2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.2量词课件新人教B版选修2_1

含有“至少”“至多”“恰有”“存在”等表述的命题是存在 性命题，形式为：∃x∈M，q(x)；含有“所有”“任意”等表述 的命题是全称命题，形式为：∀x∈M，p(x)．
将下列全称命题或存在性命题用符号表示． (1)至少有一对实数 α，β，使 cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)任意的实数 α、β，都使 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)有的数列既是等差数列又是等比数列． 解：(1)∃α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (2)∀α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (3)∃数列{an}，{an}既是等差数列又是等比数列．
2．下列命题中是存在性命题的是( ) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 答案：B
3．给出下列三个命题： ①∀x∈R，x2－3x＋2>0 恒成立； ②∃x∈R，x2＋1＝0； ③∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为________． 答案：0
3．下列命题是全称命题且是假命题的是( ) A．奇函数的图象关于原点对称 B．有些平行四边形是正方形 C．∀x∈R，2x＋1 是奇数 D．至少有一个整数，它既不是质数，也不是合数 答案：C
4．下列命题中真命题的个数为________． ①∀x∈R，x2＋3≥3；②∃x∈R，x2＋3≤3；③所有的量词都是 全称量词． 答案：2
4．命题“存在实数 x，y，使得 x＋y>1”是________(填“全称 命题”或“存在性命题”)，用符号表示为____________． 答案：存在性命题 ∃x，y∈R，x＋y>1
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(2)形式：设 p(x)是某集合 M 的所有元素都具有的性质，那么全
称命题就是形如“对 M 中的所有 x，p(x)”的命题，用符号简记 为__∀_x_∈__M__，__p_(_x_)__．
2．存在量词和存在性命题 (1)定义：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述 中表示所述事物的__个__体__或__部__分__，逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号“_∃___”表示，含有__存__在__量__词__的命题，叫做存在性 命题． (2)形式：设 q(x)是某集合 M 的有些元素 x 具有的某种性质，那 么存在性命题就是形如“存在集合 M 中的元素 x，q(x)”的命题， 用符号简记为___∃__x_∈__M_，__q_(_x_)___．
求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称命题“∀x∈M，a＞f(x)(或 a＜f(x))”为真的问题， 实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数 f(x)的最大值 (或最小值)，即 a＞f(x)max(或 a＜f(x)min)． (2)对于存在性命题“∃x∈M，a＞f(x)(或 a＜f(x))”为真的问题， 实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数 f(x)的最小值 (或最大值)，即 a＞f(x)min(或 a＜f(x)max)．
判断全称命题和存在性命题真假的方法 (1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素 x，使命题 p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给 定的集合中找到一个元素 x，使命题 p(x)为假． (2)要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个 元素 x，使命题 p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对 在给定集合的每一个元素 x，使命题 p(x)为假．
全称命题和存在性命题的真假判断 判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3＜1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P； (4)∀x∈N，x2>0.
【解】 (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1， 所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是 真命题． (4)因为 0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
本例条件变为：“存在实数 x，使不等式 sin x ＋cos x>m 有解”，求实数 m 的取值范围． 解：令 y＝sin x＋cos x，x∈R， 因为 y＝sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4∈[－ 2， 2]． 又因为∃x∈R， sin x＋cos x>m 有解， 所以只要 m< 2即可， 所以所求 m 的取值范围是(－∞， 2)．
对于不含有量词或省略了量词的命题要根据命题所涉及的实际 意义进行判断．如“正方形都是矩形”省去了全称量词“所 有”，要结合具体问题做出正确的判断．
1．下列命题中是全称命题的是( ) A．圆有内接四边形 B． 3> 2 C． 3≤ 2 D．若一个三角形的三边边长分别为 3，4，5，则这个三角形为 直角三角形 答案：A
第一章 常用逻辑用语
1．1.2 量 词
第一章 常用逻辑用语
1.了解全称量词和存在量词的概念，全称命题和存在性 命题的概念． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3．掌握 全称命题和存在性命题真假的判定方法．
1．全称量词和全称命题 (1)定义：短语“所有”在陈述中表示所述事物的_全__体___，逻辑 中通常叫做__全__称__量__词__，并用符号“__∀__”表示．含有全称量 词的命题，叫做_全__称__命__题___．
已知命题 p：“∀x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命 题 q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题 p 和 q 均是真命 题，则实数 a 的取值范围为( ) A．{a|a≤－2 或 a＝1} B．{a|a≤－2 或 1≤a≤2} C．{a|a≥1} D．{a|－2≤a≤1}
解析：选 A．由命题 p 为真命题，得 a≤1； 由命题 q 为真命题，知 Δ＝4a2－4(2－a)≥0 成立， 得 a≤－2 或 a≥1， 所以实数 a 的取值范围为{a|a≤－2 或 a＝1}．
判定一个语句是全称命题还是存在性命题的注意点 (1)首先判断该语句是否是一个命题； (2)对命题属性进行判定时关键是看命题中含有的量词是全称量 词还是存在量词； (3)对于不含有量词或省略了量词的命题要根据命题所涉及的实 际意义进行判断．
判断下列命题是全称命题还是存在性命题． (1)至少有一个质数不是奇数； (2)实数的绝对值是正数； (3)有些三角形不是等腰三角形； (4)每个二次函数的图象都与 x 轴相交． 解：命题(1)中含存在量词“至少有一个”，因而是存在性命题． 命题(2)中省略了全称量词“所有”，实际上是“所有实数的绝 对值都是正数”，故是全称命题． 命题(3)中含有存在量词“有些”，所以是存在性命题． 命题(4)中含有全称量词“每个”，所以是全称命题．
(3)真命题，当 α＝π2时，tan α 无意义． (4)因为当 x∈R 时，cos x∈[－1，1]，而π2＞1， 所以不存在 x∈R，使 cos x＝π2， 所以原命题是假命题．
由含量词的命题求参数 对于任意实数 x，不等式 sin x＋cos x>m 恒成立，求实 数 m 的取值范围． 【解】 令 y＝sin x＋cos x，x∈R， 则 y＝sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4∈[－ 2， 2]， 因为∀x∈R，sin x＋cos x>m 恒成立， 所以只要 m<－ 2即可． 所以所求 m断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × ) (2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在 性”．( √ ) (3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量 词．( × )
2．下列命题为存在性命题的是( ) A．偶函数的图象关于 y 轴对称 B．四棱柱都有六个面 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于它本身的平方 答案：D
判断下列命题的真假． (1)任意两向量 a，b，若 a·b>0，则 a，b 的夹角 θ 为锐角； (2)∃x，y 为正实数，使 x2＋y2＝0； (3)有一个实数 α，tan α 无意义； (4)∃x∈R，cos x＝π2.
解：(1)因为 ab＝|a||b|·cos θ>0， 所以 cos θ>0. 又 0≤θ≤π， 所以 0≤θ<π2，即 a，b 的夹角为零或锐角． 故它是假命题． (2)因为当 x2＋y2＝0 时，x＝y＝0， 所以不存在 x，y 为正实数，使 x2＋y2＝0，故它是假命题．
全称命题与存在性命题的判断 判断下列命题是全称命题还是存在性命题． (1)指数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数，它既能被 2 整除，又能被 5 整除； (3)∃x∈{x|x∈Z}，log2x>0； (4)负数的平方是正数； (5)有的实数是无限不循环小数．
【解】 (1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题． (2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题． (3)中含有存在量词符号“∃”，所以是存在性命题． (4)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题． (5)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题．
全称命题与存在性命题的表述 用符号“∀”或“∃”表示下列含有量词的命题． (1)存在实数 x，y，使 2x＋3y＋2<0 成立； (2)有些三角形不是等边三角形； (3)至少有一个实数使不等式 x2－3x＋6<0 成立． 【解】 (1)∃x∈R，y∈R，2x＋3y＋2<0. (2)∃x∈{三角形}，x 不是等边三角形． (3)∃x∈R，x2－3x＋6<0.
1．全称命题的真假判定 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元 素都验证为真；而要判定一个全称命题为假，只需举一个反例 说明即可． 2．存在性命题的真假判定 要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合 M 中找到一 个 x 使命题成立即可；如果在集合中找不到这样的元素，则这 一存在性命题为假．