高中数学 1.2.2充要条件的应用课件 新人教A版选修21

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(2)集合角度:关于(guānyú)充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断 p⇒q及q⇒p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大 集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.
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【变式训练】(2014·合肥高二检测)已知a,b,c∈R,问“b2
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2.充要条件的证明策略 (1)要证明一个(yī ɡè)条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两 个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真. (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相 同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结 论.
C.a与b方向相反 D.存在k∈R,使a=kb
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【解析】1.选A.因为x2>1⇔x>1或x<-1, 所以x>1⇒x2>1,但x2>1 x>1. 故选A. 2.选D.选项A,B,C中,都是向量(xiàngliàng)a与非零向量 (xiàngliàng)b共线的充分条件.选项D中,“存在k∈R,使a=kb” 是向量(xiàngliàng)a与非零向量(xiàngliàng)b共线的充要条 件.
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【补偿训练(xùnliàn)】设a,b,c∈R,则“ac2<bc2”是“a<b”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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【解析】选A.因为(yīn wèi)ac2<bc2⇒a<b, 但a<b ac2<bc2, 比如c=0时,ac2<bc2不成立. 所以是充分不必要条件.
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【延伸探究】本例(1)中“m> ”若换1 为m< ,其他条1件不变,
4
4
其结论又如何(rúhé)呢?
【解析】选D.方程x2+x+m=0无实根⇔Δ=1-4m<0⇔m>
,所以方
1
程x2+x+m=0无实根 m< ,
4
1
而m< 方程x2+x+m=0无实根4.
所以“1m< ”是“一元二次方程x2+x+m=0无实根”的既不充分 4
=ac”是“a,b,c成等比数列”的
条件.
【解析】若b2=ac,则a,b,c不一定(yīdìng)成等比数列,比如,a=b=c=0,
即b2=ac a,b,c成等比数列,
但是a,b,c成等比数列⇒b2=ac,

故是必要不充分条件.
答案:必要不充分
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【误区警示( jǐnɡ shì)】解答本题易出现认为b2=ac是a,b,c成等 比数列的充要条件,导致出现这种错误的原因是忽略了等比数列 中每一个数不能为0.
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【微思考】 (1)从命题的角度理解等价符号“⇔”的意义(yìyì)是什么? 提示:“⇔”表示连接的两个命题互为逆命题且同为真. (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里? 提示:①p是q的充要条件说明p是条件,q是结论. ②p的充要条件是q说明q是条件,p是结论.
为
.
①p:x=1,q:lnx=0;②p:a2=b2,q:a=b;
③p:|x|>3,q:x2>9;④p:x>y>0,q:x2>y2.
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【解题探究】1.题(1)中一元二次方程x2+x+m=0有实根的条件
(tiáojiàn)
是什么?无实根的条件(tiáojiàn)是什么?
2.题(2)中对每组的两个命题p,q,判断p是否是q的充要条件(tiáojiàn),
也不必要条件1 .
4
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【方法技巧】判断p是q的什么条件的两种思路 (1)命题角度:判断p是q的什么条件,主要(zhǔyào)是判断p⇒q及q⇒p这 两个命题是否成立,若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条 件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立, 则p与q互为充要条件.
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【变式训练】关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是什么? 并证明你的结论. 【解析】因为(yīn wèi)方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 所以a+b+c=0, 即关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0,证明如 下:
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【题型示范】
类型一 充要条件的判断(pànduàn)
【典例1】
(1)“m> ”是“一元二次方程x2+x+m=0无实数解”的( )
1
4
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
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(2)下列(xiàliè)所给的p,q中,p是q的充要条件的所有序号
关键看什么?
【探究提示】1.一1 元二次方程x2+x+m=0有实根的条件1(tiáojiàn)是
Δ=
4
4
1-4m≥0,即m≤ ;无实根的条件(tiáojiàn)是Δ=1-4m<0,即m> .
2.关键看p能否推出q,及q能否推出p. 第十九页，共49页。
【自主解答】(1)选B.方程x2+x+m=0无实根⇔Δ=1-4m<0⇔m1> . 4
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【自主解答】(1)①当a=0时,原方程化为2x+1=0,此时根为
x=- 1,满足条件. ②设f2(x)=ax2+2x+1,当a≠0时,因为(yīn wèi)方程的常数项为1不为0,
方程没有零根.
(ⅰ)若方程有两异号的实根x1,x2,则x1x2= <0, 1
即a<0;
a
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【解析】(1)当p是q的充要条件时,p⇒q,且q⇒p,故说成q成立当且仅当p成 立,这种说法正确. (2)若p是q的充要条件,p⇔q,即p等价于q,故此说法正确. (3)若p q或q p,则p不是(bù shi)q的充分条件,或p不是(bù shi)q的必要 条件,故此说法正确. 答案:(1)√ (2)√ (3)√
第2课时(kèshí) 充要条件的应用
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1.充要条件的概念是什么?判断p是q的充要条件
问题 引航
需要几个条件?
2.证明充要条件问题应分哪两步?
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1.充要条件 (1)定义(dìngyì):若p⇒q且q⇒p,则⇔记作p___q,此时p是q的充分必要条 件,简称充要条件. (2)条件与结论的等价性:如果p是q的充要条件,那么q也是p的 _充__要__条__件__. 2.互为充要条件 如果_p_⇔__q_,那么p与q互为充要条件.
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(3)因为“三边相等(xiāngděng)的三角形”与“三角形是等边三角形”是 等价的,所以“三角形是等边三角形”的充要条件是“三角形的三边相等 (xiāngděng)”. 答案:三角形的三边相等(xiāngděng)
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【要点探究(tànjiū)】 知识点 充要条件
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
p与q的关系
p是q的充要条件 q是p的充要条件
p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件
p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件
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3.从集合的角度判断(pànduàn)充分条件、必要条件和充要条件
1.对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;
p不成立,则q一定不成立”. (2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.
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2.常见的四种(sì zhǒnɡ)条件与命题真假的关系 如果原命题为“若p,则q”,逆命题为“若q,则p”,那么p与q的关系 有以下四种(sì zhǒnɡ)情形:
若A⊆B,则p是q的充分条件, 若A B,则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件, 若B A,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件, 也不是q的必要条件
其中(qízhōng)p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
(ⅱ)若方程有两个(liǎnɡ ɡè)负的实根x1,x2,则需满足
x1x 2
1＞0, a
1＞0, a
x1
x2
2 a
＜0,即
2＜0, a
0,
4 4a 0,
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解得0<a≤1. 综上,若方程(fāngchéng)至少有一个负的实根,则a≤1. 反之,若a≤1,则方程(fāngchéng)至少有一个负的实根. 因此,关于x的方程(fāngchéng)ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要 条件是a≤1. 答案:a≤1
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【即时(jíshí)练】 1.(2014·兰州高二检测)“x>1”是“x2>1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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2.向量a与非零向量b共线(ɡònɡ xiàn)的充要条件为( )
A.a=0
B.a与b方向相同
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所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又因为(yīn wèi)ab≠0,所以a≠0且b≠0, 从而a2-ab+b2≠0, 所以a+b-1=0,即a+b=1,故充分性成立. 所以a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
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【方法技巧】 1.求充要条件的方法 求一个问题的充要条件,就是利用等价(děngjià)转化的思想,使得转 化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转 化的时候思维要缜密.
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【知识拓展】等价命题(mìng tí)的转化与充要条件 由于p是q的充要条件和p与q等价是一致的,因而我们可以通过这一结
论将我们所有证明判定的结论和利用的条件进行转化,即我们可以把命题 (mìng tí)p转化为命题(mìng tí)q来证明判定,这就是数学上重要的转化思 想.
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类型二 充要条件的求解与证明(zhèngmíng)
【典例2】
(1)(2013·南昌高二检测)关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根
的充要条件是
.
(2)已知ab≠0,求证a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
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【解题探究】1.题(1)中方程ax2+2x+1=0一定是一元二次方程吗? 为什么? 2.题(2)中证明(zhèngmíng)命题中的条件与结论各是什么? 【探究提示】1.方程ax2+2x+1=0不一定是一元二次方程. 当a=0时是一元一次方程;当a≠0时是一元二次方程. 2.命题中条件是a3+b3+ab-a2-b2=0,结论是a+b=1.
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2.做一做(请把正确(zhèngquè)的答案写在横线上)
(1)“x2<1”的充要条件是
.
(2)若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的
.
(3)“三角形是等边三角形”的充要条件是
.
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【解析】(1)因为(yīn wèi)x2<1⇔-1<x<1, 所以x2<1的充要条件是-1<x<1. 答案:-1<x<1 (2)因为(yīn wèi)p⇔q,q⇔r,所以p⇔r, 所以p是r的充要条件. 答案:充要条件
(2)①由于(yóuyú)p:x=1⇔q:lnx=0,所以p是q的充要条件; ②由于(yóuyú)p:a2=b2 q:a=b,所以p不是q的充要条件; ③由于(yóuyú)p:|x|>3⇔q:x2>9,所以p是q的充要条件; ④由于(yóuyú)p:x>y>0 q:x2>y2,所以p不是q的充要条件. 答案:①③
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1.判一判(正确(zhèngquè)的打“√”,错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( ) (2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命 题.( ) (3)若p q和q p有一个成立,则p一定不是q的充要条 件.( )
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(2)先证必要性:因为(yīn wèi)a+b=1, 所以a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2 =a2-ab+b2+ab-a2-b2=0, 所以必要性成立. 再证充分性:因为(yīn wèi)a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,