CIIA公式集(II)

CIIA公式集（II）
最终考试
固定收益证券估值和分析衍生产品估值和分析
投资组合治理
目录
1固定收益证券估值和分析 (3)
1.1货币的时间价值 (3)
1.1.1货币的时间价值 (3)
1.1.2债券收益计量 (4)
1.1.3利率的期限结构 (5)
1.1.4债券价格分析 (6)
1.1.5风险度量 (8)
1.2混合证券 (11)
1.2.1认股权证 (11)
1.2.3可赎回债券 (12)
1.2.4浮动利率债券 (13)
1.2.5通胀挂钩债券 (13)
1.3固定收益证券组合治理策略 (14)
1.3.1消极治理 (14)
1.3.2计算套期保值比率：修正久期法 (14)
2衍生产品估值和分析 (16)
2.1金融市场和工具 (16)
2.1.1相关市场 (16)
2.2衍生产品和其他产品的分析 (18)
2.2.1期货 (18)
2.2.2期权 (21)
2.2.3标准正态分布:CDF表 (28)
3投资组合治理 (32)
3.1现代投资组合理论 (32)
3.1.1风险/回报框架 (32)
3.1.2风险的测量 (34)
3.1.3投资组合理论 (36)
3.1.4资本资产定价模型〔CAPM〕 (37)
3.1.5套利定价理论 (39)
3.2投资组合治理实践 (42)
3.2.1股票投资组合治理 (42)
3.2.2投资组合治理中的衍生工具 (45)
3.3资产/负债分析和治理 (52)
3.3.1养老金负债评估 (52)
3.3.2盈余和注资比率 (53)
3.3.3盈余风险治理 (53)
3.4业绩测量 (55)
3.4.1业绩测量和评估 (55)
1固定收益证券估值和分析
1.1货币的时间价值 1.1.1货币的时间价值 1.1.1.1现值和终值
简单的折现和复利终值
年数
年化利率）
（终值
现值+=1 年数
年化利率）（（现值）终值+⋅=1
1.1.1.2年金
年金的现值计算式
∑
=+-⋅=+=N
N
t R R CF R CF 1
t ))
1(1
1()1(现值
此处
CF 稳定的现金流
R 折现率，假定一直稳定 N 现金流的次数 年金的终值计算式
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⋅=R R CF N 1)1(终值 此处
CF 稳定的现金流
R 折现率，假定一直稳定 N 现金流的次数
1.1.1.3连续贴现和复利终值
年化连续复利利率
年数终值现值⨯=
e
年化连续复利利率年数（现值）终值⨯⋅=e
1.1.2债券收益计量 1.1.
2.1当期收益率
=
每年票息
当前收益率价格
1.1.
2.2到期收益率
债券价格作为到期收益率的函数，其计算式如下
()()()()N
i
t N
t t N
i t i
Y CF Y CF Y CF Y CF P
++
+++
+=
+=∑
=1 (1112)
1
2
1
1
此处
Y 到期收益率
P 0当前支付的债券价格〔包括应计利息〕 CF i 在t i 时刻收到的现金〔息票利息〕
CF N 在偿还日t N 时刻收到的现金〔息票利息和本金〕 N 现金流的次数
关于每年付息一次的债券，在两个付息日之间，债券价格计算式为
()()()
()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+++++++=⋅+=N N f f ex f cum Y CF Y CF Y CF Y C f P P 1 (1112)
2
11,, 此处
P cum,f 当前支付的债券价格〔包括应计利息〕 P ex ，f 债券的报价 Y 到期收益率
f 上一次付息日距今的年数
CF i 在t i 时刻收到的现金〔息票利息〕 CF N 最终现金流〔利息加本金〕 N 现金流的次数
日式到期收益率
价格
剩余期限
）价格（年票面利率日式到期收益率100
-%-=
1.1.
2.3赎回收益率
()()()()N
i
t c N
t c t c N
i t c i
Y CF Y CF Y CF Y CF P
++
+++
+=
+=∑=1 (1112)
1
2
1
10
此处
P 0当前支付的债券价格〔包括应计利息〕 Yc 赎回收益率
CF i 在t i 时刻收到的现金〔息票利息〕
CF N 在赎回日t N 时刻收到的现金〔息票利息和本金〕 N 到赎回日止现金流的次数
1.1.
2.4平均存续期收益率
i
t i
1i 01）
（AL AL
Y CF P +=∑
= 此处
AL 以年表示的平均存续期或加权平均的到期期限
t t ⋅=∑
=需偿还的本金总额
时刻还本金额
t AL T
o
1.1.
2.5即期利率和远期利率的关系
()()()()()[]
t t t t F F F R R 1,13,22,11,0,01...1111 -++⋅+⋅+=+
此处
R 0，t 从0到t 时段的年化即期利率 R 0，1从0到1时段的年化即期利率 F t-1,t 从t-1到t 时段的年化远期利率
此处
1t ,0R 从0到t 1时段的年化即期利率 2t ,0R 从0到t 2时段的年化即期利率 21t ,t F 从t 1到t 2时段的年化远期利率
1.1.3利率的期限结构 1.1.3.1期限结构理论
预期假说
)
R ~
E(F 2121t ,t t ,t =
此处
21t ,t F 从t 1到t 2时段的远期利率
21t ,t R ~
从t 1到t 2时段的随机即期利率
E(.)预期函数
流动性偏好理论
0,)~
E(21212121,,,,>+=t t t t t t t t L L R F
此处
21t ,t F 从t 1到t 2时段的远期利率
21t ,t R ~
从t 1到t 2时段的随机即期利率
21t ,t L 从t 1到t 2时段的流动性溢价
E(.)预期函数
市场分割理论
0,)~E(21212121,,,,<
>∏∏+=t t t t t t t t R F 此处
21t ,t F 从t 1到t 2时段的远期利率
21t ,t R ~
从t 1到t 2时段的随机即期利率 2
1t ,t
∏从t 1到t 2时段的风险溢价
E(.)预期函数
Ogden 模型
)()(t dZ r d r u d t r ⋅⋅+⋅-⋅=σβ
此处
d r 利率的瞬时变化 β速率调整因子 u 平均利率水平 d t 时间的流逝 dZ(t)随机过程
r
⋅σ
1.1.4债券价格分析 1.1.4.1利差分析
相对利差
收益率比
的收益率
债券的收益率
债券收益率比A B =
等价应税收益率
税率
免税收益率
等价应税收益率-1=
1.1.4.2用零息票价格来为附息债券估值
零息债券估值
()t
t t
R CF P
10+=
此处
P 0在时刻0时的债券价格
CF t 在偿还日t 时刻收到的现金〔本金〕 R t 从0到t 时段的即期利率 附息债券的估值
此处
P 0在时刻0时的债券价格
CF i 在t i 时刻收到的现金〔息票利息〕
CF N 在偿还日t N 时刻收到的现金〔息票利息和本金〕
R i 从0到t i 时段的即期利率 N 现金流的次数 一年付息一次债券的价格，考虑应计利息
∑
=-+=⋅+=N
i f
t t i
f ex f cum i i R CF C f P P 1
,,)1(
此处
f cum P , 债券价格，包括应计利息 f ex P ,
债券的报价
f 自上一次付息日的时间，以年的分数形式计 i CF
在i t 时刻的现金流
i t R 从f 时刻到i t 时段的即期利率
C 票息
永久债券的估值
R
CF
P =
0 此处
0P
永久债券的当前价格
CF
永久的现金流〔息票〕 R
折现率，假定永久恒定 1.1.5风险度量
1.1.5.1久期和修正久期
麦考利久期
此处
D 麦考利久期
P 当前支付的债券价格〔包括应付利息〕 Y 债券的到期收益率
CF i 在t i 时刻收到的现金〔息票利息〕
PV 〔CF i 〕现金流CF i 的现值
CF N 在偿还日
t N 时刻收到的现金〔息票利息和本金〕
N 现金流的次数
永久债券的麦考利久期
11
+=
债券的收益率
永久债券的麦考利久期
修正久期和价格久期
此处 D mod
修正久期 D P
价格久期 D 麦考利久期
P 当前支付的债券价格〔包括应付利息〕 Y 债券的到期收益率 用久期估算价格变化
()
()Y P
D
Y D Y Y 1D P
P
Y D Y P D Y P Y 1D
P P
mod P mod ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅-=⋅-=⋅+-≅
⋅-=⋅⋅-=⋅⋅+-≅
此处
P 债券的价格变化
D mod
修正久期
D P
价格久期 D 麦考利久期
P 当前支付的债券价格〔包括应付利息〕 Y 债券的到期收益率
Y 债券收益率的微小变化
投资组合久期
∑=⋅=N
i i i P D x D 1
此处
D P 投资组合久期
x i 资产投资于债券的比例 D i 债券i 的久期
N 投资组合中债券的数量
使用修正久期可能债券组合的到期收益率〔近似公式〕
j N j N i i i j j p YTM D PV D PV YTM ⋅⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅≅∑∑==1
1mod mod 此处
PV j 债券j 的现值
在两个付息日之间的久期
∑=+⋅-⋅+=N t t
t cum f cum
Y CF f t P Y D 1
)1()()1( 此处
D cum 两个付息日之间的久期
P cum 债券的当前价格〔包括应计利息〕 Y 债券到期收益率
CF t 在时刻t 收到的现金流〔票息〕
F 自上一次付息日的时间，以年的分数形式计
N 现金流的次数
关键利率久期〔KRD 〕
)
()(i Y P P
i KRD ∆⋅∆-
=
此处
ΔP 债券的价格变化
P 债券的当前价格〔包括应计利息〕
ΔY(i)第i 个关键利率的小变化
1.1.5.2凸性
此处
C 凸性 C P
价格凸性
P 当前支付的债券价格〔包括应付利息〕 Y 债券的到期收益率
CF i 在t i 时刻收到的现金〔息票利息〕
CF N 在偿还日t N 时刻收到的现金〔息票利息和本金〕 用久期和凸性来估算价格变化
()2
mod 22
P P 2
12112
1）（）（）
（Y C Y D Y C Y Y D P P Y C Y D P ∆⋅+∆⋅-=∆⋅+∆⋅+-≅∆∆⋅+∆⋅-≅∆
此处
P 债券的价格变化 D mod
修正久期
D P
价格久期 D 麦考利久期 C 凸性 C P
价格凸性
P 当前支付的债券价格〔包括应付利息〕 Y 债券的到期收益率
Y 债券收益率的微小变化
投资组合凸性
∑=⋅=N
C 1
i i i w 投资组合的凸性
此处
w i 债券i 在投资组合中的比重〔以市值衡量〕 C i 债券i 的凸性
N 投资组合中债券的数目 付息日之间的凸性
∑=+⋅+-⋅-⋅++=N t t
t cnm f cum
Y CF f t f t P Y Y C 12)1()1()(1)1()1( 此处
C cum 两个付息日之间的凸性
P cum 债券的当前价格〔包括应计利息〕 Y 债券到期收益率
CF t 在时刻t 收到的现金流〔票息〕
F 自上一次付息日的时间，以年的分数形式计 N 现金流的次数
1.2混合证券 1.
2.1认股权证
1.2.1.1认股权证定价
M
N N
C W +⋅
=
此处，
W 认股权证的价值
C 依据Black-Scholes 模型确定的常规看涨期权的价值 N 在发行新股之前公司的股份数
M 公司新发行的股份数
1.2.2可转换债券 1.2.2.1投资特性
转换比率=一张债券可转换得到股份数
转换价格=可转换债券的面值/每张债券可转换的股份数〔假如有转换发生〕
转换价值〔平价〕=转换比率×一般股的市场价格
转换溢价〔以百分比算〕=〔债券市场价格－转换价值〕/转换价值
投资溢价=债券市场价格-债券底限价格
投资溢价〔以百分比算〕=〔债券市场价格－债券底限价格〕/债券底限价格
回收期分析
此处
PP 回收期，以年计 MP 可转债券的市场价值 CV 可转债券的转换价值
CY 可转债券的当前收益率=〔息票利率/MP 〕 DY 一般股票的分红收益率=股利/股票价格
净现值分析
此处
NPV 净现值 CP 赎回价格 FV 面值
Y nc 同样特征的不可转换证券的收益率 Y c 可转换证券的收益率
N 可转换证券被赎回之前的年数
1.2.3可赎回债券 1.2.3.1估值和久期
确定赎回权〔看涨期权〕的价值
可赎回债券价格=不含赎回权的对应债券价格–看涨期权价格
有效久期和凸性
）（的久期不可赎回债券价格价格经赎回调整的久期可赎回不可赎回δ-1⋅⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅= ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=
2
--1久期回债券不可赎价格回债券不可赎）（
的凸性不可赎回债券价格价格经赎回调整的凸性可赎回
不可赎回γδ
此处
δ债券中含有的看涨期权的德尔塔系数
γ债券中含有的看涨期权的伽玛系数
1.2.4浮动利率债券
1.2.4.1浮动利率债券的定价
f
f ex cum R R C C f P P --+++=
⋅+=11,011,011)
1(100
)1( 此处
P cum 债券的当前价格〔包括应计利息〕 P ex 零息债券的价格
f 自上一次付息日的时间，以年的分数形式计
C 1下一个票息
R 0,1从0到1期间的即期利率
1.2.5通胀挂钩债券
传统债券收益率
〔1+名义收益率〕=〔1+实际收益率〕〔1+预期通货膨胀率〕〔1+通货膨胀风险溢价〕 当变量值很小，表达式可近似地简化为：
名义收益率=实际收益率+预期通货膨胀率+通货膨胀风险溢价
通胀挂钩收益率=实际收益率+实际通货膨胀率 损益平衡通货膨胀率=名义收益率-通胀挂钩收益率
指数化的本金
)1(1t t t N N π+⋅=- t t N CR CF ⋅=
此处
N t 按时刻t 的通货膨胀率指数化的本金
t π在时刻t 的通货膨胀率
CF t 在时刻t 的现金流量 CR 债券实际票面利率 指数化的票面利率
t t CR ICR π+=
N ICR CF t t ⋅=
此处
ICR t 按时刻t 的通货膨胀率指数化的票面利率
t π在时刻t 的通货膨胀率
CF t 在时刻t 的现金流量 N 本金面值 通货紧缩底限
),m ax (T T T N N N CR CF +⋅=
1.3固定收益证券组合治理策略 1.3.1消极治理 1.3.1.1免疫策略
A=L D A =D L A ×D A =L ×D L
此处
A 投资组合的现值 L 债务的现值
D A 投资组合的久期 D L 债务的久期
现金流相对其久期的离散程度
i
i
A A i A A A D t DS ∑
∑
⋅-=
i
2i
)(
此处
DS A 投资组合现金流对其久期的离散程度 D A 投资组合A 的久期
A i 投资组合A 中第i 项现金流的现值 t i A
投资组合A 中第i 项现金流的期限
1.3.2计算套期保值比率：修正久期法
mod F
T ,t mod
S
t F S F
,S D F D S =R H ⋅⋅=⋅∆∆∆∆σσρ t ,CTD mod
F
t ,CTD mod
S
t S mod
F
T ,t mod
S
t S F CF D S k
D S N D F k
D S N N ⋅⋅⋅⋅⋅-
=⋅⋅⋅⋅-
=
此处
HR 套期保值比率 S t t 时刻的现货价格
F t,T t 时刻，到期日是T 的期货价格 ρΔS ，ΔF ΔS 和ΔF 之间的相关系数 σΔS ΔS 的标准差 σΔF ，ΔF 的标准差 CTD 最廉价可交割
mod S D 被套期保值目标资产的修正久期 mod F D 期货的修正久期〔最廉价可交割的〕
N F 期货合约的数量
N S被套期保值目标资产的数目
k合约规模
S CTD,t最廉价可交割债券的现价
CF CTD,t最廉价可交割债券的转换因子
2衍生产品估值和分析
2.1金融市场和工具 2.1.1相关市场 2.1.1.1互换
利率互换
同意固定收益的交易方的互换价值能够被表示为
V=B 1—B 2
此处
V 互换的价值
B 1互换中的固定收益债券的价值 B 2互换中的浮动收益债券的价值 B 1是固定利率债券现金流的现值
n
n i
i t t n
i t t R Q R K
B )
1()
1(,01,01++
+=∑
=
此处
B 1互换中固定利率债券的价值
K 在t i 时刻要支付的固定利率现金流 Q 互换协议中的名义本金
R 0,i t 在到期日i t 时的即期利率
当加入互换，同时马上在一个票面利率重置日之后，债券B 2的价值等于名义本金数Q 。

在重置日之间，价值是
此处
B 2互换中浮动利率债券的价值 K *
在下一个票面利率重置日t 1，用于支付的浮动利率现金流(最初) Q 互换协议中的名义本金
R 0,t1对应于到期日t 1的即期利率 交叉货币利率互换 这种互换的价值可表达为
D F B B S V -⋅=
此处
V 互换的价值
S 以每外币为单位的本国货币的现货利率
B F 以外币计价，互换中的外币债券的价值 B D 以本币计价，互换中的本币债券的价值
2.1.1.2信用违约互换〔CDS 〕
信用违约互换可能的支付
参考债券发生违约时，CDS 的购买者可获得的支付能够如下表达
()R N -⋅1
此处
NCDS 的名义本金 R 参考债券的回收率 违约概率
1-i t 期到i t 期的违约概率为
()()i i p p p p -⋅⋅⋅⋅-1121
此处
i p 1-i t 期到i t 期的没有任何违约的生存概率 i p -1i t 期的违约概率
CDS 估值
CDS 理论利差由如下等式获得：
买方预期支付的现值=卖方预期支付的现值
此处
买方预期支付的现值=
∑∑==⨯⨯+
⨯⨯T
t T
t t t t t t t 1
1期的折现因子
付期违约时的应计利息支期的违约概率期的折现因子期的支付额期的生存概率
卖方预期支付的现值=
()期的折现因子期的回收率期的违约概率t t t T
t ⨯⨯∑=1
-1
2.2衍生产品和其他产品的分析 2.2.1期货
2.2.1.1期货的理论价格
无收益资产的期货定价
)1(,,T t t T t R S F +=
此处
F t,T T 日交割的期货合约在t 日的价格 S t 标的资产在t 日的现货价格 R t,T 在t 和T 日之间的无风险利率 一般的持有成本关系
)revenues (FV )S ,t (k )R (S F t T T ,t t T ,t -++=-1
此处
k(t,S)持有成本，诸如保险费，储存成本等。

FV(revenues)持有现货的收益的终值 连续时间的持有成本关系
)
()(,,t T y r t T t T t e
S F -⋅-=
此处
F t,T T 日交割的期货合约在t 日的价格 S t 标的资产在t 日的现货价格
y 标的资产或商品的连续净收益〔收益减去持有成本〕 r t,T 连续累计的无风险利率 股票指数期货
∑∑==+⋅⋅-+⋅=N i T
t T t t i i T t t T t j j j R D w R I F 11
,,,,)1()1(
此处
F t,T T 日交割的期货合约在t 日的价格 I t 指数的当前现货价格
j t i D ,股票i 在t j 日支付的股利
w i 股票i 在指数中的比重
R t,T 在t 和T 日之间的无风险利率
T t j R ,在t j 和T 日之间的利率
N 指数中包含的证券的数量
股票指数期货〔连续时间〕
)()(,t t T y r t T e I F -⋅-⋅=
此处
F t,T T 日交割的期货合约在t 日的价格 Y 股指的连续红利率〔年化〕
T
t r ,从t 到T 期间按连续复利计的无风险利率
远期汇率
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=FOR
T t DOM
T
t t T
t R R S F ,,,11 连续复利下
())(,t T r r t T t for dom e
S F -⋅-=
此处
F t,T 远期汇率〔每外币之本币数〕 S t 现货汇率〔每外币之本币数〕
R DOM
T
t ,在t 和T 时之间的本币之无风险利率
R FOR
T t ,在t 和T 时之间的外币之无风险利率 r dom 在t 和T 时之间的本币之连续复利无风险利率 r for 在t 和T 时之间的外币之连续复利无风险利率 商品期货
T t T t t T t Y T t k R S F ,,,),()1(-++⋅=
此处
F t,T T 日交割的期货合约在t 日的价格 S t 标的资产在t 日的现货价格 R t,T 在〔T-t 〕期间的无风险利率
k(t,T)持有成本，诸如保险费，储存成本等 Y t,T 便利收益
利率期货的持有成本关系
此处
F t,T T 日交割的期货合约在t 日的“公允”价格报价
C t,T 在t 和T 日之间所有息票支付利息重新投资的以后价值 S t 标的债券在t 日的现货价格
A t 标的资产在t 日的应计利息 R t,T 在t 和T 日之间的无风险利率 A T 交割债券在T 日的应计利息 转换因子
)1()1(1
)1(1
)1()1(1
f C CR CR CR CR C CR CF n U n U U U
f
U -⋅-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+⋅⋅+=
此处
F 直到下一次利息支付前的整月数除以12 C 交割债券的票息 CR U 基础票面利率
n 直到债券最后一次支付前剩余的年数 交割日期货的理论价格
F T,T =CF
S CTD T
此处
F T T ，到期时期货的价格
S CTD
T
到期时交割最廉价的债券的现货价格
CF 转换因子
2.2.1.2套期保值策略
套期保值比率
S
F N k N F S
HR ⋅-=∆∆=
此处
HR 套期保值比率
ΔS 每单位现货价格的变化 ΔF 每单位期货价格的变化 N F 期货的数量 N S 现货的数量 k 合约规模 完全〔简单〕套期保值
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=±=k N N HR S F 1 此处
HR 套期保值比率 N F 期货的数量 N S 现货的数量 k 合约规模 最小方差套期保值比率 - 套期保值的利润 关于标的资产的多头
()(),,T t T T t T S S F F =---套期保值的利润
此处
S T 期货合约到期日的现货价格 S t t 时刻的现货价格 F T,T 到期日时的期货价格
F t,T 到期日为T 的期货在t 时的价格 - 最小方差套期保值比率
F
S F S F S F F S F F S HR ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=⋅=∆∆∆=
σσρσσσρ.)(V ar )
,(Cov ,2,
此处
HR 套期保值比率
Cov 〔ΔS ，ΔF 〕现货价格变动ΔS 和期货价格变动ΔF 之间的协方差 Var(ΔF 〕期货价格变动的方差 ρΔS ，ΔF ΔS 和ΔF 之间的相关系数 σΔS ΔS 的标准差 σΔF ，ΔF 的标准差
2.2.2期权
2.2.2.1期权价格的决定因素
欧式期权和美式期权的看跌-看涨平价关系
τr E E Ke D S C P -++-=
D K S C P Ke S C US US r US ++-≤≤+--τ
此处
Τ距离到期的时间 K 期权的行权价格
r 连续复利累计的无风险利率
S 标的资产的现货价格 C E 欧式看涨期权的价值 P E 欧式看跌期权的价值 C US 美式看涨期权的价值 P US 美式看跌期权的价值
D 期权有效期内的预期现金分红的现值
2.2.2.2期权定价模型
Black&Scholes 期权定价公式 无红利派发的欧式期权价格
)()(21d N Ke d N S C r E ⋅-⋅=-τ )()(12d N S d N Ke P r E -⋅--⋅=-τ ()τστ
στ
σ-=++=
1221,)2/(/ln d d r K S d
此处
C E 欧式看涨期权的价值 P E 欧式看跌期权的价值 S 当前股票价格
Τ距离到期的时间，以年为单位计算 K 行权价格
Σ标的股票的年化波动率
r 连续复利累计的年化无风险利率
N 〔﹒〕标准正态随机变量的累计分布函数〔见2.2.3中的表〕，同时
N 〔x 〕=
ds e
s x
2
2
21-
∞
-⎰
π
支付红利的股票的欧式期权
)()(*
2*1*d N Ke d N S C r E ⋅-⋅=-τ
)()(*1**2d N S d N Ke P r E ⋅-⋅=-τ
()
∑=-⋅-=-=++=
I
i r i i e D S S d d r K S d 1
*
*1*22**1
,,
)2/(/ln ττστ
στ
σ
此处
C E 欧式看涨期权的价值 P E 欧式看跌期权的价值
i τ距离第i 个分红的时间，以年为单位计算
D I 时刻i 支付的分红 S 当前股票价格
Τ距离到期的时间，以年为单位计算 K 行权价格
Σ标的股票的年化波动率
r 连续复利累计的年化无风险利率 I 股利支付的次数
N 〔﹒〕累计正态分布函数〔看表格223〕 支付未知红利的股票的欧式期权
当股利未知时，一般的实践方法是假设一个稳定的分红收益率，如此那么
)()(21d N Ke d N e S C r y E '⋅-'⋅⋅=--ττ )()(12
d N
e S d N Ke P y r E '-⋅⋅-'-⋅=--ττ ()τστ
στ
σ-'='+-+=
'12
21,)2/(/ln d d y r K S d 此处
C E 欧式看涨期权的价值 P E 欧式看跌期权的价值 S 当前股票价格
Τ距离到期的时间，以年为单位计算 K 行权价格
Σ标的股票的年化波动率
r 连续复利累计的年化无风险利率
N 〔﹒〕累计正态分布函数〔看2.2.3中的表〕 股票指数期权
)
d (N
e D S )d (N e
K P )
d (N
e K )d (N e D S C J j I i r i ,j r E r J j I i r i ,j E i ,j i ,j 11122111-⋅⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⋅---⋅⋅=⋅⋅-⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⋅-=∑∑∑∑==⋅-⋅-⋅-==⋅-ττ
ττ
τστστ
τ
⋅⋅+⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⋅⋅-=⋅-⋅-==∑∑2
1
ln ,,111r r i j I i J j t e K e D S d i j
同时τσ⋅-=12d d
此处
C E 在t 日时欧式看涨期权的价值 P E 在t 日时欧式看跌期权的价值 S 在t 日时股票指数价格 K 行权价格
r 连续复利累计的年化无风险利率
σ标的股票指数相应回报的年化波动率
D j ，i 依照公司j 在指数中的比重，在t i 时刻该公司支付的股利 t 距离到期的时间，以年为单位计算
τj ，I 距离公司j 在t i 时刻支付股利的时间
N 〔﹒〕累计正态分布函数〔见2.2.3中的表〕 期货期权
[])()(21d N K d N F e C r E ⋅-⋅=-τ [])()(12d N F d N K e P r E -⋅--⋅=-τ ()τστ
στσ-=+⎪⎭⎫
⎝⎛=1221,2
1ln d d K F d
此处
C E 欧式看涨期权的价值 P E 欧式看跌期权的价值 F 当前期货价格
t 距离到期的时间，以年为单位计算 K 行权价格
σ标的期货回报的年化波动率 r 连续复利累计的年化无风险利率
N 〔﹒〕累计正态分布函数〔见2.2.3中的表〕 外汇期权
)()(21d N Ke d N e
S C r r E for ⋅-⋅⋅=--ττ
)()(12d N e
S d N Ke P for r r E -⋅⋅--⋅=--τ
τ
()τστ
στ
σ-=+-+=
1221,)2/(/ln d d r r K S d for
此处
C E 欧式看涨期权的价值
P E 欧式看跌期权的价值
S 当前汇率〔每外币为单位的本币数〕 τ距离到期的时间，以年为单位计算 K 行权价格〔每外币为单位的本币数〕 σ标的外币的年化波动率
r 连续复利累计的年化无风险利率
r for 外币的连续复利累计的年化无风险利率
N 〔﹒〕累计正态分布函数〔见2.2.3中的表〕 二叉树期权定价模型
在一个期间开始的期权的价格等于在该期间结束时的期权价格，在实现概率为π时，以无风险利率折现之值
u
R d u
d e u d u d R R
Op Op Op n d u <+<=
=--+=-⋅+⋅=
1,1,
,1)
1(/τσπππ
此处
Op 一个期间开始时的期权价值 R 一个期间的单利无风险利率
Op u 一个期间结束时的较高状态的期权价值 Op d 一个期间结束时的较低状态的期权价值 σ标的资产回报的波动率 τ距离到期的时间
n 在τ时期内时段的个数 u 标的资产的向上因子 d 标的资产的向下因子 π风险中性概率
2.2.2.3期权费的敏感性分析
行权价格
)0()
()0(
)(22≥∂∂-⋅=∂∂=≤∂∂⋅-=∂∂=
⋅-⋅-K P d N e K
P K
C
d N
e K C
r P r C ττκκ
()τ
στ
σ)/r (K /S ln d 222-+=
此处
C 看涨期权的价值 P 看跌期权的价值 S 当前标的资产价格
K 行权价格σ标的资产回报率的年化波动率
τ距离离到期的时间，以年为单位计算 r 连续复利累计的年化无风险利率
N 〔.〕累计正态分布函数〔见2.2.3中的表〕 标的资产的价格(德尔塔(Δ)和伽玛(Γ))
)10( )(1≤∆≤=∂∂=
∆c c d N S
C
)01(1)(1≤∆≤--=∂∂=∆P P d N S P
)
0()()
0()(12
212
2≥ΓΓ=⋅⋅=
∂∂=
Γ≥Γ⋅⋅=∂∂=ΓP C P C C S d n S
P S d n S
C τ
στσ
()τ
στ
σ)/r (K /S ln d 221++=
此处
C 看涨期权的价值 P 看跌期权的价值 S 当前标的资产价格
τ距离到期的时间，以年为单位计算 σ标的资产回报率的年化波动率 r 连续复利累计的年化无风险利率
N 〔.〕累计正态分布函数〔见表2.2.3〕 n(x)概率密度函数
2221)(')(x e x N x n -
=
=π
期权对当前价格的杠杆系数或敏感性〔欧美伽，Ω〕
P
S S P C
S S C P C ⋅∂∂=
Ω⋅∂∂=
Ω 此处
ΩC 买入期权的敏感性 ΩP 卖出期权的敏感性 C 买入期权的价值 P 卖出期权的价值 S 当前标的资产价格 距到期的时间〔西塔，θ〕
()τστ
στ
σ-=++=
12212d d ,)/r (K /S ln d
此处
C 看涨期权的价值 P 看跌期权的价值 S 当前标的资产价格 K 行权价格
τ距离到期的时间，以年为单位计算 σ标的资产回报率的年化波动率 r 连续复利累计的年化无风险利率
N 〔.〕累计正态分布函数〔见表2.2.3〕
)(n x 概率密度函数
利率(柔,ρ)
)
0()1)(()0()(22≤-⋅⋅⋅=∂∂=≥⋅⋅⋅=∂∂=
⋅-⋅-P r P C r C d N e K r
P d N e K r
C
ρτρρτρττ
()τ
στ
σ)/r (K /S ln d 222-+=
此处
C 看涨期权的价值 P 看跌期权的价值 S 当前标的资产价格 K 行权价格
τ距离到期的时间，以年为单位计算 σ标的资产回报率的年化波动率 r 连续复利累计的年化无风险利率
N 〔.〕累计正态分布函数〔见表2.2.3〕 股票回报率的波动率〔维伽，υ〕
)
()d (n S P )()d (n S C
P C P C C 0011≥=⋅⋅=∂∂=≥⋅⋅=∂∂=
νντσ
νντσν ()τ
στ
σ)/r (K /S ln d 221++=
此处
C 看涨期权的价值 P 看跌期权的价值 S 当前标的资产价格 K 行权价格
τ距离到期的时间，以年为单位计算 σ标的资产回报率的年化波动率 r 连续复利累计的年化无风险利率 n(x)概率密度函数
2.2.3标准正态分布:CDF 表
数字化地定义函数N(x):一个标准正态随机变量小于x 的概率。

N(x)的特征：N(-x)=1-N(x)
3投资组合治理
3.1现代投资组合理论 3.1.1风险/回报框架 3.1.1.1回报 持有期回报率
此处
R t 在t-1和t 期间资产的单利〔非连续〕回报率 P t 在t 日资产的价格
j t D 在t-1和t 之间的t j 日支付的股利或利息
j t 第j 次支持红利或票息的日期 *,t t j R 在t j 和t 期间的年化无风险利率
J 期间收款的次数
持有期回报率的算术平均和几何平均
持有期回报率的算术平均
此处
A r 通过连续的N 期后的算术平均回报率 i r 持有期间的回报〔以连续复利计算〕
N 持有期间时段数目
非连续复利计算的持有期回报率的几何平均
1)1(...)1()1(21-+⋅⋅+⋅+=N N A R R R R
此处
R A 通过连续的N 期后的几何平均回报率 R i 期间i 的非连续回报
N 持有期间的复利期数
货币的时间价值:复利计算和折现
复利计算的回报
此处
R eff 整个时期的有效回报率
R nom 名义回报
m 所属期间的期数
连续复利和单利〔非连续〕回报的比较 在t-1至t 期间无股利支付
此处
P t 在日资产价格
t r 在t-1至t 期间的连续复利回报
R t 在t-1至t 期的单利〔非连续〕回报
年化的回报率
年化的持有期回报率〔假定一年360天〕 假定利息以R τ的利率再投资
() 11/360-+=ττR R ann
此处
R ann 年化的简单利率 R τ通过τ天的简单利率
注意：一年之中有效日子的算法，有的国家是365日，有的国家是360日。

年化的连续复利回报〔假定一年360天〕
ττ
r r an ⨯=
360
n
此处
n an r 年化回报率
τr 通过τ天的连续复利回报率
名义和真实回报
单利回报
t t t real t t t real t I R I R I R R -≈⋅--=nominal nominal
连续复利回报
t t real t i r r -=nominal
此处
real t R 通过t 时期的资产真实回报率〔单利〕 nominal t R 通过t 时期的资产名义回报率〔单利〕
I t 通过t 时期的通货膨胀率〔单利〕
real t r 通过t 时期的资产真实回报率〔连续复利〕
nominal t r 通过t 时期的资产名义回报率〔连续复利〕
i t 通过t 时期的通货膨胀率〔连续复利〕
3.1.2风险的测量
概率的概念
期望值E(.),方差Var 〔.〕，协方差Cov 〔.〕和相关系数
假如两变量在状态k 取值k x 和k y 的概率为k p ，，两随机变量X 和Y 的相关系数Corr 〔.〕
k K
k k K
k y p Y x p X ⋅=⋅=∑∑==1
k 1
k )E(,
)E(
[]
21
k 2222
))E(()(E )(E ))(E (E )(Var X x p X X X X X k K
k X -=
-=-==∑=σ
[]))
E(())E(())(E ())(E (E ),(Cov 1
k Y y X x p Y Y X X Y X k k K
k XY -⋅-=-⋅-==∑=σY
X XY
Y X σσσ⋅=
),(Corr
此处
11
k =∑=K
k p 同时
k p 处于状态k 的概率
k x 状态k 时X 的值 k y 状态k 时Y 的值
K 可能状态的数量
两随机变量X 和Y ，样本包括N 个i x 和i y .的观测值，求其均值E 〔.〕，方差Var(.),协方差Cov 〔.〕
∑∑∑===-⋅--=
=--====N
i i i XY N
i i X N
i i y y x x N Y X x x N X x N x X 1
1
22
1)()(11
),(Cov )(11)Var(,
1)E(σσ
此处
i x ,i y 观测值i y x ，X 和Y 的均值
标准差 X 和Y 的协方差 N 观测值的数量 正态分布
它的概率密度由下式给出
()2
2
221)(σμσ
π⋅--
⋅⋅⋅=
x e x f
此处
x 变量的值
μ该分布的均值 σ标准差
计算波动率和年化波动率
计算波动率
∑∑===--=
N t t
N
t t r N r r r N 1
121,)(11σ
此处
Σ回报率的标准差〔波动率〕 N 观测值的数目
1
ln
-=t t
t P P r 资产P 通过t 期之后的连续复利回报率
年化波动率
假定月回报率是独立的，那么
τσ
σστ
=⋅=m ann 12
此处
σann 年化的波动率 σm 月回报率的波动率
στ通过长度为τ时期的回报波动率 τ以年计算的时期长度
风险价值〔投资组合回报需满足正态分布〕
()()()VaR R z R R αασμ=⋅-
此处
()VaR R α投资组合回报的风险价值
z α标准正态分布的α百分数
σ〔R 〕投资组合的回报的波动率 μ〔R 〕投资组合的预期回报
3.1.3投资组合理论
3.1.3.1分散化和投资组合风险 投资组合的平均回报和预期回报
-
组合P 在时期t 内的事后回报
t ,N N t ,t ,t ,i N
i i t ,P R x R x R x R x R +++==∑= 22111
此处1=∑i x ，同时
R P,t 在t 时期内投资组合的回报 R i,t 在t 时期内资产i 的回报
i x 投资组合投资于资产i 的初始〔期间起始〕比例
N 投资组合P 中不同资产的数量 -
投资组合的预期回报
∑=+++==N
t N N i i P R x R x R x R x R 1
2211)(E )(E )(E )(E )(E
此处
E 〔R P 〕投资组合的预期回报率 E 〔R i 〕资产i 的预期回报率
i x 投资组合P 中资产i 的相对比重。