得F (x )＝f (x )＋f (－x )是偶函数，则⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π是F (x )的单调递减区间，将F (x )按向量a ＝(π，0)平移得到G (x )的图象，就是向右平移π个单位，所以⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π2，2π
是所求单调递减区间．
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤3π2，2π 8．将函数y ＝f (x )的图象沿向量a ＝(－2,2)平移后，得到函数y ＝2x ＋2
＋2的图象，则函数f (x )＝________.
解析：由y ＝2x ＋2
＋2按－a ＝(2，－2)平移得到f (x )，向右平移2个单位，向下平移2
个单位得f (x )＝2x
.
答案：2x
三、解答题
9．(1)把点A (3,5)按向量a ＝(4,5)平移，求平移后对应点A ′的坐标；
(2)把函数y ＝2x 2
的图象F 按向量a ＝(2，－2)平移得到F ′，求F ′的函数解析式． 解：(1)设A ′的坐标为(x ′，y ′)．根据平移坐标公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3＋4，y ′＝5＋5，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝7，y ′＝10.
即对应点A ′的坐标为(7,10)． (2)设P (x ，y )为F 上的任意一点，它在F ′上的对应点为P ′(x ′，y ′)，由平移公式
得⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ′＝x ＋2，y ′＝y －2.∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x ′－2，
y ＝y ′＋2.
将它代入y ＝2x 2
中，得到y ′＋2＝2(x ′－2)2
. 即y ′＝2x ′2
－8x ′＋6.
故F ′的函数解析式为y ＝2x 2
－8x ＋6.
10．(2011·高考课标全国卷节选)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.求C 2的方程．
解：设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1
上，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x
2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.
从而C 2的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4cos α，
y ＝4＋4sin α.(α为参数)．
11．(探究选做)如果P 1、P 2、P 3三点在同一直线上，且P 1、P 2、P 3三点坐标分别为(3，
y )、(x ，－1)、(0，－3)，|P 1P 3→|＝3|P 3P 2→
|，求点P 1、P 2的坐标．
解：P 1、P 2、P 3三点在同一直线上，|P 1P 3→|＝3|P 3P 2→
|，
则P 3分P 1P 2→
的定比λ＝3或λ＝－3.
则当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪
⎧
0＝3＋3x 1＋3
，
－3＝y ＋3×－1
1＋3
.
得x ＝－1，y ＝－9，故P 1(3，－9)、P 2(－1，－1)；
当λ＝－3时，由⎩⎪⎨⎪⎧
0＝3＋－3x 1＋－3，
－3＝y ＋－3－1
1＋－3.
得x ＝1，y ＝3，故P 1(3,3)、P 2(1，－1)．。